C语言笔记：数制与进制（数制）之间转换问题

Bertha 。 2023-08-17 16:24 21阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  简介
 *  进制的基本概念
 *  二进制、八进制、十六进制加减法的区别
 *   *  二进制
     *  八进制
     *  十六进制
 *  数制之间的转换
 *   *  情景一、将二进制、八进制、十六进制转换为十进制（总结：按权相加）
     *   *  整数部分（不带小数）
         *  整数部分+小数部分
     *  情景二、将十进制转换为二进制、八进制、十六进制（总结：整数部分为除 N 取余，逆序排列，小数部分为乘 N 取整，顺序排列，N为要转换对应进制的基数）
     *   *  整数部分（不带小数）
         *  整数部分+小数部分
     *  情景三、二进制和八进制、十六进制的转换（总结：通常二进制的3位分别用八进制的3位和十六进制的4位来表示）
     *   *  二进制整数和八进制整数之间的转换
         *  二进制整数和十六进制整数之间的转换

# 简介 #

目前计算机虽然能够快速运算，但它内部使用的数据并不像人类所熟悉的十进制数，而是使用只含0、1组成的二进制数。我们输入到计算机的十进制数需要被转换成二进制数后再进行计算，计算后的结果又由二进制转换成我们需要的进制数，这些都是由操作系统自动完成，数制是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法，人们通常采用的数制有十进制，二进制，八进制和十六进制。

# 进制的基本概念 #

二进制，八进制，十进制，十六进制之间的区别在于：

*  数码（各个位上的数字）表示的范围不同，二进制的数码有0和1，十六进制的数码有0~9，A~F
 *  基数（所能够使用数码的个数）不同，二进制的基数为2，十六进制的基数为16
 *  位权（i位上的位权为基数的（i-1）次幂，从左至右分别为第1位，第2位…），如十进制数123中的1所在位的位权是10^2，2所在位的位权是10^1，3所在位的位权是10^0；二进制数1101中，最左边的1位权是2^3

# 二进制、八进制、十六进制加减法的区别 #

## 二进制 ##

二进制加减法和十进制加减法的思想是类似的：对于二进制，进行加法运算时逢二进一，进行减法运算时借一当二。

*  二进制加法：1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110  
    ![在这里插入图片描述][20190928151533769.PNG]
 *  二进制减法：1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70]

## 八进制 ##

八进制有 0~7 共8个数字，基数为8，加法运算时逢八进一，减法运算时借一当八。例如，数字 0、1、5、7、14、733、67001、25430 都是有效的八进制。

*  八进制加法：3+4=7、5+6=13、75+42=137、2427+567=3216

![在这里插入图片描述][20190928152000609.PNG]

*  八进制减法：6-4=2、52-27=23、307-141=146、7430-1451=5757  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

## 十六进制 ##

十六进制中，用A来表示10，B表示11，C表示12，D表示13，E表示14，F表示15，因此有 0~F 共16个数字，基数为16，加法运算时逢16进1，减法运算时借1当16。例如，数字 0、1、6、9、A、D、F、419、EA32、80A3、BC00 都是有效的十六进制。

*  十六进制加法：6+7=D、18+BA=D2、595+792=D27、2F87+F8A=3F11

![在这里插入图片描述][20190928152241326.PNG]

*  十六进制减法：D-3=A、52-2F=23、E07-141=CC6、7CA0-1CB1=5FEF

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

# 数制之间的转换 #

## 情景一、将二进制、八进制、十六进制转换为十进制（总结：按权相加） ##

二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易，就是“按权（位权）相加”。不清楚位权的同学可以往上看。  
假设当前数字是 N 进制，那么：

