[蓝桥杯] 树状数组与线段树问题（C/C++）

阳光穿透心脏的1/2处 2023-09-26 18:38 67阅读 0赞

**![0dffc48ca4314f63b9f707b903829195.gif][]**

> **文章目录**
> 
> 一、动态求连续区间和
> 
> 1、1 题目描述
> 
> 1、2 题解关键思路与解答
> 
> 二、数星星
> 
> 2、1 题目描述
> 
> 2、2 题解关键思路与解答
> 
> 三、数列区间最大值
> 
> 3、1 题目描述
> 
> 3、2 题解关键思路与解答
> 
> --------------------
> 
> ## 标题：树状数组与线段树问题 ##
> 
> ## 作者：@Ggggggtm ##
> 
> ## 寄语：与其忙着诉苦，不如低头赶路，奋路前行，终将遇到一番好风景 ##
> 
> ![43edbf1fc07f49eba2ff3d52c632216c.png][]

## 一、动态求连续区间和 ##

### 1、1 题目描述 ###

> **题目来源：**《信息学奥赛一本通》,Acwing模板题
> 
> **题目难度：**简单
> 
> **题目描述：**给定 n 个数组成的一个数列，规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求子数列 \[a,b\] 的连续和。
> 
> **输入格式：**
> 
> 第一行包含两个整数 n 和 m，分别表示数的个数和操作次数。
> 
> 第二行包含 n 个整数，表示完整数列。
> 
> 接下来 m 行，每行包含三个整数 k,a,b （k=0，表示求子数列\[a,b\]的和；k=1，表示第 a 个数加 b）。
> 
> 数列从 1 开始计数。
> 
> **输出格式：**
> 
> 输出若干行数字，表示 k=0时，对应的子数列 \[a,b\] 的连续和。
> 
> **数据范围：**
> 
> 1≤n≤100000,  
> 1≤m≤100000，  
> 1≤a≤b≤n,  
> 数据保证在任何时候，数列中所有元素之和均在 int 范围内。
> 
> **输入样例：**
> 
>     10 5
>     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>     1 1 5
>     0 1 3
>     0 4 8
>     1 7 5
>     0 4 8
> 
> **输出样例：**
> 
>     11
>     30
>     35

### 1、2 题解关键思路与解答 ###

> 我们知道求一段区间的和用前缀和数组会很方便，时间复杂度也很快。但是当修改数组的数据时，我们又要重新求前缀和数组，这样下来时间复杂的就较高了，为O（n\*n）的级别的。这个时候我们就可以用到树状数组来求解。树状数组是一个一维数组，每个位置存储的数据是一段区间的和。以下为书抓鬼呢数组的模板：![8f58c318059e4752a4b8de0e6e8a1150.png][]![d8ef08cecf07470991fdb95b6dd35c0d.png][]我们只需要记住树状数组有三个比较重要的函数，l**owbit（找下一个要操作的数）、add（改变大小）、query（求区间和）**。我们看代码：

#include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 100010;
    
    int n, m;
    int a[N], tr[N];
    
    int lowbit(int x)
    {
        return x & -x;
    }
    
    void add(int x, int v)
    {
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
    }
    
    int query(int x)
    {
        int res = 0;
        for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
        return res;
    }
    
    int main()
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) add(i, a[i]);
    
        while (m -- )
        {
            int k, x, y;
            scanf("%d%d%d", &k, &x, &y);
            if (k == 0) printf("%d\n", query(y) - query(x - 1));
            else add(x, y);
        }
    
        return 0;
    }

## 二、数星星 ##

### 2、1 题目描述 ###

> **题目来源：**《信息学奥赛一本通》 , Ural 1028
> 
> **题目难度：**中等
> 
> **题目描述：**
> 
> 天空中有一些星星，这些星星都在不同的位置，每个星星有个坐标。
> 
> 如果一个星星的左下方（包含正左和正下）有 k 颗星星，就说这颗星星是 k 级的。
> 
> ![19efb287d72eb4b9528a058f6e1d9e70.png][]
> 
> 例如，上图中星星 5 是 3 级的（1,2,4 在它左下），星星 2,4 是 1 级的。
> 
> 例图中有 1 个 0 级，2 个 1 级 1 个 2 级，1 个 3 级的星星。
> 
> 给定星星的位置，输出各级星星的数目。
> 
> 换句话说，给定 N 个点，定义每个点的等级是在该点左下方（含正左、正下）的点的数目，试统计每个等级有多少个点。
> 
> **输入格式：**
> 
> 第一行一个整数 N，表示星星的数目；
> 
> 接下来 N 行给出每颗星星的坐标，坐标用两个整数 x,y 表示；
> 
> 不会有星星重叠。星星按 y 坐标增序给出，y 坐标相同的按 x 坐标增序给出。
> 
> **输出格式：**
> 
> N 行，每行一个整数，分别是 0 级，1 级，2 级，……，N−1 级的星星的数目。
> 
> **数据范围：**
> 
> 1≤N≤15000，  
> 0≤x,y≤32000。
> 
> **输入样例：**
> 
>     5
>     1 1
>     5 1
>     7 1
>     3 3
>     5 5
> 
> **输出样例：**
> 
>     1
>     2
>     1
>     1
>     0

