【Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave】2 —— 透彻理解梯度、散度与旋度

超、凢脫俗 2023-07-18 02:24 28阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、标量场的梯度
 *   *  1.1 从等值面与方向导数说起
     *  1.2 梯度的意义与计算
 *  二、矢量场的散度
 *   *  2.1 从通量说起
     *  2.2 散度及其推导
     *  2.3 高斯散度的定理
 *  三、矢量场的旋度
 *   *  3.1 先从环量说起：
 *  四、梯度、旋度、散度的关系

# 一、标量场的梯度 #

## 1.1 从等值面与方向导数说起 ##

**方向导数（标量）** 的计算：比如说我们给出了一个标量场函数： u ( x , y , z ) u(x, y, z) u(x,y,z)，下面要计算这个标量场内一点  M 0 M\_0 M0 处的方向导数，计算公式是这样的： ∂ u ∂ l = ∂ u ∂ x c o s α + ∂ u ∂ y c o s β + ∂ u ∂ z c o s γ \\frac\{\\partial\{u\}\}\{\\partial\{l\}\} = \\frac\{\\partial\{u\}\}\{\\partial\{x\}\}cosα + \\frac\{\\partial\{u\}\}\{\\partial\{y\}\}cosβ + \\frac\{\\partial\{u\}\}\{\\partial\{z\}\}cosγ ∂l∂u=∂x∂ucosα\+∂y∂ucosβ\+∂z∂ucosγ  
方向导数反应的是在标量场里面，从  M M M 点开始沿着某一方向  l → \\overrightarrow\{l\} l 距离的变化率。

那么，如果我们知道了方向  l → \\overrightarrow\{l\} l，是需要会计算方向余弦的。计算方法是：比如我们要计算  c o s α cosα cosα，（也即是  x x x 方向的方向余弦）那么我们就用向量  ( 1 , 0 , 0 ) (1, 0, 0) (1,0,0) 去我们的方向向量  l → \\overrightarrow\{l\} l 做点乘运算，就可以把  c o s α cosα cosα 求出来。

## 1.2 梯度的意义与计算 ##

梯度，他是一个矢量。它的计算公式如下： g r a d u → = ∂ u ∂ x a x → + ∂ u ∂ y a y → + ∂ u ∂ z a z → \\overrightarrow\{grad \\space u\} = \\frac\{\\partial\{u\}\}\{\\partial\{x\}\}\\overrightarrow\{a\_x\} + \\frac\{\\partial\{u\}\}\{\\partial\{y\}\}\\overrightarrow\{a\_y\} + \\frac\{\\partial\{u\}\}\{\\partial\{z\}\}\\overrightarrow\{a\_z\} gradu=∂x∂uax\+∂y∂uay\+∂z∂uaz

如果当  l → \\overrightarrow\{l\} l 和梯度的方向一致，那么就表示是场函数  u ( x , y , z ) u(x,y,z) u(x,y,z) 变化最快的方向，最大变化率就是梯度的模值： ∣ g r a d u → ∣ = ∂ u ∂ x 2 + ∂ u ∂ y 2 + ∂ u ∂ z 2 |\\overrightarrow\{grad \\space u\} | = \\sqrt\{\\frac\{\\partial\{u\}\}\{\\partial\{x\}\}^2+\\frac\{\\partial\{u\}\}\{\\partial\{y\}\}^2+\\frac\{\\partial\{u\}\}\{\\partial\{z\}\}^2\} ∣gradu∣=∂x∂u2\+∂y∂u2\+∂z∂u2

**而标量场沿着任意方向的方向导数就等于梯度在这个方向上的投影！**，表示为： ∂ u ∂ l = g r a d u → ⋅ a l → \\frac\{\\partial\{u\}\}\{\\partial\{l\}\} = \\overrightarrow\{gradu\} \\sdot \\overrightarrow\{a\_l\} ∂l∂u=gradu⋅al

# 二、矢量场的散度 #

## 2.1 从通量说起 ##

首先，什么是通量呢？—— 简单点说，**就是单位时间内通过某一面积的曲面的量**。

我们以下面这个不封闭的曲面为例：我们可以将这个大曲面（设面积为  S S S）分割成若干个子区域对吧，每一个子区域的面积是  d S dS dS， d S dS dS 曲面的单位法向矢量是  a n → \\overrightarrow\{a\_n\} an。这里还需要说明一件事情：

