GAMES101作业7提高-实现微表面模型你需要了解的知识

╰半夏微凉° 2023-09-28 11:12 10阅读 0赞

**目录**

微表面材质模型

微平面理论 Microfacet Theory

BSDF（浅浅的提一下）

微表面BRDF的实现

Cook-Torrance BRDF

漫反射的BRDF

镜面反射的BRDF

1 法线分布函数 D

GGX分布简介

Trowbridge-Reitz 分布(GGX分布) 公式

表面粗糙度编辑的取值

实现代码

2 阴影遮挡函数 G

Smith遮蔽函数

Disney实现方法

实现代码

UE4方法-SchlickGGX

实现代码

3 菲涅尔项 F

实现代码

参考

--------------------

## 微表面材质模型 ##

Microfacet Material，也是真实感材质模型，同时是**PBR**（Physicallly-Based-Rendering 基于物理渲染）基于的东西。

之前作业中涉及到的 BRDF，即Bidirectional Reflectance Distribution Function，双向反射分布函数，微表面模型就是基于物理的BRDF，也是最常用的一种物理BRDF。

## 微平面理论 Microfacet Theory ##

下面是我结合课程内容对微平面理论的一些理解。

现实生活中，物体表面都是不规则的，离近了看会有坑坑洼洼的感觉，这就意味着这些坑坑洼洼的小表面反射的光方向都不同。但对于每个小表面来说，入射的光线只会被分为反射光和折射光。基于此，微表面模型假设：**①微表面的尺寸小于着色区域大于可见光波长**；物体表面从远处看是外观（diffuse、glossy），近处看是一个个微小的、平的几何面，**②这些平坦的几何面都符合几何光学定律**，可以看成是一个个非常小的镜子；**③光线只在微表面之间弹射一次**（single-bounce），一次之后弹射的光线不改变着色结果。（关于假设③，这里不考虑下图所示的光线多次弹射的情况，次表面散射技术后面会单独开一贴讲讲）

![9046a538d0bdf0e3fbf0a24ecaa1f4e5.png][]

有了这些假设，解微表面材质模型的关键在于：解微表面朝向的分布，具体来说就是微表面的法线分布。如下图，对于两种典型的材质与法线分布的关系：法线集中->glossy；法线发散->diffuse。

![0479de24e3ab4b499191e7c6266adc4e.png][]

## BSDF（浅浅的提一下） ##

BSDF（Bidirectional Scattering Distribution Function，S表示的就是“散射”），描述了光如何在物体表面散射，反映了光入射和出射强度的对应关系。之前我们涉及到的**反射模型BRDF**和**透射模型BTDF（T指Transmittance，透射）**是BSDF分别只限制了反射和透射的模型结果。BSDF本身是BRDF和BTDF综合作用。

## 微表面BRDF的实现 ##

一般常用Cook-Torrance BRDF来实现Microfacet：

### Cook-Torrance BRDF ###

Cook-TorranceBRDF考虑了微表面的漫反射和镜面反射，公式如下：

![f\_\{r\}=k\_\{d\}f\_\{lambert\}+k\_\{s\}f\_\{cook-torrance\}][f_r_k_d_f_lambert_k_s_f_cook-torrance]

其中：![k\_\{d\}][k_d]——折射光占入射光比例；

![k\_\{s\}][k_s]——反射光占入射光比例；

![f\_\{lambert\}][f_lambert]——漫反射（diffuse）的BRDF；

![f\_\{cook-torrance\}][f_cook-torrance]——镜面反射（specular）的BRDF;

#### 漫反射的BRDF ####

![aae9b1546c794ad9b1c7d35ff8fb1ef0.png][]

![b1854acb437c41f7b4194087a8e5a602.png][]

上面截图均来自GAMES101课程的P17节：[P17-GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪][P17-GAMES101-_-].漫反射diffuse项用来刻画材质的着色，漫反射的BRDF是个常数项，漫反射朝半球方向均匀弹出，由课上老师介绍的推导过程，可以直接写出漫反射的计算式：

![f\_\{lambert\}=\\frac\{\\rho \}\{\\pi \}][f_lambert_frac_rho _pi]

