LeetCode - 698 划分为k个相等的子集

待我称王封你为后i 2023-09-23 14:32 91阅读 0赞

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题目来源

题目描述

示例

提示

题目解析

算法源码

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### 题目来源 ###

[698. 划分为k个相等的子集 - 力扣（LeetCode）][698. _k_ - _LeetCode]

### 题目描述 ###

给定一个整数数组 `nums` 和一个正整数 `k`，找出是否有可能把这个数组分成 `k` 个非空子集，其总和都相等。

### 示例 ###

<table style="width:500px;"> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td style="width:63px;">输入</td> 
   <td style="width:435px;">nums = [4, 3, 2, 3, 5, 2, 1], k = 4</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:63px;">输出</td> 
   <td style="width:435px;">true</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:63px;">说明</td> 
   <td style="width:435px;">有可能将其分成 4 个子集（5），（1,4），（2,3），（2,3）等于总和。</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

<table style="width:500px;"> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td style="width:61px;">输入</td> 
   <td style="width:437px;">nums = [1,2,3,4], k = 3</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:61px;">输出</td> 
   <td style="width:437px;">false</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:61px;">说明</td> 
   <td style="width:437px;">无</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

### 提示 ###

*  `1 <= k <= len(nums) <= 16`
 *  `0 < nums[i] < 10000`
 *  每个元素的频率在 `[1,4]` 范围内

### 题目解析 ###

本题其实是一道子集问题，可以利用回溯法求解。

首先，我们可以求出nums数组的所有元素之和sum，如果sum % k 不为0的话，说明每一份子集的和不是整数，但是题目说了nums数组中的元素都是整数，因此每一个子集的和也应该是整数，因此如果sum % k 不为0的话，则返回false。

如果sum % k 为0，则我们假设subSum = sum / k，即每一个子集的和为subSum，那么subSum应该大于等于nums数组的最大值，因为nums数组的每一个子集至少有一个元素组成，因此subSum应该大于或等于每一个nums元素，即至少不小于nums数组的最大值。

当面两个条件都符合后，还不能说明nums可以被分为k个和相等的子集，比如nums=\[2,2,2,2,3,4,5\] ，且k=4。

nums数组的和sum = 20，k=4，因此subSum = 5,而subSum >= max(nums\[i\]) = 5，因此符合上面两个条件，但是nums数组却无法分为4个等和子集。

因此，我们需要一种算法来判断一个数组是否可以划分k个和相等的子集，此时我们就需要借助回溯算法。

我们可以想象划分子集问题，可以看成向k个桶中放球，每个桶的承重为subSum，而现在nums中存放着重量不一的多个球，如果nums中的球都能放到k个桶中，则可以划分子集成功。

比如nums = \[4, 3, 2, 3, 5, 2, 1\], k = 4，对应的subSum=5

![81178617e2d947499a73d4b45dbf453d.png][]

首先，nums的重量5的球可以独占一个桶，我们可以减少考虑一个桶的处理

![7f9fb035c1b3446497eec776637b0034.png][]

接下来，我们需要将球按照降序排序，然后依次放入桶中

![f26571213ac745da8e64f7e06c275eba.png][]

![4c54a4c48fb54478bfb7a0b41aff343f.png][]

![527b37d1b44c4883b5863916212b2e19.png][]

由于 4 + 3 > 5，因此球3需要放到下一个桶中

![2d8c54b3dc3c4088911aa97421f58a0d.png][]

同理处理下面的球

![bfb1e15047d149c086daaf2c754f07f6.png][]

![61d0dd43b61645d592a9cee5e46c061f.png][]

![84f031bde7ec43d195271c21b30cebd7.png][]

![f6afc46c8d8144d48df1cf8a92376187.png][]

这里我们对nums进行了降序排序，而不是升序排序，因为升序排序可能会产生非常复杂的放置行为，这将不利于我们理解。

上述逻辑对应的算法代码如下

/**
     * @param {number[]} nums
     * @param {number} k
     * @return {boolean}
     */
    var canPartitionKSubsets = function(nums, k) {
      const sum = nums.sort((a,b) => b - a).reduce((p, c) => p + c)
    
      if(sum % k !== 0) return false
    
      const subSum = sum / k
    
      if(subSum < nums[0]) return false
    
      while(nums[0] === subSum) {
          nums.shift()
          k--
      }
    
      const buckets = new Array(k).fill(0)
    
      return partition(nums, 0, buckets, subSum)
    };
    
    function partition(nums, index, buckets, target) {
        if(index === nums.length) return true
    
        const selected = nums[index]
    
        for(let i = 0; i < buckets.length; i++) {
            if(selected + buckets[i] <= target) {
                buckets[i] += selected
                if(partition(nums, index+1, buckets, target)) return true
                buckets[i] -= selected
            }
        }
        return false
    }