对于不封闭的曲面来说，其单位法向矢量与曲面构成右手螺旋定则。因此，下图中的  a n → \\overrightarrow\{a\_n\} an 方向向上

![202003232050015.png][]

通过  d S dS dS 面的量，我们可以用  A → \\overrightarrow\{A\} A •  a n → \\overrightarrow\{a\_n\} an表示，那么根据积分的定义，通过整个面积为  S S S 的曲面的量就可以表示成 Φ = ∬ S A → ⋅ a n → d S (1) Φ=\\iint\_S\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{a\_n\} \\space dS\\tag\{1\} Φ=∬SA⋅andS(1)  
其中， A → \\overrightarrow\{A\} A •  a n → \\overrightarrow\{a\_n\} an表示矢量  A → \\overrightarrow\{A\} A 在 a n → \\overrightarrow\{a\_n\} an方向上的投影。那么，类似地，如果这个曲面是面积为  S S S 的闭合曲面，那么有 Φ = ∯ S A → ⋅ a n → d S (2) Φ = \\oiint\_S\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{a\_n\} \\space dS\\tag\{2\} Φ=∬SA⋅andS(2)  
式（1）、（2）就是我们所说的通量了！**注意：从上式的形式可以看出：通量是个标量！**

## 2.2 散度及其推导 ##

下面我们就想啊：假如是闭合曲面，讲道理净通量  Φ Φ Φ 应该是 0，也就是说进入闭合曲面的矢量线有几条，那么穿出去的应该也是多少条。但是，常常会有下面的情况：

1.  **如果  Φ > 0 Φ >0 Φ>0 ，说明这个闭合曲面内部还有一个“发射”的东西（我们称之为能量正源）**，使得穿出曲面的矢量线条数增加了。
2.  **如果  Φ > 0 Φ >0 Φ>0 ，说明这个闭合曲面内部还有一个“吸收”的东西（我们称之为能量负源）**，它会吸收穿入曲面的一些 “能量”（矢量线），使得穿出曲面的矢量线条数减小了。

如果我们再定义一个**通量源密度**，也就是单位体积内的通量大小。 ∯ S A → ⋅ a n → d S V \\frac\{\\oiint\_S\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{a\_n\} \\space dS\}\{V\} V∬SA⋅andS  
当我们将曲面所包围的体积逐渐缩小的时候，曲面也渐渐逼近通量源，当  V → 0 V\\to0 V→0时，若极限存在，我们就定义这个极限就是我们所说的散度： d i v A → = lim ⁡ V → 0 ∯ S A → ⋅ a n → d S V div\\overrightarrow\{A\} = \\lim\_\{V\\to0\}\\frac\{\\oiint\_S\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{a\_n\} \\space dS\}\{V\} divA=V→0limV∬SA⋅andS  
这就是散度的定义。**说明：散度也是一个标量！**

但是，在应用过程中，使用定义式直接计算散度相当麻烦，我们下面给出一个更好用的式子：  
先看下面的情况：

![20200323212403736.png][]

我们看这个长方体的最左下角的  M M M，定义  M ( x , y , z ) M(x, y, z) M(x,y,z)，长方体的长宽高分别是  △ y , △ x , △ z △y, △x, △z △y,△x,△z

在  M M M 点处的矢量为： A → = A x a x → + A y a y → + A z a z → \\overrightarrow\{A\} = A\_x\\overrightarrow\{a\_x\}+A\_y\\overrightarrow\{a\_y\}+A\_z\\overrightarrow\{a\_z\} A=Axax\+Ayay\+Azaz **这里特别注意： A x , A y , A z A\_x, A\_y,A\_z Ax,Ay,Az都是  ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z) 三者的函数！**

