梯度下降法-5.随机梯度下降法

落日映苍穹つ 2023-08-17 16:44 125阅读 0赞

之前所讲解的梯度下降法是批量梯度下降法（Batch Gradient Descent），我们将要优化的损失函数在某一点\$\\theta\$的梯度值准确的求出来  
\\\[\\Lambda J = \\begin\{bmatrix\} \\frac\{\\partial J\}\{\\partial \\theta \_0\} \\\\ \\frac\{\\partial J\}\{\\partial \\theta \_1\} \\\\ \\frac\{\\partial J\}\{\\partial \\theta \_2\} \\\\ ... \\\\ \\frac\{\\partial J\}\{\\partial \\theta \_n\} \\end\{bmatrix\} = \\frac\{2\}\{m\}\\begin\{bmatrix\} \\sum(X^\{(i)\}\_b\\theta - y^\{(i)\}) \\cdot X\_0^\{(i)\}\\\\ \\sum(X^\{(i)\}\_b\\theta - y^\{(i)\}) \\cdot X\_1^\{(i)\}\\\\ \\sum(X^\{(i)\}\_b\\theta - y^\{(i)\}) \\cdot X\_2^\{(i)\}\\\\ ...\\\\ \\sum(X^\{(i)\}\_b\\theta - y^\{(i)\}) \\cdot X\_3^\{(i)\} \\end\{bmatrix\} = \\frac\{2\}\{m\}X\_b^T \\cdot (X\_b\\theta -y) \\\]  
通过以上公式可以看出，每一项都要将所有的样本进行计算，如果样本非常大，那么计算梯度本身相当耗时，所以引入了随机梯度下降法。

## 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent） ##

假设有m个样本，我们随机挑选出一个样本，进行搜索  
\\\[\\Lambda J = \\begin\{bmatrix\} \\frac\{\\partial J\}\{\\partial \\theta \_0\} \\\\ \\frac\{\\partial J\}\{\\partial \\theta \_1\} \\\\ \\frac\{\\partial J\}\{\\partial \\theta \_2\} \\\\ ... \\\\ \\frac\{\\partial J\}\{\\partial \\theta \_n\} \\end\{bmatrix\} = 2\\begin\{bmatrix\} (X^\{(i)\}\_b\\theta - y^\{(i)\}) \\cdot X\_0^\{(i)\}\\\\ (X^\{(i)\}\_b\\theta - y^\{(i)\}) \\cdot X\_1^\{(i)\}\\\\ (X^\{(i)\}\_b\\theta - y^\{(i)\}) \\cdot X\_2^\{(i)\}\\\\ ...\\\\ (X^\{(i)\}\_b\\theta - y^\{(i)\}) \\cdot X\_3^\{(i)\} \\end\{bmatrix\} = 2(X\_b^\{(i)\})^T \\cdot (X\_b^\{(i)\}\\theta -y\_i) \\\]  
其搜索过程如下图所示：  
![1465169-20190719195706416-371483114.png][]  
因为随机的不可预知性，搜索过程中，不可能到达最小值这个固定的位置，但是会在附近徘徊，当样本m比较大时，可以用一定的精度来换取时间，而学习率$\\eta $ 的选取至关重要，学习率$\\eta $应该随着循环次数的增加而逐渐变小：  
\\\[ \\eta = \\frac\{a\}\{iters +b\} \\\]  
iters为循环次数，a,b为两个超参数

## 验证随机梯度下降 ##

构造数据集

import numpy
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    m = 100000
    
    x = numpy.random.normal(size=m)
    X = x.reshape(-1,1)
    y = 4. *x + 3. + numpy.random.normal(0.0,3.0,size=m)

定义梯度下降的过程

# 返回某个样本的梯度值
    def dJ_Sgd(theta,X_b_i,y_i):  
        return X_b_i.T.dot(X_b_i.dot(theta)-y_i)*2
        
    # 梯度下降的过程
    def sgd(X_b,y,init_theta,n_iters,espilon=1e-8):  #求导
    
        t0 =5
        t1=50    
        def learn_rate(t):  # 定义学习率
            return t0/(t+t1)
        theta = init_theta
        m = len(X_b)
        # 梯度下降 n_iters 次
        for cur_iters in range(n_iters):
            # m个样本中随机找出一个样本
            rand_i = numpy.random.randint(m)
            gradient = dJ_Sgd(theta,X_b[rand_i],y[rand_i])
            theta = theta - gradient * learn_rate(n_iters*m +i)
        return theta

测试，为了展现随机梯度下降法的威力，梯度下降次数取样本值的1/3时，求得的 \$\\theta\$ 值

%%time
    X_b = numpy.hstack([numpy.ones((len(X),1)),X])
    init_theta = numpy.zeros(X_b.shape[1])
    theta = sgd(X_b,y,init_theta,n_iters=len(X_b)//3)

![1465169-20190719200609216-893002159.png][]  
可以看出随机梯度下降法的计算次数少，但是准确率却很高

## 封装并查看真实的数据集中的效果 ##

加载波士顿房产数据集

import numpy
    import matplotlib.pyplot as plt
    from sklearn import datasets
    
    boston = datasets.load_boston()
    X = boston.data
    y = boston.target
    
    X = X[y<50]
    y = y[y<50]

对原始数据进行预处理：

# 训练 测试数据分离
    from mylib.model_selection import train_test_split
    X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,seed=666)
    # 数据归一化
    from sklearn.preprocessing import StandardScaler
    Sd = StandardScaler()
    Sd.fit(X_train)
    X_train_stand = Sd.transform(X_train)
    X_test_stand = Sd.transform(X_test)

加载封装的库，查看计算时间和准确率

from mylib.LineRegression import LineRegression
    reg_2 = LineRegression()
    %time reg_2.fit_sgd(X_train_stand,y_train,n_iters=3)
    reg_2.score(X_test_stand,y_test)

![1465169-20190719195808778-469062617.png][]

## scikit-learn 中的 SGD ##

from sklearn.linear_model import SGDRegressor
    
    sgd_reg = SGDRegressor(n_iters=50)
    %time sgd_reg.fit(X_train_stand,y_train)
    sgd_reg.score(X_test_stand,y_test)

转载于:https://www.cnblogs.com/shuai-long/p/11215462.html

[1465169-20190719195706416-371483114.png]: /images/20230809/9838a4f758854acaabbcd5c54ecbcde3.png
[1465169-20190719200609216-893002159.png]: /images/20230809/14624ae39ca04381b770073e612ca9c9.png
[1465169-20190719195808778-469062617.png]: /images/20230809/4f2cf9c13c4148708db0448a869f3061.png