### 2、2 题解关键思路与解答 ###

> 我们仔细分析上述题目，题目中说道：不会有星星重叠。星星按 y 坐标增序给出，y 坐标相同的按 x 坐标增序给出。也就是输入的星星的做标顺序是按照从下往上，从左往右依次给出的。我们只需要判断该星星的左下方位置有多少个星星来确定等级就行。**由于是按照坐标顺序给出的**，所以这就给我们的统计带来了很大的方便。我们只需要看该坐标的横坐标，**有多少个比该做的横坐标小的数就是星星的个数**。在统计时还不断插入新坐标，**相当于就是动态求数组的前缀和，我们在这里就可以利用树状数组即可解决问题**。我们看代码：

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    
    using namespace std;
    
    const int N=32010;
    
    int n;
    
    int c[N],level[N];
    
    int lowbit(int x)
    {
         return x&-x;
    }
        
    int sum(int x)
    {
        int res=0;
        for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
            res+=c[i];
        return res;
    }
    
    void add(int x)
    {
        for(int i=x;i<N;i+=lowbit(i))
            c[i]++;
    }
    int main()
    {
        cin>>n;
        
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            x++;
            level[sum(x)]++;
            add(x);
        }
        
        for(int i=0;i<n;i++)
            printf("%d\n",level[i]);
    }

## 三、数列区间最大值 ##

### 3、1 题目描述 ###

> **题目来源：**《信息学奥赛一本通》
> 
> **题目难度：**中等
> 
> **题目描述：**输入一串数字，给你 M 个询问，每次询问就给你两个数字 X,Y，要求你说出 X 到 Y 这段区间内的最大数。
> 
> **输入格式：**
> 
> 第一行两个整数 N,M 表示数字的个数和要询问的次数；
> 
> 接下来一行为 N 个数；
> 
> 接下来 M 行，每行都有两个整数 X,Y。
> 
> **输出格式：**
> 
> 输出共 M 行，每行输出一个数。
> 
> **数据范围：**
> 
> 1≤N≤1e5,  
> 1≤M≤1e6,  
> 1≤X≤Y≤N,  
> 数列中的数字均不超过2^31−1
> 
> **输入样例：**
> 
>     10 2
>     3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
>     1 4
>     3 8
> 
> **输出样例：**
> 
>     5
>     8

### 3、2 题解关键思路与解答 ###

> 我们正常可以想到的就是暴力循环，时间复杂度为O（n\*n）的级别。题目中歌的数据范围较大，所以暴力是通过不了的。我们这个时候就可以使用**线段树**。线段树可以动态求一段区间的和、一段区间的最大值、最小值等问题。这个题中我们就是要求一段区间的最大值。什么是线段树呢？线段树是一棵**平衡二叉树**。母结点代表整个区间的和，越往下区间越小。注意，线段树的每个**节点**都对应一条**线段（区间）**，但并不保证所有的线段（区间）都是线段树的节点，这两者应当区分开。![7ee282b69e804c3e8a32818c28339e4a.png][]
> 
> 我们在使用线段树时，通常会先建立一个结构体，该结构体包含左右区间，以及要求的值。**每个节点 u 的左右子节点的编号分别为 2u 和 2u+1** ，假如节点 u 储存区间 \[l,r\] 的和，**设 mid=⌊(l+r/)2⌋ ，那么两个子节点分别储存 \[l, mid\] 和 \[mid+1,r\] 的和**。可以发现，左节点对应的区间长度，与右节点相同或者比之恰好多1。
> 
> 线段树有四个重要的函数：**pushup（通过子节点向上求父节点的和）、build（通过递归建立线段树）、query（求一段区间的最大值或最小值或 和）、modify（修该某个值）。**
> 
> 我们来结合本题的代码一起理解一下：

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    #include<climits>
    
    using namespace std;
    
    const int N=1e5+10;
    
    int w[N];
    
    struct Node
    {
        int l,r;
        int maxv;
    }tr[4*N];
    
    void build(int u,int l,int r)
    {
        if(l==r)
            tr[u]={l,r,w[r]};
        else
        {
            tr[u]={l,r};
            int mid=l+r>>1;
            build(u<<1,l,mid),build(u<<1 | 1,mid+1,r);
            tr[u].maxv=max(tr[u<<1].maxv,tr[u<<1 | 1].maxv);
        }
    }
    
    int query(int u,int l,int r)
    {
        if(tr[u].l>=l && tr[u].r<=r)
            return tr[u].maxv;
        
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        
        int maxv=INT_MIN;
        if(l<=mid)
            maxv=query(u<<1,l,r);
        if(r>mid)
            maxv=max(maxv,query(u<<1|1,l,r));
            
        return maxv;
    }
    int main()
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&w[i]);
        
        build(1,1,n);
        
        int l,r;
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d",&l,&r);
            printf("%d\n",query(1,l,r));
        }
        return 0;
    }

[0dffc48ca4314f63b9f707b903829195.gif]: https://img-blog.csdnimg.cn/0dffc48ca4314f63b9f707b903829195.gif
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