我们下面先看看长方体前面的通量： ∯ S 1 A → ⋅ a f r o n t → d S = ∯ S 1 A x d S = A x ( x + △ x , y , z ) △ y △ z \\oiint\_\{S1\}\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{a\_\{front\}\} dS = \\oiint\_\{S1\}A\_xdS = A\_x(x+△x, y, z)△y△z ∬S1A⋅afrontdS=∬S1AxdS=Ax(x\+△x,y,z)△y△z  
下面，我们回忆一下泰勒公式是怎么用的，下面是  f ( x ) f(x) f(x) 在  x 0 x\_0 x0 处的泰勒展开： f ( x ) = f ( x 0 ) 0 ! + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ f(x) = \\frac\{f(x\_0)\}\{0!\} + \\frac\{f'(x\_0)\}\{1!\}(x-x\_0) + \\frac\{f''(x\_0)\}\{2!\}(x-x\_0)^2 + \\cdots f(x)=0!f(x0)\+1!f′(x0)(x−x0)\+2!f′′(x0)(x−x0)2\+⋯  
那么，类似地使用变量代换，将上式的  x x x 代换成  x + △ x x+△x x\+△x， x 0 x\_0 x0 换成  x x x， f ( ) f() f()函数使用  A x ( ) A\_x() Ax()替换，得： A x ( x + △ x , y , z ) = A x ( x , y , z ) + ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x + 1 2 ∂ 2 A x ( x , y , z ) ∂ x 2 △ x 2 + ⋯ A\_x(x+△x,y,z) =A\_x(x,y,z)+\\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x + \\frac\{1\}\{2\}\\frac\{\\partial^2 A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x^2\}△x^2+\\cdots Ax(x\+△x,y,z)=Ax(x,y,z)\+∂x∂Ax(x,y,z)△x\+21∂x2∂2Ax(x,y,z)△x2\+⋯  
因此，我们可以得到一个近似表达： A x ( x + △ x , y , z ) ≈ A x ( x , y , z ) + ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x A\_x(x+△x,y,z) ≈ A\_x(x,y,z)+\\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x Ax(x\+△x,y,z)≈Ax(x,y,z)\+∂x∂Ax(x,y,z)△x

因此，前面的净通量就近似表示成： ∯ S 1 A → ⋅ a f r o n t → d S ≈ A x ( x , y , z ) △ y △ z + ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x △ y △ z \\oiint\_\{S1\}\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{a\_\{front\}\} dS ≈A\_x(x,y,z)△y△z+\\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x△y△z ∬S1A⋅afrontdS≈Ax(x,y,z)△y△z\+∂x∂Ax(x,y,z)△x△y△z  
那么，我们再看看后面得通量：由于  A x a x → A\_x\\overrightarrow\{a\_x\} Axax 的方向是沿着  x x x 轴的正方向，因此与  a b a c k → \\overrightarrow\{a\_\{back\}\} aback 的方向相反，那么得到的通量结果是： ∯ S 2 A → ⋅ a b a c k → d S = − A x ( x , y , z ) △ y △ z \\oiint\_\{S2\}\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{a\_\{back\}\} dS = -A\_x(x,y,z)△y△z ∬S2A⋅abackdS=−Ax(x,y,z)△y△z

那么，我们就可以得到前后两个面的净通量： Φ f r o n t + Φ b a c k = A x ( x , y , z ) △ y △ z + ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x △ y △ z − A x ( x , y , z ) △ y △ z = ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x △ y △ z \\begin\{aligned\} Φ\_\{front\} + Φ\_\{back\} &= A\_x(x,y,z)△y△z+\\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x△y△z - A\_x(x,y,z)△y△z\\\\ &=\\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x△y△z \\end\{aligned\} Φfront\+Φback=Ax(x,y,z)△y△z\+∂x∂Ax(x,y,z)△x△y△z−Ax(x,y,z)△y△z=∂x∂Ax(x,y,z)△x△y△z

那么，如果我们求出前后左右上下六个面的净通量，就可以表示成： Φ t o t a l = ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ x △ y △ z + ∂ A y ( x , y , z ) ∂ y △ x △ y △ z + ∂ A z ( x , y , z ) ∂ z △ x △ y △ z Φ\_\{total\} = \\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△x△y△z + \\frac\{\\partial A\_y(x,y,z)\}\{\\partial y\}△x△y△z + \\frac\{\\partial A\_z(x,y,z)\}\{\\partial z\}△x△y△z Φtotal=∂x∂Ax(x,y,z)△x△y△z\+∂y∂Ay(x,y,z)△x△y△z\+∂z∂Az(x,y,z)△x△y△z  
令体积微元  △ V = △ x △ y △ z △V = △x△y△z △V=△x△y△z，因此得到闭合曲面净通量表达式： Φ t o t a l = ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x △ V + ∂ A y ( x , y , z ) ∂ y △ V + ∂ A z ( x , y , z ) ∂ z △ V Φ\_\{total\} = \\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\}△V + \\frac\{\\partial A\_y(x,y,z)\}\{\\partial y\}△V + \\frac\{\\partial A\_z(x,y,z)\}\{\\partial z\}△V Φtotal=∂x∂Ax(x,y,z)△V\+∂y∂Ay(x,y,z)△V\+∂z∂Az(x,y,z)△V  
把它重新带入散度的定义式，我们就可以得到散度的计算公式： d i v A → = ∂ A x ( x , y , z ) ∂ x + ∂ A y ( x , y , z ) ∂ y + ∂ A z ( x , y , z ) ∂ z = ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z \\begin\{aligned\} div\\overrightarrow\{A\} &= \\frac\{\\partial A\_x(x,y,z)\}\{\\partial x\} + \\frac\{\\partial A\_y(x,y,z)\}\{\\partial y\} + \\frac\{\\partial A\_z(x,y,z)\}\{\\partial z\}\\\\ &=\\frac\{\\partial A\_x\}\{\\partial x\} + \\frac\{\\partial A\_y\}\{\\partial y\} + \\frac\{\\partial A\_z\}\{\\partial z\} \\end\{aligned\} divA=∂x∂Ax(x,y,z)\+∂y∂Ay(x,y,z)\+∂z∂Az(x,y,z)=∂x∂Ax\+∂y∂Ay\+∂z∂Az

