纤维丛

亦凉 2023-08-17 16:54 29阅读 0赞

刚刚发现了这篇文章，感觉不错，发来共享一下  
  
纤维丛（fibre bundle）是微分几何中的一个重要概念，但它却是非常抽象的，传说要真正理解纤维丛至少需要四年。一般数学书上尽管也举一些标准例子，但只是介绍其中代数与微分的构造，很少对它们的直观图像进行分析。下面我结合自己对纤维丛的一点认识，写一篇小文章算是填补一下其中的空白。   
  
  
简单的说，纤维丛就是一簇在基底流形上参数化的局部平凡的拓扑空间，而这里的拓扑空间多半是以流形的面目出现的，视其为基底流形上面的参数化流形也未尝不可。它有一个重要的特例是向量丛（vector bundle），那是一簇在流形上参数化的局部平凡的向量空间。然而，人类对的直观只能达到三维，而基底流形至少要占掉一维，因此所能见到直观例子主要也就纤维为一维的情形了。   
  
一维纤维的直观形象就是“毛”，如果是一维向量丛（又称线丛），那就笔直的“硬毛”，一般的纤维丛则可能是“软毛”。然而，“毛”的形象却是有缺陷的，它暗示着纤维似乎是从基底流形发出的，但实际上纤维是穿透基底流形的。这里的误解还有另一个源头，那就是很多中文书上把基底流形称为底流形，结果就自然被误认为是位于底部的流形（记得我去国外（网站）讨论数学时，翻译回去就是bottom manifold。结果有些老外就搞不明白了，后来发现它的英文是base，翻译成“基底”或者简称“基”才更加准确）。就直线上的线丛而言，它的形象不应该类似于“梳子”，而应该更接近于“蜈蚣”，这里“蜈蚣的腿”就相当于上面的“毛”，但它既是无限条，也是无限长的。   
  
然而，对“蜈蚣”形象还有个疑问，这里“蜈蚣”的（无限条无限长的）腿是不是一定要垂直于身体，也就是说纤维丛里的纤维是不是一定正交于基底流形呢？有趣的是，在我所见到的书籍当中，没有一本书中的纤维丛定义要求它正交，但同样没有一本书中画出来的示意图（假若有图的话）不是正交的，后者大概是出于美观的考虑，但却容易使人产生误解。实际上。把各纤维转到同样的角度，得到的“歪腿蜈蚣”一样也是纤维丛。   
  
  
  
同样，对“斜腿蜈蚣”我们也有一个疑问，就是那些腿是不是一定非要平行呢？这里容易出现的误解是：假若不平行，那么无限长的“腿”就必然相交，这违反了局部平凡化的要求。但考虑一下圆周S1上的切丛，相邻点的切线似乎总是相交的，这不是与上述要求矛盾了吗？实际上，这是因为我们在二维空间内处理问题的结果，实际上“蜈蚣的腿”是可以伸展到三维空间不相交的。圆周上的切丛也是如此，一个标准的图形就是圆柱面，而对于二维球面上的切丛，那就是三维空间中所无法完美展现的了，尽管画出来的图形是相交的，但实际上却是在更高维的空间中不相交的。   
  
那么，“斜腿蜈蚣”的腿大概可以歪到什么程度呢？这里由局部平凡化条件决定的，一是它们不能相交，二是要保持连续条件，那就是说“毛”的全体构成了一张“膜”。对于其他的纤维丛，它的大体形象也就是某种抽象意义上的“膜”。   
  
  
我们继续来看一下圆柱面的情形，它可以看做圆周的切丛（线丛），但也可以视为直线上的一维球丛（圆周丛）。事实上，现出来就是S1×R，S1为底流形，R为纤维时就是前者；而把R视为底流形，S1视为纤维时就是后者，后者的“毛”的卷的，因此并不属于向量丛。在同样的流形中，假若定义的基底流形与纤维不同时，就可能是不同的纤维丛。   
  
在相对论中我们喜欢选定一个参考系，然后观察物体的运动状况，这就相当于固定好纤维，让基底流形作相应的变化。我们在线丛S1×R中考虑，假若把基底流形B沿纤维方向向上平移，那么依然得到一个纤维丛，而且可以把平移后的图形B1视为基底流形。同样，我们还可以旋转一个小角度，把原来的纤维丛视为以B2为基底的纤维丛（如下图），这里的“小”字如何理解呢？就是不能旋转到平行于纤维。用几何的语言来说，就是要保证纤维与基底流形的横截性。记得某位数学家说过，横截性解开了就流形的秘密。我想它也同样也解开了纤维丛的秘密。当然，我们也可以在固定基底流形的同时旋转它的纤维，这两种操作显然是等价的。   
  
  
前面被平移或旋转后的图形，有一个直观的术语，称为整体截面（请注意，有的微分几何教材把基底流形到（整体）截面的映射（截影）称为（整体）截面）。这里我要考虑一个问题，是不是可以把整体截面视为基底流形，得到一个新的纤维丛，使得原来的基底流形变成新纤维丛的截面呢？也就是说，基底流形在纤维丛中有没有什么特殊地位，是不是仅仅作为一个人为的设定，就好像坐标原点一样呢？答案是肯定的，这样我们就把基底流形拉下了神坛。然而，对于一般的纤维丛而言，整体截面（除基底流形本身之外）存在性却是不能保证的，特别是主丛中只有平凡丛才存在整体截面，这就未免有点遗憾了。   
  
  
补充：也许有人会这么想：基底流形本身不就是一个天然的整体截面吗？请看下面的例子，考虑由二维球面上单位向量场构成的丛，其纤维可视为以球面上各点为中心，在相应切平面内的单位圆周，但它并不包含球面上的各点。利用拓扑学中著名的毛发球定理，可得这样的纤维丛并不存在整体截面，这个例子同时也说明了基底流形在纤维丛中不仅可能不在底部，而且作为\*\*还可能不被包含在整个丛之中。

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