相关性分析

女爷i 2023-09-26 10:04 68阅读 0赞

https://blog.csdn.net/weixin\_45288557/article/details/111415983

#### 相关性分析 ####

*  1、方差分析
 *   *  1.1、相关术语：
     *  1.2、方差分析基本假定：
     *  1.3、原理：
     *  1.4、实例：
     *   *  1.4.1、解题第一步：提出假设
         *  1.4.2、解题第二步：构造检验统计量
         *  1.4.3、解题第三步：统计决策
         *  1.4.4、解题第四步：关系强度测量
 *  2、相关与回归分析
 *   *  2.1、相关分析
     *   *  2.1.1 、散点图
         *  2.1.2、相关系数
         *  2.1.3、显著性校验
         *   *  2.1.3.1、提出假设：
             *  2.1.3.2、计算统计量：
             *  2.1.3.3、进行决策：
     *  2.2、回归分析
     *   *  2.2.1 、一元线性回归
         *   *  2.2.1.1 、估算回归方程
             *  2.2.1.2、直线的拟合优度
             *  2.2.1.3、显著性检验
 *  3、简单相关性分析(两个连续型变量)
 *   *  3.1、变量间的关系分析
     *  3.2、简单相关分析
     *   *  3.2.1、计算两变量之间的线性相关系数
         *  例子：研究身高与体重的关系
         *  3.2.2、相关系数的假设检验
 *  4、多变量相关性分析(一个因变量与多个自变量)
 *   *  4.1、前言：
     *  4.2、偏相关或复相关
     *  4.3、意义与用途：
     *  4.4、分析方法：
     *   *  4.4.1、样本相关阵
         *  4.4.2、复相关分析
         *  4.4.3、决定系数 R²
     *  多变量相关分析能为回归分析服务
     *  具有相关性才有做线性回归拟合的价值
 *  5、Python代码
 *   *  5.1.图示初判
     *  5.2.Pearson相关系数（皮尔逊相关系数）
     *  5.3.Sperman秩相关系数（斯皮尔曼相关系数）

## 1、方差分析 ##

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/99123384

**方差分析**（analysis of variance）：检验多个总体均值是否相等，研究一个或多个分类型自变量对一个数值型应变量的影响。

### 1.1、相关术语： ###

*  因素/因子：检验的对象
 *  水平/处理：因素的不同表现
 *  观测值：每个因子水平下的样本数据
 *  总平方和SST：是全部观测值与总均值的误差平方和
 *  组间平方和SSA：是各组均值与总均值的误 差平方和，反映各样本均值之间的差异程度
 *  组内平方和SSE：是每个水平的样本数据与其组均值的误差平方和，反映了随机误差的大小
 *  组间均方/组间方差MSA：等于SSA/(k-1)，k为因素水平的个数
 *  组内均方/组内方差MSE：等于SSE/(n-k)，n为全部观测值的个数
 *  判定系数R² = SSA/SST ，用来衡量自变量与因变量的关系强度

### 1.2、方差分析基本假定： ###

每个总体相互独立且都服从正态分布，各个总体的方差相同。

### 1.3、原理： ###

[方差分析][Link 1]，听名字就知道，需要考察分析数据误差的来源。

**组内误差SSE**，是水平内部的误差，是抽样的随机性造成的随机误差。它放映了除自变量的影响之外，其他因素对因变量的总影响，因此也称为残差变量。

**组间误差SSA**，是不同水平间的误差，既可能是抽样的随机性造成的随机误差，也可能是各水平间的系统性因素造成的系统误差。它放映了自变量对因变量的影响，也称为自变量效应或因子效应。

`总误差SST=组内误差SSE+组间误差SSA`，反应了全部观测值的离散状况。

如果不同的水平对于因变量的没有影响，那么组间误差就只包括随机误差，而没有系统误差。此时，组间误差与组内误差的均方（方差）就应该非常接近，其比值接近1。反之，如果不同的水平对于因变量有影响，它们均方比值会大于1。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70]