*  对于整数部分，从右往左看，第 i 位的位权等于Ni-1
 *  对于小数部分，恰好相反，要从左往右看，第 j 位的位权为N-j

### 整数部分（不带小数） ###

将二进制数字11010转换成十进制：

11010 = 1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 26（十进制）

八进制数字 53627 转换成十进制：

53627 = 5×8^4 + 3×8^3 + 6×8^2 + 2×8^1 + 7×8^0 = 22423（十进制）

十六进制数字 9FA8C 转换成十进制（将A~F对应的具体的数字计算）：

9FA8C = 9×16^4 + 15×16^3 + 10×16^2 + 8×16^1 + 12×16^0 = 653964（十进制）

### 整数部分+小数部分 ###

二进制数字1010.1101 转换成十进制：

1010.1101 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 + 1×2^-1 + 1×2^-2 + 0×2^-3 + 1×2^-4 = 10.8125（十进制）

八进制数字 423.5176 转换成十进制：

423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875（十进制）

小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 8-1=1/8，第2位的位权为 8-2=1/64，第3位的位权为 8-3=1/512，第4位的位权为 8-4=1/4096 …… 第m位的位权就为 8-m。

C语言实现代码（仅讨论整数）：

/* 将一个2,8进制转换为十进制 （算法思维从高位到低位运算，暂时没考虑16进制） */
    #include <stdio.h>
    #include <string.h>//strlen()
    int OcToDec(char *a,int base);//将2,8进制数a转换为十进制数 
    int main(void)
    { 
     char a[20];//a存放八进制整数
     int tennum;//存放a对应的十进制整数
     printf("请输入一个数：") ;
     scanf("%s",a);//输入的时候，a[20]={1,0,1} 
     int n;
     printf("请输入该数的基数（输入的是几进制基数就是几）：");
     scanf("%d",&n);
     tennum=OcToDec(a,n);
     printf("%d进制数%s转换为十进制为：%d\n",n,a,tennum);
     return 0;
    }
    int OcToDec(char *a,int base)
    { 
     int sum=0;//变量sum存放a对应的十进制数 
     int len=strlen(a);//位数 
     int weight=1;//位权值
     for(int i=len-1;i>=0;i--)//将八进制从低位向高位输出， 即数组a下标最大的元素为八进制的最低位 
     { 
      sum+=(a[i]-'0')*weight;//数组下标i越小，即八进制位数越高，位权weight越重 ，a[i]-'0'转化为Ascii码运算到到一个字符数字对应的整型数字 
      weight*=base; 
     } 
     return sum;
    }

测试输出：  
![在这里插入图片描述][20191001163545206.PNG]  
![在这里插入图片描述][20191001163608132.PNG]  
扩展：以下代码块将int OcToDec(char \*a,int base)函数体修改一下，让其从二进制或八进制高位向低位扫描各位上的数，按权相加求和。其中base为基数2或8

int OcToDec(char *a, int base)   //将base（8）进制数a转换成十进制数 
    {
     int sum = 0;              
        int len = strlen(a);    
                
     for(int i = 0;i < len;i++)
     {  
         sum = sum * base + a[i] - '0';      
     }
     return sum;
    }

## 情景二、将十进制转换为二进制、八进制、十六进制（总结：整数部分为除 N 取余，逆序排列，小数部分为乘 N 取整，顺序排列，N为要转换对应进制的基数） ##

将十进制转换为其它进制时比较复杂，整数部分和小数部分的算法不一样。如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分，那么将整数部分和小数部分开，分别按照上面的方法完成转换，然后再合并在一起即可。

### 整数部分（不带小数） ###

具体做法：

*  将 N （要转化的目标进制的基数） 作为除数，用十进制整数除以 N，可以得到一个商和余数；
 *  保留余数，用商继续除以 N，又得到一个新的商和余数；
 *  仍然保留余数，用商继续除以 N，还会得到一个新的商和余数；
 *  **…**
 *  如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以 N，直到商为 0 时为止。

将十进制数字 36926 转换成八进制：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
结果为110076（八进制）。

