2020届校级月考【1】

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2023-08-17 17:32 105阅读 0赞

例1【2020届凤翔中学高三理科月考一第10题】已知函数\$y=f(x)\$是定义在\$R\$上的奇函数，且满足\$f(x+2)\$\$+f(x)=0\$，当\$x\\in \[-2，0\]\$时，\$f(x)=-x^2-2x\$，则当\$x\\in \[4，6\]\$时，\$y=f(x)\$的最小值为【】

$A.-8$ $B.-1$ $C.0$ $D.1$

分析：本题目的本质是求解函数\$f(x)\$的解析式；属于利用函数的多个性质求解函数的解析式；

\[法1\]：由于\$f(x+2)+f(x)=0\$，即\$f(x+2)=-f(x)\$，故\$T=4\$，又\$y=f(x)\$是\$R\$上的奇函数，

故可以先利用奇偶性求得\$x\\in \[0，2\]\$上的解析式；

当\$x\\in \[0,2\]\$时，\$f(x)=-f(-x)=-\[-(-x)^2-2\\times (-x)\]=x^2-2x\$，

再利用周期性求得\$x\\in \[4，6\]\$上的解析式；

当\$x\\in \[4,6\]\$时，\$x-4\\in \[0,2\]\$，\$f(x)=f(x-4)=(x-4)^2-2\\times (x-4)=x^2-10x+24\$，

接下来求解\$x\\in \[4,6\]\$时函数\$f(x)=x^2-10x+24\$的最小值；

\$f(x)=(x-5)^2-1\$，\$x\\in \[4,6\]\$，故\$f(x)\_\{min\}=f(5)=-1\$；故选\$B\$;

\[法2\]：当求得\$x\\in \[0,2\]\$时，\$f(x)=-f(-x)=-\[-(-x)^2-2\\times (-x)\]=x^2-2x\$，

由于函数的周期为\$4\$，故函数\$f(x)\$在\$x\\in \[0,2\]\$段上的值域和\$x\\in \[4,6\]\$段上的值域相同，

故只需要求解\$x\\in \[0,2\]\$时，\$f(x)=x^2-2x\$的最小值即可，\$f(x)=(x-1)^2-1\$，

故\$f(x)\_\{min\}=f(1)=-1\$，故\$x\\in \[4，6\]\$上的最小值也是\$-1\$，故选\$B\$;

\[法3\]：如果对函数的性质的数的表达形式比较熟悉，还可以这样求解如下：

由于周期为\$T=4\$，故有\$f(x+4)=f(x)\$，又由于函数为奇函数，故\$f(x)=-f(-x)\$，

则得到\$f(x+4)=-f(-x)\$，这个表达式刻画的是函数的对称性，关于点\$(2,0)\$成中心对称；

若\$x\\in \[0,2\]\$，则此时\$f(-x)\$可解，且\$f(x+4)\$即表达函数在\$x\\in \[4,6\]\$上的解析式；

故\$f(x+4)=-f(-x)=-\[\[-(-x)^2-2\\times (-x)\]\]=x^2-2x\$，\$x\\in \[0,2\]\$，

直接求\$y=x^2-2x\$，\$x\\in \[0,2\]\$上的最小值即可，同上可知此时\$y\_\{min\}=y\_\{|x=1\}=-1\$，

故所求的最小值为\$-1\$，故选\$B\$；

其实做个代换，即能得到\$x\\in \[4,6\]\$上的解析式；分析如下，

由于\$f(x+4)=x^2-2x\$，\$x\\in \[0,2\]\$，令\$x+4=t\$，则\$t\\in \[4,6\]\$，则\$x\\in t-4\$

故\$f(t)=(t-4)^2-2(t-4)=t^2-10t+24\$，即\$f(x)=x^2-10x+24\$，\$x\\in \[4,6\]\$；

例1【2020届凤翔中学高三理科月考一第12题】已知\$f'(x)\$是\$f(x)\$的导函数，且对任意的实数\$x\$都满足\$f'(x)=\$\$e^x(2x+3)\$\$+f(x)\$，\$f(0)=1\$，则不等式\$f(x)<5e^x\$的解集为【】

$A.(-4，1)$ $B.(-1，4)$ $C.(-\\infty，-4)\\cup (1，+\\infty)$ $D.(-\\infty，-1)\\cup (4，+\\infty)$

分析：将已知等式\$f'(x)=\$\$e^x(2x+3)\$\$+f(x)\$变形为\$\\cfrac\{f'(x)-f(x)\}\{e^x\}=2x+3\$，

令\$g(x)=\\cfrac\{f(x)\}\{e^x\}\$，则\$g'(x)=\\cfrac\{f'(x)-f(x)\}\{e^x\}\$，则\$g'(x)=2x+3\$，

则\$g(x)=x^2+3x+C\$，又由于\$f(0)=1\$，则\$g(0)=\\cfrac\{f(0)\}\{e^0\}=1\$，则可知\$C=1\$，

故\$g(x)=x^2+3x+1\$，而不等式\$f(x)<5e^x\$即\$g(x)<5\$，故\$x^2+3x+1<5\$，

得到\$x^2+3x-4<0\$，解得\$-4<x<1\$，故选\$A\$.

例1【2020届凤翔中学高三理科月考一第14题】已知函数\$f(x)=\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{1+log\_2(2-x)，x<1\}\\\\\{2^\{x-1\}，x\\geqslant 1,\}\\end\{array\}\\right.\$  
则\$f(-2)+f(log\_212)\$=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

分析：由题目可知，\$f(-2)=1+log\_2\[2-(-2)\]=1+2=3\$；又由于\$log\_212>1\$，

故\$f(log\_212)=2^\{log\_212-1\}=2^\{log\_212\}\\times 2^\{-1\}=12\\times \\cfrac\{1\}\{2\}=6\$，

故\$f(-2)+f(log\_212)=9\$；

例1【2020届凤翔中学高三理科月考一第16题】已知函数\$f(x)=\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{|log\_2x|，0<x<2\}\\\\\{sin(\\frac\{\\pi\}\{4\})x，2\\leqslant x\\leqslant 10,\}\\end\{array\}\\right.\$

若存在实数\$x\_1,\$ \$x\_2,\$\$x\_3,\$ \$x\_4\$，满足\$x\_1\$\$<x\_2\$\$<x\_3\$\$<x\_4\$，且\$f(x\_1)=f(x\_2)=f(x\_3)=f(x\_4)\$，则\$\\cfrac\{x\_3+x\_4\}\{x\_1x\_2\}\$的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

分析：做出示意图如下所示，

由图可知，\$x\_1\\in (0,1)\$，\$x\_2\\in (1,2)\$，又由\$f(x\_1)=f(x\_2)\$，即\$|log\_2x\_1|=|log\_2x\_2|\$，

即\$-log\_2x\_1=log\_2x\_2\$，即\$log\_2x\_1+log\_2x\_2=0\$，则\$log\_2x\_1x\_2=0\$，即\$x\_1x\_2=1\$；

又第二段函数图像关于直线\$x=6\$对称，即\$x\_3,x\_4\$关于直线\$x=6\$对称，

故有\$x\_3+x\_4=2\\times 6=12\$；故\$\\cfrac\{x\_3+x\_4\}\{x\_1x\_2\}=12\$；

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