### 1.4、实例： ###

为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。其中零售业抽取7家，旅游业抽取6家，航空公司抽取5家，家电制造业抽取5家。每个行业中所抽取的这些企业，假定它们在服务对象、服务内容、企业规模等方面基本上是相同的。然后统计出最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数，结果如下表所示。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]在上面的实例中，行业是要检验的对象，称为因素或因子；零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是行业这一因素的具体变现，称为水平或处理；每个行业下得到的样本数据称为观测值。该实例为单因素4水平试验。因素的每一个水平是一个总体，如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看成4个总体，上面的数据是从这4个总体中抽取的样本数据。

单因素方差分析中，涉及两个变量：分类型自变量，数值型因变量。该实例中，要研究行业对被投诉次数是否有影响，这里的分类型数据行业就是自变量，数字型数据被投诉次数就是因变量。

#### 1.4.1、解题第一步：提出假设 ####

设：1-零售业、2-旅游业、3-航空公司、4-家电制造业

H₀：μ₁=μ₂=μ₃=μ₄，行业对被投诉次数没有显著影响

H₁：μ₁、μ₂、μ₃、μ₄不全相等，行业对被投诉次数有显著影响

#### 1.4.2、解题第二步：构造检验统计量 ####

*  （1）计算各误差平方：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]**总平方和SST** = (57-47.869565)²+(66-47.869565)²+…+(58-47.869565)² =4164.608696  
    **组间平方和SSA** = 7\*(49-47.869565)²+6\*(48-47.869565)²  
    \+5\*(35-47.869565)²+5\*(59-47.869565)²  
    =1456.608696  
    **组内平方和SSE** = (57-49)²+(66-49)²+…+(44-49)²+ (68-48)²+(39-48)²+…+(51-48)²+ (31-35)²+(49-35)²+…+(40-35)²+ (44-59)²+(51-59)²+…+(58-59)²  
    = 2708  
    上面得出的结果也可以验证：**SST = SSA+SSE**
 *  （2）计算统计量：  
    由于各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为消除观测值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，也就是用各平方和除以它们所对应的自由度，这一结果称为均方，也称方差。  
    由于是要比较组间均方和组内均方之间的差异，所以只需计算SSA和SSE的均方。  
    **MSA = SSA/(k-1) = 1456.608696/(4-1) = 485.536232**  
    **MSE = SSE/(n-k) = 2708/(23-4) = 142.526316**  
    H₀为真时，则表示每个样本都是来自于均值为μ，方差为σ²的同一个正态总体，则  
    **MSA/σ² ~ ²(k-1)**  
    **MSE/σ² ~ ²(n-k)**  
    进一步得到**F = MSA/MSE ~ F(k-1,n-k)**  
    计算结果**F = MSA/MSE = 3.406643**

#### 1.4.3、解题第三步：统计决策 ####

取显著性水平 =0.05，F₀₀₅(3，19)=3.13

由于F>F₀₀₅，因此拒绝原假设H₀，即认为行业对被投诉次数有明显影响

#### 1.4.4、解题第四步：关系强度测量 ####

**R²** = SSA/SST = 1456.608696/4164.608696=34.98%

**R** = 0.59

行业对被投诉次数的影响效应占总效应的34.98%，残差效应则占65.02%。R = 0.59，表明行业与被投诉次数之间有中等以上的关系。

## 2、相关与回归分析 ##

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/99123384

数值型自变量与数值型因变量之间的分析方法，相关与[回归分析][Link 2]。

### 2.1、相关分析 ###

相关关系就是对两个变量间线性关系的描述与度量。

#### 2.1.1 、散点图 ####

绘制散点图来判断变量之间的关系形态  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

#### 2.1.2、相关系数 ####

[相关系数][Link 3]（correlation coefficient）是根据样本数据计算的度量两个变量之间线性关系强度的统计量。

r = Cov(x,y) / σᵪσ ，也称线性相关系数或Pearson相关系数

#### 2.1.3、显著性校验 ####

对相关系数进行显著性校验，以判断样本所反应的关系是否能够代表两个变量总体的关系，**具体步骤如下:**

##### 2.1.3.1、提出假设： #####

H₀：ρ=0(ρ总体相关系数)，即两个变量没有线性相关性

H₁：ρ<>0

##### 2.1.3.2、计算统计量： #####

![在这里插入图片描述][20201220131558482.png]