其中， ![\\rho][rho]是个Vecotor3f向量，储存了颜色信息。

#### **镜面反射的BRDF** ####

公式如下：

![f\_\{cool-torrance\}=\\frac\{D(\\vec\{h\})F(\\vec\{h\},\\vec\{i\})G(\\vec\{i\},\\vec\{o\})\}\{4(\\vec\{i\}\\cdot \\vec\{n\})(\\vec\{o\}\\cdot \\vec\{n\})\}][f_cool-torrance_frac_D_vec_h_F_vec_h_vec_i_G_vec_i_vec_o_4_vec_i_cdot _vec_n_vec_o_cdot _vec_n]

其中，![i][]为入射方向；![o][]为出射方向；![\\vec\{h\}][vec_h]为半角向量（halfway vector)，即二者中间向量；![F][]为菲涅尔项；![G][]为阴影遮挡函数；![D][]为法线分布函数。

值得一提的是，Cook-Torrance BRDF模型的镜面反射项（**specular reflection**）是根据Torrance-Sparrow BRDF描述的完整各向同性材质反射模型，再将他应用于图形学得到的**。**这一项值用来刻画材质的高光。

接下来分别对法线分布函数、阴影遮挡系数和菲涅尔项做介绍。

## 1 法线分布函数 D ##

首先要明确一点的是，法线分布函数有Phong分布、Beckmann分布、GGX分布（Trowbridge-Reitz 分布），下文中将只结合GGX分布来介绍法线分布函数。

法线分布函数（Normal Distribution Fuction），NDF，记作：![D(\\vec\{h\})][D_vec_h].关于法线分布函数的定义，[How Is The NDF Really Defined? – Nathan Reed’s coding blog][How Is The NDF Really Defined_ _ Nathan Reed_s coding blog]中是这么描述的：“NDF statistically describes the microscopic shape of the surface as a distribution of microfacet orientations.”，即：把微表面的形状描述为表面朝向的分布。目前，主流的法线分布函数已经从传统的Blinn-Phong分布和Beckmann分布，发展到更接近真实世界材质外观的GGX分布。

### GGX分布简介 ###

![23094ca10f964f81aab69d85c434b7c2.png][]

简单介绍一下GGX这个符号，GGX我们经常在各种地方看到。其实GGX分布是Walter等人在论文[Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces (cornell.edu)][Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces _cornell.edu]

中提到的一个新的微表面分布函数，该函数能够模拟出粗糙表面的透射效果，下图是论文中展示的利用GGX渲染出的一个玻璃球效果图：

![a844641ea97e440ab9315df0341599c1.png][]

![d118eec764264dbf09d8bfe1e1c76a64.png][]

GGX分布是Walter等人的提出的，其认为NDF遵循以下方程：

![dA\_\{h\}=D(\\vec\{h\})d\\omega\_\{h\}A][dA_h_D_vec_h_d_omega_h_A]

其中，![A][]——表示宏观（远处看）表面一小块平的区域；![dA\_\{h\}][dA_h]——方向是![d\\omega \_\{h\}][d_omega _h]的所有小的平的区域的总面积。

这个公式就可以看出，NDF并不表示密度，而是单位面积、单位立体角的微平面的面积。对上式积分：

![\\frac\{1\}\{A\}\\int (\\vec\{n\}\\cdot \\vec\{h\})dA\_\{h\}=\\int\_\{\\Omega \}^\{\}D(\\vec\{h\})(\\vec\{n\}\\cdot \\vec\{h\})d\\omega \_\{h\}][frac_1_A_int _vec_n_cdot _vec_h_dA_h_int_Omega _D_vec_h_vec_n_cdot _vec_h_d_omega _h]

其中，![(\\vec\{n\}\\cdot \\vec\{h\})dA\_\{h\}][vec_n_cdot _vec_h_dA_h]——微表面投影到宏观表面上的面积；式右边表示正半球立体角的积分，左边表示在所有朝向![\\vec\{h\}][vec_h]的微平面面积和，且宏观表面所有方向上的微表面投影面积和等于![A][]。因此式右边应等于1.