将十进制数字 42 转换成二进制的过程：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

结果为101010（二进制）

### 整数部分+小数部分 ###

具体做法：

*  用 N（要转化的目标进制的基数） 乘以十进制小数，可以得到一个积，这个积包含了整数部分和小数部分；
 *  将积的整数部分取出，再用 N 乘以余下的小数部分，又得到一个新的积；
 *  再将积的整数部分取出，继续用 N 乘以余下的小数部分；
 *  **…**
 *  如此反复进行，每次都取出整数部分，用 N 接着乘以小数部分，直到积中的小数部分为 0，或者达到所要求的精度为止。

十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的过程：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的结果为 0.7345。

十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的过程：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。

C语言实现代码（仅讨论整数）：

/* 将十进制转换为2,8,16进制 */
    #include <stdio.h>
    #include <string.h>
    void DToM(int d,int m,char *mnum);//D->decimalism 
    int main(void)
    { 
     int d;//存放输入的十进制数
     printf("请输入一个待转换的十进制数："); 
     scanf("%d",&d);
     int M;
     printf("请输入要转换的进制（2,8,16）：");
     scanf("%d",&M);
     char Mnum[100];//存放十进制数d对应的M进制数
     DToM(d,M,Mnum);
     printf("该十进制数对应的%d进制数为：%s\n",M,Mnum); 
     return 0;
    }
    void DToM(int d,int m,char *mnum)//d为十进制数，m为要转换的目标进制数，mnum指向的数组存放转换结果 
    { 
     int len=0,r=0;//存放mnum指向数组的下标以及余数 
     do
     { //除M取余 
      r=d%m;
      if(r >= 10) //针对要转换为16进制的情况 
             mnum[len++] = r - 10 + 'A';   //将对应的整数转换成字母字符
         else      
             mnum[len++] = r + '0';     //将对应的整数转换成数字字符
      d/=m;
     }while(d!=0);
     mnum[len]='\0';
     char t;
     for(int i=0,j=len-1;i<j;i++,j--)//逆置输出 
     { 
      t=mnum[i];
      mnum[i]=mnum[j];
      mnum[j]=t;
     }
    }

测试输出：  
![在这里插入图片描述][20191001193302510.PNG]  
![在这里插入图片描述][20191001193313522.PNG]  
![在这里插入图片描述][20191001193325107.PNG]

## 情景三、二进制和八进制、十六进制的转换（总结：通常二进制的3位分别用八进制的3位和十六进制的4位来表示） ##

首先可以使用上面的方法

*  将二进制转换为十进制（对应上文讲到的情景一），然后十进制转换为对应的的八进制和十六进制（对应上文讲到的情景二）
 *  亦或者将八进制和十六进制转换为十进制（情景一），然后十进制转化为二进制（情景二）