##### 2.1.3.3、进行决策： #####

上面计算的**t**值与显著性水平 对应的**t**值比较

### 2.2、回归分析 ###

回归分析侧重于考察变量间的数量关系，并通过数学表达式将这种关系表达出来。

#### 2.2.1 、一元线性回归 ####

回归模型： = β₀+β₁ +ε

β₀+β₁ 反映了由于 的变化而引起的 的线性变化；ε是被称为误差项的随机变量，放映了除 和 之间的线性关系之外的随机因素对 的影响。

…

根据样本数据[拟合][Link 4]回归方程时，实际上已经假定变量x与y之间存在着线性关系，即y=β₀+β₁ +ε，并且假定误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且对不同的x具有相同的方差。

回归方程：E( )= β₀+β₁

##### 2.2.1.1 、估算回归方程 #####

利用最小二乘法使因变量的观测值yᵢ与估计值ŷᵢ的离差平方和达到最小，用来估计回归模型参数β₀和β₁。  
![在这里插入图片描述][20201220131917905.png]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

##### 2.2.1.2、直线的拟合优度 #####

**1）判定系数R²，测度回归直线对观测数据的拟合程度。**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
总平方SST = ∑(yᵢ-ȳ)²  
∑(yᵢ-ȳ)² = ∑(ŷ-ȳ)²+∑(yᵢ-ŷ)²+2∑(ŷ-ȳ)(yᵢ-ŷ)  
由于，2∑(ŷ-ȳ)(yᵢ-ŷ)=0，则  
∑(yᵢ-ȳ)² = ∑(ŷ-ȳ)²+∑(yᵢ-ŷ)²

总平方和(SST) = 回归平方和(SSR)+残差平方和(SSE)

回归平方和SSR，∑(ŷ-ȳ)²放映了x与y之间的线性关系引起的y的变化，是可以由回归直线来解释的yᵢ的变差部分。

残差平方和/误差平方和SSE，∑(yᵢ-ŷ)²是不能由回归直线解释的yᵢ的变差部分。

判定系数R² = SSR/SST

**2）估计的标准误差** ，反映了用估计的回归方程预测因变量y时预测误差的大小，是对误差项ε的标准差的估计，可以看做是在排除x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量。

= √SSE/n-2 = √MSE

##### 2.2.1.3、显著性检验 #####

1）线性关系检验

H₀：β₁=0,两个变量之间的线性关系不显著，则  
![在这里插入图片描述][20201220132134541.png]  
2）回归系数检验

检验自变量对因变量的影响是否显著，[一元线性回归][Link 5]中，检验β₁是否为0。

回归系数β₁的抽样分布服从正态分布  
![在这里插入图片描述][20201220132148959.png]  
\*在一元线性回归中，上面的F检验和检验等价。但是在多元回归分析中，F检验是用来检验总体回归关系的显著性，t检验则是检验各个回归系数的显著性。

## 3、简单相关性分析(两个连续型变量) ##

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/36441826

### 3.1、变量间的关系分析 ###

变量之间的关系可分为两类：

*  存在完全确定的关系——称为**函数关系**
 *  不存在完全确定的关系——虽然变量间有着十分密切的关系，但是不能由一个或多各变量值精确地求出另一个变量的值，称为**相关关系**，存在相关关系的变量称为相关变量