![\\int\_\{\\Omega \}^\{\}D(\\vec\{h\})(\\vec\{n\}\\cdot \\vec\{h\})d\\omega \_\{h\}=1][int_Omega _D_vec_h_vec_n_cdot _vec_h_d_omega _h_1]

此外，GGX分布还有一个限制条件：对于任意观察方向![\\vec\{v\}][vec_v]，有：

![\\int\_\{\\Omega \}^\{\}D(\\vec\{h\})(\\vec\{v\}\\cdot \\vec\{h\})d\\omega \_\{h\}=\\vec\{n\}\\cdot \\vec\{v\}][int_Omega _D_vec_h_vec_v_cdot _vec_h_d_omega _h_vec_n_cdot _vec_v]

该式的几何意义如下图：

![c9de6a41f131440299609c9beee746e2.png][]

可以看到，在方向![\\vec\{v\}][vec_v]上，要想求在宏观表面上的投影面积，如果如上图所示中朝向为橙色箭头的微表面，求投影后会正负抵消，剩下的就是朝向是蓝色箭头的微表面的投影和。因此投影可以表示为![\\vec\{n\}\\cdot \\vec\{v\}][vec_n_cdot _vec_v]。

### Trowbridge-Reitz 分布(GGX分布) 公式 ###

又称为GGX分布，论文[Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces][Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces _cornell.edu]中给的形式为：

![D(m)=\\frac\{\\alpha \_\{g\}^\{2\}\\chi ^\{+\}(m\\cdot n)\}\{\\pi cos^\{4\}\\theta \_\{m\}(\\alpha \_\{g\}^\{2\}+tan^\{^\{2\}\}\\theta \_\{m\})^\{2\}\}][D_m_frac_alpha _g_2_chi _m_cdot n_pi cos_4_theta _m_alpha _g_2_tan_2_theta _m_2]

化简后得到可以用于计算的式子：

![D(n,h,\\alpha )=\\frac\{\\alpha ^\{2\}\}\{\\pi ((n\\cdot h)^\{2\}(\\alpha ^\{2\}-1)+1)^\{2\}\}][D_n_h_alpha _frac_alpha _2_pi _n_cdot h_2_alpha _2_-1_1_2]

其中：

![\\alpha][alpha]：微表面粗糙度，一般在\[0,1\]之间，越大越粗糙；

![n][]：宏观表面法向量；

![h][]：微平面法向量，与上文相同，即入射方向和出射方向的中间向量。

#### 表面粗糙度**![\\alpha][alpha 1]**的取值 ####

注意！这里对于微表面粗糙度![\\alpha][alpha 2]的取值，无论是在GGX分布还是在迪士尼用的GTR分布里，都建议将宏观表面粗糙度roughness映射成真正的微表面粗糙度![roughness^\{2\}][roughness_2]再进行运算，因此roughness在计算时实际上是4次方。

关于表面粗糙度的取值，参考文章中是这么说的：“在迪士尼原理着色模型Disney principled shading model中，**推荐将粗糙度控制以![\\alpha = r^\{2\}][alpha _ r_2]暴露给用户**，其中![r][]是0到1的用户界面粗糙度参数值，可以让GGX分布更线性的方式变化，且这种方式更加实用，不少使用GGX分布的引擎与游戏都采用了这种映射方式。”这里的![r][]表示![roughness][]，粗糙度.

#### 实现代码 ####

float DistributionGGX(float NdotH, float roughness) {
    	float a = roughness * roughness;
        float a2 = a * a;
    	float pi = 3.1415;
    	float m = NdotH * NdotH * (a2 - 1) + 1;
    
    	return a2 / (pi * m * m);//注意分母不能为0，真正使用需要给定一个最小值
    }

了解到这里，已经足够写出GGX密度分布函数的代码了，如果想要深入了解公式如何推到的，可以细看论文中的推导过程。

到这里我们就能理解了：为什么说与Phong和Beckmann相比，GGX更接近真实情况呢？因为**GGX可以更好的表现金属高光边缘的消散（拖尾）效果**，这里可以参考[图形渲染基础：微表面材质模型 - 知乎 (zhihu.com)][- _ _zhihu.com]一文中的解释：

![40b312037dc248f1b65e32918fcba0bf.png][]

