破解已知函数单调性求参数范围的几个难点

缺乏、安全感 2023-08-17 17:31 9阅读 0赞

## 前言 ##

> 自从高中数学中引入了导数之后，能求解单调性问题的函数的类型和范围大大拓展了，但是随之也带来了许多困惑，本博文希望和各位一起作以探讨。

## 必备知识 ##

*  导数的相关知识，导数与函数的单调性；
 *  恒成立命题和能成立命题；
 *  分离参数法；

## 相关链接 ##

*  很容易让我们产生疑惑的地方，[导数法求参数取值范围时需要注意问题][Link 1]

## 廓清认知 ##

*  容易混淆的两个题型：

Ⅰ、已知函数的单调性，求参数的取值范围；

Ⅱ、已知函数存在单调区间，求参数的取值范围；

*  容易出错的地方：

题型Ⅰ中，比如已知函数\\(f(x)\\)在区间\\((a，b)\\)内单调递增，正确的转化思路应该是，则\\(f'(x)\\geqslant 0\\)在区间\\((a，b)\\)内恒成立且\\(f'(x)=0\\)在区间\\((a，b)\\)内不恒成立(即需要保证\\(f(x)\\)不是常函数，否则不符合题意，因为常函数没有单调性)，故求得参数的取值范围后，还需要对端点值作以验证，否则会产生错误的多余的解；而学生则容易错误转化为\\(f'(x)>0\\)在区间\\((a，b)\\)内恒成立，这样必然不包含区间的端点值，这样又会产生漏解；

题型Ⅱ中，比如已知函数\\(f(x)\\)存在单调递增区间\\((a，b)\\)，正确的转化思路应该是，则\\(f'(x)>0\\)在区间\\((a，b)\\)有解或者能成立；而学生则容易错误转化为\\(f'(x)\\ge 0\\)在区间\\((a，b)\\)内能成立或有解，这样必然会产生错误的多余的解；

## 典例剖析 ##

题型Ⅰ已知函数\\(y=f(x)\\)的单调性，求参数的取值范围

>  *  类型1：参数包含在函数的系数中

思路方法：若函数\\(y=f(x)\\)在区间\\(\[a，b\]\\)单调递增，则\\(f'(x)\\ge 0\\)在区间\\(\[a，b\]\\)上恒成立，且导函数\\(f'(x)\\)不恒为\\(0\\)；若函数\\(y=f(x)\\)在区间\\(\[a，b\]\\)单调递减，则\\(f'(x) \\leq 0\\)在区间\\(\[a，b\]\\)上恒成立，且导函数\\(f'(x)\\)不恒为\\(0\\)；  
易错警示：漏掉等号，忘掉验证；

例1【2019高三理科数学资料用题】设函数\\(f(x)=(x+a)e^\{ax\}(a\\in R)\\)，若函数在区间\\((-4，4)\\)内单调递增，求\\(a\\)的取值范围。

【解答】由函数\\(f(x)\\)在在区间\\((-4，4)\\)内单调递增，则\\(f'(x)\\ge 0\\)在区间\\((-4，4)\\)内恒成立，

又\\(f'(x)=(ax+a^2+1)e^\{ax\}\\)，注意到\\(e^\{ax\}>0\\)恒成立，即有\\(ax+a^2+1\\ge 0\\)在区间\\((-4，4)\\)内恒成立，

令\\(g(x)=ax+a^2+1\\)为一次型的函数，故只需要满足\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{g(-4)\\ge 0\}\\\\\{g(4)\\ge 0\}\\end\{array\}\\right.\\)，

即\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{a^2-4a+1\\ge 0\}\\\\\{a^2+4a+1\\ge 0\}\\end\{array\}\\right.\\)，

解得，\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{a\\ge 2+\\sqrt\{3\}或a\\leq 2-\\sqrt\{3\}\}\\\\\{a\\leq -2-\\sqrt\{3\}或a\\ge -2+\\sqrt\{3\}\}\\end\{array\}\\right.\\)，

即\\(a\\in (-\\infty，-2-\\sqrt\{3\}\]\\cup\[-2+\\sqrt\{3\}，2-\\sqrt\{3\}\]\\cup\[2+\\sqrt\{3\}，+\\infty)\\)。

>  *  类型2：参数包含在给定区间端点处

思路方法：集合法，由于函数中不含有参数，故用常规方法能很快求出单调区间，那么给定区间必然是求出的单调区间的子区间，转化为集合的关系求解；导数法，转化为导函数不等式恒成立问题求解。

例2已知函数\\(f(x)=x^3+\\cfrac\{3\}\{2\}x^2-6x+1\\)在区间\\(\[a，a+1\]\\)上单调递减，求参数\\(a\\)的取值范围。1

分析：集合法，先用导数的方法求得函数\\(f(x)\\)的单调递减区间，\\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\\)，

令\\(f'(x)<0\\)，解得\\(x\\in (-2，1)\\)，即其单调递减区间为\\(\[-2，1\]\\)，此处必须写成闭区间，否则会丢掉参数的个别取值。