C语言实现代码（将情景一和情景二的代码整合一下，即借助十进制数作为中介）：

/* N进制到M进制 */ 
    #include <stdio.h>
    #include <string.h>
    int NToD(char *a,int base);//将N进制数a转换为十进制数 (N可以考虑二、八、十六进制)
    void DToM(int d,int m,char *mnum);//再将十进制转换成M进制(M可以考虑二，八，十六进制)
    int getIndexOfSigns(char *ch);//NtoD函数内调用
    int main(void)
    { 
     int N,M;//要将N进制数转换成M进制数 
     char Nnum[20],Mnum[20];//存放N进制数以及转换后的M进制数
     printf("要将N进制数Nnum转换成M进制数请输入以下格式\nN Nnum M："); 
     scanf("%d %s %d",&N,Nnum,&M);
     int d=NToD(Nnum,N);//将N进制数Nnum转换成十进制数d
     DToM(d,M,Mnum);//将十进制数d转换成M进制数Mnum
     printf("%d进制数%s转换成%d进制数为：%s\n",N,Nnum,M,Mnum); 
     return 0; 
    }
    int NToD(char *a,int base)
    { 
     int sum=0;//变量sum存放a对应的十进制数 
     int len=strlen(a);//位数 
     int weight=1;//位权值
     for(int i=len-1;i>=0;i--)//将N进制从低位向高位输出， 即数组a下标最大的元素为八进制的最低位 
     { 
      sum+=(getIndexOfSigns(a[i]))*weight;//数组下标i越小，即八进制位数越高，位权weight越重 ，a[i]-'0'将字母映射为十进制数 
      weight*=base; 
     } 
     return sum;
    }
    void DToM(int d,int m,char *mnum)
    { 
     int len=0,r=0;//存放mnum指向数组的下标以及余数 
     do
     { //除M取余 
      r=d%m;
      if(r >= 10) //针对要转换为16进制的情况 
             mnum[len++] = r - 10 + 'A';   //将对应的整数转换成字母字符
         else      
             mnum[len++] = r + '0';     //将对应的整数转换成数字字符
      d/=m;
     }while(d!=0);
     mnum[len]='\0';
     char t;
     for(int i=0,j=len-1;i<j;i++,j--)//逆置输出 
     { 
      t=mnum[i];
      mnum[i]=mnum[j];
      mnum[j]=t;
     }
    }
    int getIndexOfSigns(char *ch)
    { 
        if(ch >= '0' && ch <= '9')
        { 
            return ch - '0';
        }
        if(ch >= 'A' && ch <='F') 
        { 
            return ch - 'A' + 10;
        }
        if(ch >= 'a' && ch <= 'f')
        { 
            return ch - 'a' + 10;
        }
        return -1;
    }

情况三代码是对情况一和情况二的综合，将情况一的int OcToDec（）改了一下见名知意的名字int NToD（），内部代码块没改，然后直接使用情况二的void DToM（），然后多加了一个int getIndexOfSigns(char \*ch)增加了情况一对16进制的支持。

测试输出结果（其中对情况一中的函数进行了改进，支持16进制转换为10进制）：  
![在这里插入图片描述][20191002082455802.PNG]  
![在这里插入图片描述][20191002082504993.PNG]

这里采用一种简便的办法：

### 二进制整数和八进制整数之间的转换 ###

二进制整数转换为八进制整数时，每三位二进制数字转换为一位八进制数字（由于3位的二进制数最大只能是7，而八进制的数码正是0~7，3位二进制位按权相加得到一个十进制数），运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足三位用零补齐，最后拼接起来。

二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674：

![在这里插入图片描述][20190928161705864.PNG]  
结果为 1674（八进制）

八进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位八进制数字转换为三位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制：  
![在这里插入图片描述][20190928161907320.PNG]  
结果为010111100011（二进制）

### 二进制整数和十六进制整数之间的转换 ###

二进制整数转换为十六进制整数时，每四位二进制数字转换为一位十六进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制：  
![在这里插入图片描述][20190928162126783.PNG]  
二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C（注意：十进制数要按十六进制数对应的表示法表示）。

十六进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位十六进制数字转换为四位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制：

![在这里插入图片描述][20190928162302940.PNG]  
从图中可以看出，十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。

[20190928151533769.PNG]: /images/20230810/a94ee307098145bea4d4f50c4b1995b0.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230810/254e06b0129044fb8fd4807f840107b7.png
[20190928152000609.PNG]: /images/20230810/7b21c4d6a1764eb3a96f7889b8cda11d.png
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[20190928152241326.PNG]: /images/20230810/591b08c6c94f4e82a147d746ddffa000.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20230810/288e6efa88e74cb38ed1070c9494a883.png
[20191001163545206.PNG]: /images/20230810/ea02f5d0fb374b64879f0b9db3c8c6e0.png
[20191001163608132.PNG]: /images/20230810/cb3a83480b1d416fa2fd55a2fedc7f5c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20230810/671064ba5e36471a958c1533f75a799e.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20230810/92f57a613870496ead1c63ae390821df.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20230810/088bd6f36f9b4d7caff2c24abd305d35.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjEyNDIzNA_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: /images/20230810/d4d560af159c4ba99470d9754c347a55.png
[20191001193302510.PNG]: /images/20230810/d735d1b0942f49e19e55d5d8328fc618.png
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