数学模型应用举例

Bertha 。 2023-08-17 17:32 157阅读 0赞

## 前言 ##

## 应用举例1 ##

> 由集合之间的关系求解参数的取值范围模型

案例01【模型】若集合\\(B=\\\{x\\mid m+1\\leq x\\leq 1-2m \\\}\\)，集合\\(A=\\\{x\\mid -2\\leq x\\leq 7\\\}\\)，若\\(A\\subsetneqq B\\)，求实数\\(m\\)的取值范围。

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分析：自行画出草图可知，先列出条件\\(\\begin\{cases\}&m+1\\leq-2\\\\&1-2m \\ge 7\\end\{cases\}\\)，解得\\(m\\leq -3\\)，

接下来验证\\(m=-3\\)是否满足题意。

当\\(m=-3\\)时，\\(A=\[-2，7\]\\)，\\(B=\[m+1，1-2m\]=\[-2，7\]\\)，此时\\(A=B\\)，不满足题意，舍去，

故实数\\(m\\)的取值范围为\\(\\\{m\\mid m<-3\\\}\\)。

解后反思：本题目如上处理，则可以避免分类讨论；

模型应用1已知\\(“\\)命题\\(p：(x-m)^2>3(x-m)\\)\\(”\\)是\\(“\\)命题\\(q：x^2+3x-4<0\\)\\(”\\)成立的必要不充分条件,则实数\\(m\\)的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_.

【解析】先化简命题\\(p\\)，由\\((x-m)^2>3(x-m)\\)，得到\\(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0\\)，

即\\(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0\\)，即\\((x-m)\[x-(m+3)\]>0\\)，

则有\\(p：x>m+3\\)或\\(x<m；q：-4<x<1\\)；

因为\\(p\\)是\\(q\\)成立的必要不充分条件，则\\(\\\{x\\mid-4<x<1\\\}\\subseteq \\\{x\\mid x>m+3或x<m\\\}\\)，

所以\\(m+3≤-4\\)或\\(m≥1\\)，即\\(m≤-7\\)或\\(m≥1\\)，

故\\(m\\)的取值范围为\\((-\\infty，-7\]\\cup\[1，+\\infty)\\)。

模型应用2已知函数\\(f(x)=x^3+\\cfrac\{3\}\{2\}x^2-6x+1\\)在区间\\(\[a，a+1\]\\)上单调递减，求参数\\(a\\)的取值范围。

法1：集合法，先用导数的方法求得函数\\(f(x)\\)的单调递减区间，\\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\\)，

令\\(f'(x)<0\\)，解得\\(x\\in (-2，1)\\)，即其单调递减区间为\\(\[-2，1\]\\)，此处必须写成闭区间，否则会丢掉参数的个别取值。

而题设又已知函数在\\(\[a，a+1\]\\)上单调递减，故\\(\[a，a+1\]\\subseteq \[-2，1\]\\)，即问题转化为集合的包含关系问题了。

此时只需要满足\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{-2\\leqslant a\}\\\\\{a+1\\leqslant 1\}\\end\{array\}\\right.\\)，解得\\(-2\\leqslant a\\leqslant 0\\)，

故参数\\(a\\)的取值范围为\\(\[-2，0\]\\)。

法2：导数法，由题设可知，\\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\\)，由于函数在区间\\(\[a，a+1\]\\)上单调递减，

则\\(f'(x)=3(x+2)(x-1)\\leq 0\\)在区间\\(\[a，a+1\]\\)上恒成立，则\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{f'(a)\\leqslant 0\}\\\\\{f'(a+1)\\leqslant 0\}\\end\{array\}\\right.\\)

即\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{3(a+2)(a-1)\\leqslant 0\}\\\\\{3(a+3)a\\leqslant 0\}\\end\{array\}\\right.\\)，解得\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{-2\\leqslant a\\leqslant 1\}\\\\\{-3\\leqslant a\\leqslant 0\}\\end\{array\}\\right.\\)，则\\(a\\in \[-2，0\]\\)。

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11392760.html

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