而题设又已知函数在\\(\[a，a+1\]\\)上单调递减，故\\(\[a，a+1\]\\subseteq \[-2，1\]\\)，即问题转化为集合的包含关系问题了。

此时只需要满足\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{-2\\leqslant a\}\\\\\{a+1\\leqslant 1\}\\end\{array\}\\right.\\)，解得\\(-2\\leqslant a\\leqslant 0\\)，

故参数\\(a\\)的取值范围为\\(\[-2，0\]\\)。

导数法，由题设可知，\\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\\)，由于函数在区间\\(\[a，a+1\]\\)上单调递减，

则\\(f'(x)=3(x+2)(x-1)\\leq 0\\)在区间\\(\[a，a+1\]\\)上恒成立，则\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{f'(a)\\leqslant 0\}\\\\\{f'(a+1)\\leqslant 0\}\\end\{array\}\\right.\\)

即\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{3(a+2)(a-1)\\leqslant 0\}\\\\\{3(a+3)a\\leqslant 0\}\\end\{array\}\\right.\\)，解得\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{-2\\leqslant a\\leqslant 1\}\\\\\{-3\\leqslant a\\leqslant 0\}\\end\{array\}\\right.\\)，则\\(a\\in \[-2，0\]\\)。

题型Ⅱ函数\\(y=f(x)\\)存在单调区间，求参数的取值范围

>  *  类型1：参数包含在函数的系数中

直接法：函数\\(y=f(x)\\)在区间\\(\[a，b\]\\)上存在单调递增区间，则\\(f'(x)>0\\)在区间\\(\[a，b\]\\)上能成立(或有解)；  
函数\\(y=f(x)\\)在区间\\(\[a，b\]\\)上存在单调递减区间，则\\(f'(x)<0\\)在区间\\(\[a，b\]\\)上能成立(或有解)；易错警示：多添加了等号；

间接法：不存在单调递增区间，则函数为常函数或单调递减，则恒有\\(f'(x)=0\\)或\\(f'(x)\\leq 0\\)在区间\\(\[a，b\]\\)上恒成立；不存在单调递减区间，则函数为常函数或单调递增，则恒有\\(f'(x)=0\\)或\\(f'(x)\\ge 0\\)在区间\\(\[a，b\]\\)上恒成立；

交集法：若能容易求得给定函数的单调区间，则求得的该区间和已知的单调区间求交集，即可求得参数的取值范围。

例1【2019高三理科数学资料用题】【2018荆州模拟改编】设函数\\(f(x)=\\cfrac\{1\}\{3\}x^3-\\cfrac\{a\}\{2\}x^2+1\\)，函数\\(g(x)=f(x)+2x\\)，且\\(g(x)\\)在区间\\((-2，-1)\\)内存在单调递减区间，求实数\\(a\\)的取值范围；

【法1，直接法】：\\(g(x)=\\cfrac\{1\}\{3\}x^3-\\cfrac\{a\}\{2\}x^2+1+2x\\)，则\\(g'(x)=x^2-ax+2\\)，

由\\(g(x)\\)在区间\\((-2，-1)\\)内存在单调递减区间，得到，

\\(g'(x)=x^2-ax+2<0\\)在区间\\((-2，-1)\\)上能成立，

分离参数得到，\\(a < x+\\cfrac\{2\}\{x\}\\)在区间\\((-2，-1)\\)上能成立，

而\\(\\left(x+\\cfrac\{2\}\{x\}\\right)\_\{max\}=-2\\sqrt\{2\}\\)，当且仅当\\(x=\\cfrac\{2\}\{x\}\\)，即\\(x=-\\sqrt\{2\}\\)时取到等号，

故实数\\(a\\)的取值范围为\\((-\\infty，-2\\sqrt\{2\})\\)。

注意：若函数\\(f(x)\\)在区间\\((a，b)\\)存在单调递减区间，应该得到\\(f'(x)<0\\)在区间\\((a，b)\\)有解或能成立，而不是\\(f'(x)\\leq 0\\)在区间\\((a，b)\\)有解或能成立。

学生认为：函数\\(f(x)\\)在区间\\((a，b)\\)存在单调递减区间，应该得到\\(f'(x)\\leq 0\\)在区间\\((a，b)\\)有解或能成立，这种认识是错误的，这样解释一下啊，

\\(f'(x)\\leqslant 0\\)在区间\\((a，b)\\)上有解，对应情形一：\\(f'(x)<0\\)在区间\\((a，b)\\)上有解；或情形二：\\(f'(x)=0\\)在区间\\((a，b)\\)上有解；这两个情形只要有一个满足即可，其中情形一求解结果是区间，而情形二求解结果不是区间，故不符合题意，自然就舍去了。

\[反例说明\]若\\(a=-2\\sqrt\{2\}\\)，由\\(g'(x)=x^2+2\\sqrt\{2\}x+2=(x+\\sqrt\{2\})^2\\ge 0\\)恒成立，则函数\\(g(x)\\)只能有单调递增区间，不会存在单调递减区间。