![c277eac368154c7d9cb0e0c7b6e91c81.png][]

可以发现，性能非常差。

有这样一种情况，即我们选择了一个球，但是发现此时每一个桶中的球重量之和都相等，也就是说此时选择的球放到哪一个桶中，最终结果都是相同的，比如球放到桶1中重量超了，则放到其他桶中重量肯定也是超的。

但是根本上面算法逻辑，我们肯定会在选择的球放到桶1超了之后，继续到桶2中尝试，而桶2超了之后，必然放到桶3中尝试，这其实就是一种无意义的试探操作。

因此我们再进入递归流程前，先判断 buckets\[i\]的重量是否和buckets\[i-1\]的重量是否相等，若相等的话，则buckets\[i-1\]试过了，则buckets\[i\]就不用试了。

最终代码如下

### JavaScript算法源码 ###

/**
     * @param {number[]} nums
     * @param {number} k
     * @return {boolean}
     */
    var canPartitionKSubsets = function(nums, k) {
      const sum = nums.sort((a,b) => b - a).reduce((p, c) => p + c)
    
      if(sum % k !== 0) return false
    
      const subSum = sum / k
    
      if(subSum < nums[0]) return false
    
      while(nums[0] === subSum) {
          nums.shift()
          k--
      }
    
      const buckets = new Array(k).fill(0)
    
      return partition(nums, 0, buckets, subSum)
    };
    
    function partition(nums, index, buckets, target) {
        if(index === nums.length) return true
    
        const selected = nums[index]
    
        for(let i = 0; i < buckets.length; i++) {
            if (i > 0 && buckets[i] === buckets[i - 1]) continue // 此步剪枝将大幅提升性能
            if(selected + buckets[i] <= target) {
                buckets[i] += selected
                if(partition(nums, index+1, buckets, target)) return true
                buckets[i] -= selected
            }
        }
        return false
    }

![5500a413db7a4780a4c82aec47322f51.png][]

### Java算法源码 ###

import java.util.Arrays;
    
    class Solution {
      public boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
        int sum = 0;
        for (int num : nums) sum += num;
        if (sum % k != 0) return false;
    
        int subSum = sum / k;
    
        // nums升序
        Arrays.sort(nums);
    
        // nums元素反转，实则实现降序
        int l = 0;
        int r = nums.length - 1;
        while (l < r) {
          int tmp = nums[l];
          nums[l] = nums[r];
          nums[r] = tmp;
          l++;
          r--;
        }
    
        if (subSum < nums[0]) return false;
    
        int[] buckets = new int[k];
        return partition(nums, 0, buckets, subSum);
      }
    
      public boolean partition(int[] nums, int index, int[] buckets, int target) {
        if (index == nums.length) return true;
    
        int selected = nums[index];
        for (int i = 0; i < buckets.length; i++) {
          if (i > 0 && buckets[i] == buckets[i - 1]) continue;
          if (selected + buckets[i] <= target) {
            buckets[i] += selected;
            if (partition(nums, index + 1, buckets, target)) return true;
            buckets[i] -= selected;
          }
        }
    
        return false;
      }
    }

![0f8e0129114d46e1a0d619e4628e5a79.png][]

### Python算法源码 ###

class Solution(object):
        def canPartitionKSubsets(self, nums, k):
            """
            :type nums: List[int]
            :type k: int
            :rtype: bool
            """
            total = sum(nums)
            if total % k != 0:
                return False
            
            avg = total // k
    
            nums.sort(reverse=True)
            if avg < nums[0]:
                return False
            
            buckets = [0]*k
            return partition(nums, 0, buckets, avg)
        
    def partition(nums, index, buckets, target):
        if index == len(nums):
            return True
        
        selected = nums[index]
        for i in range(len(buckets)):
            if i>0 and buckets[i] == buckets[i-1]:
                continue
            if selected + buckets[i] <= target:
                buckets[i] += selected
                if partition(nums, index+1, buckets, target):
                    return True
                buckets[i] -= selected
        return False

![6c603a1390ec433382162eae198faf4a.png][]

[698. _k_ - _LeetCode]: https://leetcode.cn/problems/partition-to-k-equal-sum-subsets/
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[c277eac368154c7d9cb0e0c7b6e91c81.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/c277eac368154c7d9cb0e0c7b6e91c81.png
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