1.   d i v A → > 0 div\\overrightarrow\{A\} > 0 divA>0：则表示该点处有一个正源（发射矢量线）
2.   d i v A → < 0 div\\overrightarrow\{A\} < 0 divA<0：则表示该点处有一个负源（吸收矢量线）
3.   d i v A → = 0 div\\overrightarrow\{A\} = 0 divA=0：则表示该点没有场源

下面我们定义一个以后非常常用的算子： ▽ \\triangledown ▽算子：(**矢量微分算子**） ▽ = ∂ ∂ x a x → + ∂ ∂ y a y → + ∂ ∂ z a z → \\triangledown = \\frac\{\\partial \}\{\\partial x\}\\overrightarrow\{a\_x\} + \\frac\{\\partial\}\{\\partial y\}\\overrightarrow\{a\_y\} + \\frac\{\\partial \}\{\\partial z\}\\overrightarrow\{a\_z\} ▽=∂x∂ax\+∂y∂ay\+∂z∂az

因此，散度就可以表示成： d i v A → = ▽ ⋅ A → div\\overrightarrow\{A\} = \\triangledown \\sdot \\overrightarrow\{A\} divA=▽⋅A，**散度表示矢量场内一点的吸收或者辐射程度**

## 2.3 高斯散度的定理 ##

# 三、矢量场的旋度 #

## 3.1 先从环量说起： ##

先看看下面的 （a）图，考虑这样一个  A → \\overrightarrow\{A\} A 的矢量场。我们举一个具体的例子：比如说这个一个“风”场，里面每一点的向量的方向代表该点处风力的方向，矢量长度代表该点风力大小。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
假如这是由龙卷风组成的强大的场，那么试想一下在这个风暴场里面如果有一个飘零的线圈  c c c，我们可以想象得出来，这个线圈将会收到风力的影响而旋转。那么，如何描述这个线圈  c c c 所受到的风力大小呢？

我们先从线圈的一个点开始计算：

假设在线圈上一点  M M M，这个点处线圈的方向是  d l → \\overrightarrow\{dl\} dl，风力场在 M 点的矢量方向是  A → \\overrightarrow\{A\} A，我们知道，只有切线上的力会导致物体旋转，因此，我们也考虑风力在切线方向的作用： A → \\overrightarrow\{A\} A 在  d l → \\overrightarrow\{dl\} dl 方向上的投影恰好就是风力在切线方向的大小。

因此，在这一个点 M 上，所受到的风力大小就是： A → ⋅ d l → \\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{dl\} A⋅dl  
那么，整个线圈收到的风力大小就是： ∮ c A → ⋅ d l → \\oint\_c\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{dl\} ∮cA⋅dl

而其实，如果我们假设这个线圈  c c c 内部存在一个涡旋源，我们现在还想研究这个涡旋源的强度：

因此，和推导散度类似的办法，假设线圈的面积是 S，如果令 S 无限趋近于0，就可以缩到如图（b）所示的一个点 M，我们有： lim ⁡ S → 0 ∮ c A → ⋅ d l → S \\lim\_\{S\\to 0\}\\frac\{\\oint\_c\\overrightarrow\{A\}\\sdot \\overrightarrow\{dl\}\}\{S\} S→0limS∮cA⋅dl  
**这个叫做矢量场  A → \\overrightarrow\{A\} A 在点 M 处沿着方向  n → \\overrightarrow\{n\} n 处的环量面密度。**