反例已知\\(f(x)=4x^2-kx-8\\)在\\(\[5，20\]\\)上存在单调递增区间，求参数\\(k\\)的取值范围；

【交集法，正解】函数\\(f(x)\\)的单调递增区间为\\(\[\\cfrac\{k\}\{8\}，+\\infty)\\)，由题设可知

区间\\(\[\\cfrac\{k\}\{8\}，+\\infty)\\)和区间\\(\[5，20\]\\)的交集区间必然不会为空集，否则函数就是空函数了，

则\\(\\cfrac\{k\}\{8\}<20\\)，解得\\(k<160\\)；即\\(k\\in(-\\infty，160)\\)；

【导数法，正解】\\(f'(x)=8x-k>0\\)在区间\\(\[5，20\]\\)上有解；分离参数得到，\\(k<8x\\)在区间\\(\[5，20\]\\)上有解；

即\\(k<(8x)\_\{max\}=160\\)，即\\(k\\in(-\\infty，160)\\)；

【导数法，错解】\\(f'(x)=8x-k\\geqslant 0\\)在区间\\(\[5，20\]\\)上有解；分离参数得到，\\(k\\leqslant 8x\\)在区间\\(\[5，20\]\\)上有解；

即\\(k\\leqslant (8x)\_\{max\}=160\\)，即\\(k\\in(-\\infty，160\]\\)；但若\\(k=160\\)时，单调区间为\\(\[20，+\\infty)\\)，故在\\(\[5，20\]\\)上没有增区间，故错误；

【法2，间接法】假设函数\\(g(x)\\)在区间\\((-2，-1)\\)内不存在单调递减区间，

则函数\\(g(x)\\)在区间\\((-2，-1)\\)内为常函数或单调递增，

则恒有\\(g'(x)=0\\)或\\(g'(x)\\ge 0\\)在区间\\((-2，-1)\\)内恒成立，

由于\\(g'(x)=x^2-ax+2\\)，显然恒有\\(g'(x)=0\\)不成立，

故重点探究\\(g'(x)\\ge 0\\)在区间\\((-2，-1)\\)内恒成立，

\\(g'(x)=x^2-ax+2\\ge 0\\)在区间\\((-2，-1)\\)内恒成立，分离参数，

得到\\(a\\ge x+\\cfrac\{2\}\{x\}(-2< x <-1)\\)在区间\\((-2，-1)\\)内恒成立，

由于\\(h(x)=x+\\cfrac\{2\}\{x\}\\)在\\((-2，-\\sqrt\{2\}\]\\)上单调递增，在\\(\[-\\sqrt\{2\}，-1)\\)上单调递减，

故\\(h(x)\_\{max\}=h(-\\sqrt\{2\})=-2\\sqrt\{2\}\\)，

故函数\\(g(x)\\)在区间\\((-2，-1)\\)内不存在单调递减区间时，\\(a\\ge -2\\sqrt\{2\}\\)；

即存在单调递减区间时，\\(a< -2\\sqrt\{2\}\\)，即\\(a\\in (-\\infty，-2\\sqrt\{2\})\\)。

>  *  类型2：参数包含在给定区间端点处

思路方法：用常规方法求出单调区间，转化为集合之间的包含关系求解；

例2\[自编\]已知函数\\(f(x)=x^3-3x+1\\)存在单调递减区间\\((a，a+1)\\)，求参数\\(a\\)的取值范围；

分析：由\\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\\)，则可知函数\\(f(x)\\)的单调递减区间为\\(\[-1，1\]\\)，

又由题设可知，函数\\(f(x)=x^3-3x+1\\)存在单调递减区间\\((a，a+1)\\)，

则\\(f'(x)=3x^2-3<0\\)在区间\\((a，a+1)\\)上恒成立，注意：此处不是能成立；

即有\\((a，a+1)\\subseteq \[-1，1\]\\)，即满足\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{a<a+1\}\\\\\{a\\geqslant -1\}\\\\\{a+1\\leqslant 1\}\\end\{array\}\\right.\\)

解得，\\(-1\\leqslant a\\leqslant 0\\)，即\\(a\\in \[-1，0\]\\)。

解后反思：①这类题目应该转化为恒成立而不是能成立类型，否则就不能保证存在这样的单调区间\\((a，a+1)\\)；

②此类题目在命制时要注意，给定的单调区间\\(A\\)和求解得到的单调区间\\(B\\)的关系，\\(A\\subseteq B\\)，否则解集为空集。比如将题目中的单调区间\\((a，a+1)\\)更改为单调区间\\((a-2，2a+1)\\)，则解集\\(a\\in \\varnothing\\)；

## 变式训练 ##

练1函数\\(f(x)=x^2-e^x-ax\\)在\\(R\\)上存在单调递增区间，求参数\\(a\\)的取值范围；

提示：导数法，\\(f'(x)>0\\)有解，分离参数，再转化为求新函数的最值问题即可，结果：\\(a\\in (-\\infty，2ln2-2)\\)；

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1.  [集合的关系习题][Link 2]↩

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11149383.html

[Link 1]: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9766476.html
[Link 2]: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6782025.html%20