双连不等式

左手的ㄟ右手 2023-08-17 17:32 118阅读 0赞

## 前言 ##

## 相关概念 ##

> 形如\\(2<2x+1<3\\)的不等式，我们就称之为双连不等式。

求解双联不等式的的方法一，利用不等式的性质求解，给双连不等式的左、中、右同时减去\\(1\\)，得到\\(1<2x<2\\)，然后同时除以\\(2\\)，得到\\(\\cfrac\{1\}\{2\}<x<1\\)；方法二，转化为不等式组求解，如\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{2<2x+1\}\\\\\{2x+1<3.\}\\end\{array\}\\right.\\)

## 典例剖析 ##

例1【整体思想】解不等式\\(0<\\cfrac\{1+lga\}\{1-lga\}<1\\)，

法1：原不等式等价于\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{0<\\cfrac\{1+lga\}\{1-lga\}①\}\\\\\{\\cfrac\{1+lga\}\{1-lga\}<1②\}\\end\{array\}\\right.\\)

解①\\(0<\\cfrac\{1+lga\}\{1-lga\}\\)，由穿根法得到\\(\\cfrac\{1+lga\}\{lga-1\}<0\\)，故\\(-1<lga<1\\)③，

解②\\(\\cfrac\{1+lga\}\{1-lga\}<1\\)，变形得到\\(\\cfrac\{2lga\}\{lga-1\}>0\\)，由穿根法得到\\(lga<0\\)或\\(lga>1\\)④，

故由③④求交集得到\\(-1<lga<0\\)，解得\\(a\\in (\\cfrac\{1\}\{10\}，1)\\)。

法2：看到双连不等式的中间分式部分，若能联想到分式的常用变形，也可以这样求解；

由\\(0<\\cfrac\{1+lga\}\{1-lga\}<1\\)，得到\\(0<\\cfrac\{lga-1+2\}\{1-lga\}<1\\)，即\\(0<-1+\\cfrac\{2\}\{1-lga\}<1\\)，故\\(1<\\cfrac\{2\}\{1-lga\}<2\\)，且能得到\\(1-lga>0\\)，

故利用倒数法则得到\\(\\cfrac\{1\}\{2\}<\\cfrac\{1-lga\}\{2\}<1\\)，即\\(1<1-lga<2\\)，即\\(-2<lga-1<-1\\)，即\\(-1<lga<0\\)，解得解得\\(a\\in (\\cfrac\{1\}\{10\}，1)\\)，故选\\(C\\).

例2解不等式\\(x<\\cfrac\{1\}\{x\}<x^2\\)；

分析：先转化为\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{x<\\cfrac\{1\}\{x\}①\}\\\\\{\\cfrac\{1\}\{x\}<x^2②\}\\end\{array\}\\right.\\)，再用穿根法分别求解，

解①\\(\\cfrac\{x^2-1\}\{x\}<0\\)得到\\(x<-1\\)或\\(0<x<1\\)；解②\\(\\cfrac\{x^3-1\}\{x\}>0\\)得到\\(x<0\\)或\\(x>1\\)，

①②求交集得到，解集为\\((-\\infty，-1)\\).

例3【2018江苏南京金陵中学检测】已知当\\(0\\leqslant x\\leqslant 2\\)时，不等式\\(-1\\leqslant tx^2-2x\\leqslant 1\\)恒成立，则\\(t\\)的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

分析：当\\(x=0\\)时，不等式恒成立，则\\(t\\in R\\);

当\\(x\\neq 0\\)时，得到\\(\\cfrac\{2x-1\}\{x^2\}\\leqslant t \\leqslant \\cfrac\{2x+1\}\{x^2\}\\)在\\((0,2\]\\)上恒成立，

令\\(f(x)=\\cfrac\{2x-1\}\{x^2\}=-(\\cfrac\{1\}\{x\}-1)^2+1\\)，最大值为\\(1\\)，则有\\(t\\geqslant 1\\)；

令\\(g(x)=\\cfrac\{2x+1\}\{x^2\}=(\\cfrac\{1\}\{x\}+1)^2-1\\)，最小值为\\(\\cfrac\{5\}\{4\}\\)，则有\\(t\\leqslant \\cfrac\{5\}\{4\}\\)；

综上可知，\\(t\\)的取值范围为\\(\[1，\\cfrac\{5\}\{4\}\]\\);

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