> 欸？？？按照类比的思路，这里的形式不应该是旋量吗？——但是你别忘了，旋量是一个矢量，它还有方向。开始，经过 M 点的平面有无穷多个，那么方向也就是无穷多个。显然不符合旋量的定义。

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如图，假设我们的磁场  B → \\overrightarrow\{B\} B 的方向是沿着竖直轴逆时针旋转的，那么经过中心点取的一个平面，假设这个平面和磁场方向平行，那么  B → \\overrightarrow\{B\} B 在该点处沿着该面方向的环量面密度最大。

**因此，我们定义环量面密度最大的时候，环量面密度的模值就是旋量的模值，该环线所围的面积的法向就是旋量的方向。记为： r o t A → rot\\overrightarrow\{A\} rotA**

公式就直接给出来： r o t A → = ▽ × A → rot\\overrightarrow\{A\} = \\triangledown × \\overrightarrow\{A\} rotA=▽×A  
即： r o t A → = ▽ × A → = \[ a x → a y → a z → ∂ ∂ x ∂ ∂ x ∂ ∂ x A x A y A Z \] rot\\overrightarrow\{A\} = \\triangledown × \\overrightarrow\{A\} = \\begin\{bmatrix\} \\overrightarrow\{a\_x\} & \\overrightarrow\{a\_y\} & \\overrightarrow\{a\_z\}\\\\ \\\\ \\frac\{\\partial \}\{\\partial x\} & \\frac\{\\partial \}\{\\partial x\} & \\frac\{\\partial \}\{\\partial x\}\\\\ \\\\ A\_x & A\_y & A\_Z \\end\{bmatrix\} rotA=▽×A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡ax∂x∂Axay∂x∂Ayaz∂x∂AZ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

# 四、梯度、旋度、散度的关系 #

1.  旋度的散度等于0： ▽ ⋅ ( ▽ × A → ) = 0 \\triangledown \\sdot (\\triangledown ×\\overrightarrow\{A\}) = 0 ▽⋅(▽×A)=0
2.  梯度的旋度等于0： ▽ × ( ▽ u ) = 0 \\triangledown × (\\triangledown u) = 0 ▽×(▽u)=0

在这篇  B l o g Blog Blog 的最后，**再简单说明一个问题： ▽ \\triangledown ▽ 这个算子叫做”矢量微分算子”，也就是说，它既具有矢量的性质，又具有微分的性质（比如复合函数求导法则）**，我们举两个例子：  
【1】 ▽ ( u v ) \\triangledown\{(uv)\} ▽(uv)，这时，  ▽ \\triangledown ▽ 具有微分的性质，我们可以看成是对  u v uv uv 求导，因为  u v uv uv 是一个复合函数，因此就有： u ▽ v + v ▽ u u\\triangledown\{v\} + v\\triangledown\{u\} u▽v\+v▽u

【2】因为向量有下面这个性质： A → ⋅ ( B → × C → ) = B → ⋅ ( A → × C → ) = C → ⋅ ( A → × B → ) \\overrightarrow\{A\}\\sdot (\\overrightarrow\{B\} × \\overrightarrow\{C\}) = \\overrightarrow\{B\}\\sdot (\\overrightarrow\{A\} × \\overrightarrow\{C\}) = \\overrightarrow\{C\}\\sdot (\\overrightarrow\{A\} × \\overrightarrow\{B\}) A⋅(B×C)=B⋅(A×C)=C⋅(A×B)  
所以， ▽ \\triangledown ▽ 也有这样的性质： ▽ ⋅ ( B → × C → ) = B → ⋅ ( ▽ × C → ) = C → ⋅ ( ▽ × B → ) \\triangledown\\sdot (\\overrightarrow\{B\} × \\overrightarrow\{C\}) = \\overrightarrow\{B\}\\sdot (\\triangledown × \\overrightarrow\{C\}) = \\overrightarrow\{C\}\\sdot (\\triangledown × \\overrightarrow\{B\}) ▽⋅(B×C)=B⋅(▽×C)=C⋅(▽×B)  
这时我们要把  ▽ \\triangledown ▽ 当成矢量看待。

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[20200324150126945.png]: /images/20230528/8331510e9177403b88d5bcf24fa830aa.png