相关变量的关系也可分为两种：

*  两个及以上变量间相互影响——**平行关系**
 *  一个变量变化受另一个变量的影响——**依存关系**

它们对应的分析方法：

*  相关分析是研究呈**平行关系**的相关变量之间的关系
 *  回归分析是研究呈**依存关系**的相关变量之间的关系

> 回归分析和相关分析都是研究变量之间关系的统计学课题，两种分析方法相互结合和渗透

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

### 3.2、简单相关分析 ###

*  **相关分析**：就是通过对大量数字资料的观察，消除偶然因素的影响，探求现象之间相关关系的密切程度和表现形式
 *  **主要研究内容**：现象之间是否相关、相关的方向、密切程度等，不区分自变量与因变量，也不关心各变量的构成形式
 *  **主要分析方法**：绘制相关图、计算相关系数、检验相关系数

#### 3.2.1、计算两变量之间的线性相关系数 ####

所有相关分析中最简单的就是两个变量间的线性相关，一变量数值发生变动，另一变量数值会随之发生大致均等的变动，各点的分布在平面图上大概表现为一直线。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]线性相关分析，就是用线性相关系数来衡量两变量的相关关系和密切程度

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]

#### 例子：研究身高与体重的关系 ####

import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    x = np.array([171,175,159,155,152,158,154,164,168,166,159,164])
    y = np.array([57,64,41,38,35,44,41,51,57,49,47,46])

xishu=np.corrcoef(x, y)  
print(xishu)  
plt.scatter(x, y)  
plt.show()

*  1
 *  2
 *  3
 *  4
 *  5
 *  6
 *  7
 *  8
 *  9

结果：

array([[1.        , 0.95930314],
           [0.95930314, 1.        ]])
    
     
     
      
     
     
      
       1 
       2

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]![在这里插入图片描述][20201220133607563.png]

#### 3.2.2、相关系数的假设检验 ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]![在这里插入图片描述][20201220133750383.png]  
![在这里插入图片描述][20201220133843932.png]  
在 R语言 中有 cor.test() 函数

# r的显著性检验,参数alternative默认是"two.side"即双侧t检验
    # method默认"pearson"
    > cor.test(x1, x2)
     Pearson's product<span class="token operator">-</span>moment correlation

data: x1 and x2  
t = 10.743, df = 10, p\-value = 8.21e-07  
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0  
95 percent confidence interval:  
0.8574875 0.9888163  
sample estimates:  
cor  
0.9593031

*  1
 *  2
 *  3
 *  4
 *  5
 *  6
 *  7
 *  8
 *  9
 *  10
 *  11
 *  12
 *  13
 *  14
 *  15

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 20]

## 4、多变量相关性分析(一个因变量与多个自变量) ##

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/37605060

### 4.1、前言： ###

继上一篇文章，继续探讨相关性分析，这次不再是两个变量，而是3个或者以上的变量之间的相关关系分析。

### 4.2、偏相关或复相关 ###

简单相关：研究两变量之间的关系

**偏相关或复相关**：研究三个或者以上变量与的关系

在这里仍然是选择最简单的线性相关来解释。

### 4.3、意义与用途： ###

有些情况下，我们只想了解两个变量之间**是否有线性相关关系**，并**不想拟合**建立它们的回归模型，也**不需要区分自变量和因变量**，这时可用相关性分析。

### 4.4、分析方法： ###

#### 4.4.1、样本相关阵 ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 21]![在这里插入图片描述][20201220134832656.png]  
**例子**：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 22]

> X <- read.table("clipboard", header = T)
    > cor(X)  # 相关系数矩阵
               y        x1        x2        x3        x4
    y  1.0000000 0.9871498 0.9994718 0.9912053 0.6956619
    x1 0.9871498 1.0000000 0.9907018 0.9867664 0.7818066
    x2 0.9994718 0.9907018 1.0000000 0.9917094 0.7154297
    x3 0.9912053 0.9867664 0.9917094 1.0000000 0.7073820
    x4 0.6956619 0.7818066 0.7154297 0.7073820 1.0000000
    
     
     
      
     
     
      
       1 
       2 
       3 
       4 
       5 
       6 
       7 
       8

再看看矩阵散点图：

> pairs(X, ...)  # 多元数据散点图
    
     
     
      
     
     
      
       1

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 23]**相关系数检验：**

> install.package('psych')  # 先安装一个'psych'的包
    > library(psych)
    > corr.test(X)

