[2019长沙长郡中学集训]加法

小咪咪 2023-08-17 17:38 94阅读 0赞

#### 题面描述 ####

给定一个\$n\$阶排列\$b\$，要求维护一个初值全为\$0\$的数组\$\\\{a\_i\\\}\$，支持\$q\$次如下操作：

*  给出\$l,r\$，将\$a\_l,a\_\{l+1\},......,a\_\{r-1\},a\_r\$，全部+1
 *  给出\$l,r\$，查询\$\\sum\_\{i=l\}^\{r\} \\lfloor \\frac\{ \{b\[i\]\}\}\{a\[i\]\} \\rfloor\$
    
    #### 输入格式 ####
    
    第一行输入两个整数\$n,q\$  
    第二行\$n\$个正整数表示排列\$b\$。  
    接下来\$q\$行，每行三个正整数\$op,l,r,op=1\$表示第一种操作，\$op=2\$表示第二种操作
    
    #### 输出格式 ####
    
    对于每次询问，输出一行一个非负整数表示答案。
    
    #### 数据规模 ####
    
    对于$%30 $的数据，\$1\\leq n,q \\leq 3000.\$  
    对于另外\$\\%30\$的数据，当\$op=2\$时，有\$l=1,r=n\$  
    对于\$\\%100\$的数据，\$1\\leq n,q \\leq 3\\times 10^5,op\\in\\\{1,2\\\},1\\leq l \\leq r \\leq n.\$
    
    #### 样例输入 ####
    
    5 10  
    1 5 2 4 3  
    1 1 4  
    2 1 4  
    1 2 5  
    1 3 5  
    2 1 5  
    1 2 4  
    2 1 4  
    1 2 5  
    1 2 2  
    2 1 5
    
    #### 样例输出 ####
    
    1  
    2  
    4  
    6
    
    #### 题解 ####
    
    考试的时候爆掉了。。。卡常是真的恶心QAQ  
    先考虑部分分的做法  
    对于3000以内的数据，我们直接暴力循环。比较闲的同学可以考虑写两个线段树，一个用来更新a数组的值，另一个用来维护a\[i\]/b\[i\]。  
    对于查询操作恒查询整个区间的数据，我们可以只维护一个线段树，用于维护a数组，并区间查询整个区间的ans即可。  
    \---------------------------以下是正解部分-----------------------------  
    观察原式可以发现，我们最后的取值要向下取整，则每一个位置\$i\$产生更多贡献的唯一办法就是使a\[i\]成为b\[i\]的k倍(k>0)。因此，我们用一个线段树记录b\[i\]的值,用数组记录b的原值，同时用另一棵线段树维护答案，每次op=1时使区间内的每一个b\[i\]全部-1。当b\[i\]=0时我们使当前位的贡献+1，并重置b\[i\]的值为初始值。每次单独变换的复杂度为\$O(\\log n)\$，每次查询时递归进第二棵线段树中查找，因此总的复杂度是\$O(q \\log^2n)\$  
    为什么要用减法而不是加法呢？  
    如果用加法运算我们需要同时维护maxa和minb的值，而如果用减法只用维护一个min就好了

#include<bits/stdc++.h>
    #define il inline
    #define re register
    typedef long long ll;
    using namespace std;
    const int maxn = 3e5 + 10;
    int n, q, ans;
    int b[maxn];
    int trmin[maxn<<2], tradd[maxn<<2], lazy[maxn<<2];
    //
    il void init() {
        memset(lazy, 0, sizeof(lazy));
        memset(trmin, 0, sizeof(trmin));
        memset(tradd, 0, sizeof(tradd));
    }
    //
    il void pushup(int id) {
        trmin[id] = min(trmin[id<<1], trmin[id<<1|1]);
        tradd[id] = tradd[id<<1] + tradd[id<<1|1];
        return ;
    }
    //
    il void build(int id, int l, int r) {
        if(l == r) {
            trmin[id] = b[l];
            return;
        }
        int mid = (l+r)>>1;
        build(id<<1, l, mid);
        build(id<<1|1, mid+1, r);
        pushup(id);
    }
    il void pushdown(int id) {
        if (lazy[id]) {
            lazy[id << 1] += lazy[id];
            lazy[id << 1 | 1] += lazy[id];
            trmin[id << 1] -= lazy[id];
            trmin[id << 1 | 1] -= lazy[id];
            lazy[id] = 0;
        }
    }
    il void update(int id, int l, int r, int x, int y) {
        if(trmin[id] > 1 && x <= l && r <= y) {
            lazy[id]++;
            trmin[id]--;
            return ;
        }
        if(trmin[id] == 1 && l == r) {
            tradd[id]++;
            trmin[id] = b[l];
            lazy[id] = 0;
            return ;
        }
        pushdown(id);
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (x <= mid)
            update(id << 1, l, mid, x, y);
        if (y > mid)
            update(id << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
        pushup(id);
    }
    il int query(int id, int l, int r, int x, int y) {
        if(x <= l && r <= y) return tradd[id];
        if(trmin[id] == 0) update(1, 1, n, x, y);
        pushdown(id);
        int sum = 0;
        int mid = (l+r) >> 1;
        if(x <= mid) sum += query(id<<1, l, mid, x, y);
        if(y > mid) sum += query(id<<1|1, mid+1, r, x, y);
        pushup(id);
        return sum;
    }
    signed main(){
        init();
        scanf("%d%d", &n, &q);
        for(re int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &b[i]);
        build(1, 1, n);
        int op, l, r;
        while(q--) {
            scanf("%d%d%d", &op, &l, &r);
            if(op == 1)
                update(1, 1, n, l, r);
            else
                printf("%d\n", query(1, 1, n, l, r));
        }
        return 0;
    }

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