Call:corr.test(x = yX)  
Correlation matrix  
y x1 x2 x3 x4  
y 1.00 0.99 1.00 0.99 0.70  
x1 0.99 1.00 0.99 0.99 0.78  
x2 1.00 0.99 1.00 0.99 0.72  
x3 0.99 0.99 0.99 1.00 0.71  
x4 0.70 0.78 0.72 0.71 1.00  
Sample Size  
\[1\] 31  
Probability values (Entries above the diagonal are adjusted for multiple tests.)  
y x1 x2 x3 x4  
y 0 0 0 0 0  
x1 0 0 0 0 0  
x2 0 0 0 0 0  
x3 0 0 0 0 0  
x4 0 0 0 0 0

To see confidence intervals of the correlations, print with the short=FALSE option

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#### 4.4.2、复相关分析 ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 24]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 25]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 26]  
[https://zhuanlan.zhihu.com/p/55240092][https_zhuanlan.zhihu.com_p_55240092]

#### 4.4.3、决定系数 R² ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 27]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 28][https://zhuanlan.zhihu.com/p/55240092][https_zhuanlan.zhihu.com_p_55240092]

在 线性回归 中的 3.4 决定系数

# 先建立多元线性回归模型
    > fm = lm(y~x1+x2+x3+x4,data = X)

\# 计算多元线性回归模型决定系数  
> R2 = summary(fm)$r.sq  
> R2  
\[1\] 0.9997162

\# 计算复相关系数  
> R = sqrt(R2)  
> R  
\[1\] 0.9998581

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### 多变量相关分析能为回归分析服务 ###

可以看出**多变量相关分析跟回归分析的关系很密切**，多变量相关分析能为回归分析服务，因为要具有相关性才有做线性回归拟合的价值。

### 具有相关性才有做线性回归拟合的价值 ###

## 5、Python代码 ##

参考：https://www.cnblogs.com/shengyang17/p/9649819.html

### 5.1.图示初判 ###

（1）变量之间的线性相关性

import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    from scipy import stats
    % matplotlib inline

\# 图示初判  
\# （1）变量之间的线性相关性

data1 = pd.Series(np.random.rand(50)100).sort\_values()  
data2 = pd.Series(np.random.rand(50)50).sort\_values()  
data3 = pd.Series(np.random.rand(50)\*500).sort\_values(ascending = False)  
\# 创建三个数据：data1为0-100的随机数并从小到大排列，data2为0-50的随机数并从小到大排列，data3为0-500的随机数并从大到小排列，

fig = plt.figure(figsize = (10,4))  
ax1 = fig.add\_subplot(1,2,1)  
ax1.scatter(data1, data2)  
plt.grid()  
\# 正线性相关

ax2 = fig.add\_subplot(1,2,2)  
ax2.scatter(data1, data3)  
plt.grid()  
\# 负线性相关

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# 图示初判
    # （2）散点图矩阵初判多变量间关系

data = pd.DataFrame(np.random.randn(200,4)\*100, columns = \[‘A’,‘B’,‘C’,‘D’\])  
pd.scatter\_matrix(data,figsize=(8,8),  
c = ‘k’,  
marker = ‘+’,  
diagonal=‘hist’,  
alpha = 0.8,  
range\_padding=0.1)  
data.head()

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![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 32]

### 5.2.Pearson相关系数（皮尔逊相关系数） ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 33]  
建立在正态分布之上的

分子是第一个变量X - 它的均值，第二个变量Y - 它的均值的求和，分母是两个平方根的积

# Pearson相关系数

data1 = pd.Series(np.random.rand(100)100).sort\_values()  
data2 = pd.Series(np.random.rand(100)50).sort\_values()  
data = pd.DataFrame(\{ ‘value1’:data1.values,  
‘value2’:data2.values\})  
print(data.head())  
print(‘------’)  
\# 创建样本数据

u1,u2 = data\[‘value1’\].mean(),data\[‘value2’\].mean() \# 计算均值  
std1,std2 = data\[‘value1’\].std(),data\[‘value2’\].std() \# 计算标准差  
print(‘value1正态性检验：\\n’,stats.kstest(data\[‘value1’\], ‘norm’, (u1, std1)))  
print(‘value2正态性检验：\\n’,stats.kstest(data\[‘value2’\], ‘norm’, (u2, std2)))  
print(‘------’)  
\# 正态性检验 → pvalue >0.05

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data['(x-u1)*(y-u2)'] = (data['value1'] - u1) * (data['value2'] - u2)
    data['(x-u1)**2'] = (data['value1'] - u1)**2
    data['(y-u2)**2'] = (data['value2'] - u2)**2
    print(data.head())
    print('------')
    # 制作Pearson相关系数求值表

r = data\[‘(x-u1)*(y-u2)‘*\].sum() / (np.sqrt( data\[’(x-u1)\*\*2’\].sum()  data\[’(y-u2)\*\*2’\].sum() ))  
print(‘Pearson相关系数为：%.4f’ % r)  
\# 求出r  
\# |r| > 0.8 → 高度线性相关

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# Pearson相关系数 - 算法

data.corr()  
\# pandas相关性方法：data.corr(method=‘pearson’, min\_periods=1) → 直接给出数据字段的相关系数矩阵  
\# method默认pearson

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### 5.3.Sperman秩相关系数（斯皮尔曼相关系数） ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 37]

# Sperman秩相关系数

data = pd.DataFrame(\{ ‘智商’:\[106,86,100,101,99,103,97,113,112,110\],  
‘每周看电视小时数’:\[7,0,27,50,28,29,20,12,6,17\]\})  
print(data)  
print(‘------’)  
\# 创建样本数据

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data.sort_values('智商', inplace=True)
    data['range1'] = np.arange(1,len(data)+1)
    data.sort_values('每周看电视小时数', inplace=True)
    data['range2'] = np.arange(1,len(data)+1)
    print(data)
    print('------')
    # “智商”、“每周看电视小时数”重新按照从小到大排序，并设定秩次index
    
     
     
      
     
     
      
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![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 39]

data['d'] = data['range1'] - data['range2']
    data['d2'] = data['d']**2 
    print(data)
    print('------')
    # 求出di，di2
    n = len(data)
    rs = 1 - 6 * (data['d2'].sum()) / (n * (n**2 - 1))
    print('Pearson相关系数为：%.4f' % rs)
    # 求出rs
    
     
     
      
     
     
      
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![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 40]

**Pearson相关系数 - 算法**

# Pearson相关系数 - 算法

data.corr(method=‘spearman’)  
\# pandas相关性方法：data.corr(method=‘pearson’, min\_periods=1) → 直接给出数据字段的相关系数矩阵  
\# method默认pearson

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[Link 1]: https://so.csdn.net/so/search?q=%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%9E%90&spm=1001.2101.3001.7020
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220130204424.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/202012201302559.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220130444341.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[Link 2]: https://so.csdn.net/so/search?q=%E5%9B%9E%E5%BD%92%E5%88%86%E6%9E%90&spm=1001.2101.3001.7020
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220131252731.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[Link 3]: https://so.csdn.net/so/search?q=%E7%9B%B8%E5%85%B3%E7%B3%BB%E6%95%B0&spm=1001.2101.3001.7020
[20201220131558482.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220131558482.png
[Link 4]: https://so.csdn.net/so/search?q=%E6%8B%9F%E5%90%88&spm=1001.2101.3001.7020
[20201220131917905.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220131917905.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220131923790.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220131955925.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[20201220132134541.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220132134541.png
[Link 5]: https://so.csdn.net/so/search?q=%E4%B8%80%E5%85%83%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%9B%9E%E5%BD%92&spm=1001.2101.3001.7020
[20201220132148959.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220132148959.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220132558757.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220132753561.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220133120585.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220133139230.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220133157469.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201220133219472.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTI4ODU1Nw==,size_16,color_FFFFFF,t_70
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