由于GGX的高光有更长的拖尾，因此在**表现真实金属表面**的时候更胜一筹。

## 2 阴影遮挡函数 G ##

微表面是凸凹不平的，从不同观察方向看难免会产生一个表面被另一个表面遮挡的情况（如下图，图源水印）。其中，光照illumination遮挡称为自阴影；从视线viewing看过去被遮挡叫做自遮挡。

BSDF定义了一个几何函数 ![G][G 1] 用以模拟微表面由于相互遮挡而导致光线的**能量丢失**的现象，这个函数就叫做阴影遮挡函数，从定义不难看出，这个函数的取值应该也是从\[0,1\]的。同时，几何函数有两种形式：

![G\_\{1\}][G_1]——微平面在单个方向（光照方向![\\vec\{l\}][vec_l]or视线方向![\\vec\{v\}][vec_v 1]）上可见比例，光照对应**遮蔽函数 masking function**；视线对应**阴影函数 shadowing function.**

![G\_\{2\}][G_2]——微平面在光照和视线方向共同可见的比例，称为**联合遮蔽阴影函数 joint masking-shadowing function.**

其中，![G\_\{2\}][G_2]由![G\_\{1\}][G_1]推导而来，同时一般微表面材质计算所说的几何函数就是指![G\_\{2\}][G_2]

### Smith遮蔽函数 ###

Smith遮蔽函数，即Smith masking function。由于自阴影本质与自遮挡是一样的，都是可见微表面才能对着色有贡献，因此Smith认为二者是相互独立的，有了如下的乘积的Smith Function：

![G(\\vec\{o\},\\vec\{i\})=G\_\{1\}(\\vec\{o\})G\_\{1\}(\\vec\{i\})][G_vec_o_vec_i_G_1_vec_o_G_1_vec_i]

其中 ![\\vec\{o\},\\vec\{i\}][vec_o_vec_i]分别表示入射和出射方向，对应的话就是光源和观察方向。

Smith遮蔽函数对于随机表面的非常准确，但**对于一些非随即表面、重复性的图案表现精度会降低**（例如面料这种高重复性的结构）。因此在进行布料这种重复性结构图案一般会采用一些专门的shading model去计算。

### Disney实现方法 ###

![c9de6a41f131440299609c9beee746e2.png][]

参考上图， 定义函数![G\_\{1\}(\\vec\{h\},\\vec\{v\})][G_1_vec_h_vec_v],，表示法线方向为![\\vec\{h\}][vec_h 1]的微表面们在观察方向![\\vec\{v\}][vec_v 2]上未被遮挡的比例。根据上述已经讨论过的一个GGX的规定，对于任意观察方向![\\vec\{v\}][vec_v]，有：

![\\int\_\{\\Omega \}^\{\}D(\\vec\{h\})(\\vec\{v\}\\cdot \\vec\{h\})d\\omega \_\{h\}=\\vec\{n\}\\cdot \\vec\{v\}][int_Omega _D_vec_h_vec_v_cdot _vec_h_d_omega _h_vec_n_cdot _vec_v]

那么就有：

![cos\\theta =\\int\_\{\\Omega \}^\{\}G\_\{1\}(\\vec\{h\},\\vec\{v\})\\cdot max(0,\\vec\{h\}\\cdot \\vec\{v\})\\cdot D(\\vec\{h\})d\\omega \_\{h\}=\\vec\{n\}\\cdot \\vec\{h\}][cos_theta _int_Omega _G_1_vec_h_vec_v_cdot max_0_vec_h_cdot _vec_v_cdot D_vec_h_d_omega _h_vec_n_cdot _vec_h]

其中，![max][]用来剔除背向观察方向的微表面。

记下来为了简化![G\_\{1\}][G_1 1]的计算，假设其与微表面朝向无关，可以把它提出来。再通过与视线夹角大于和小于![\\frac\{\\pi \}\{2\}][frac_pi _2]的微表面面积和都表现出来，分别命名为![A^\{+\}(\\vec\{v\})][A_vec_v]和![A^\{-\}(\\vec\{v\})][A_-_vec_v]，得到：

![G\_\{1\}(\\vec\{v\})=\\frac\{A^\{+\}(\\vec\{v\})-A^\{-\}(\\vec\{v\})\}\{A^\{+\}(\\vec\{v\})\}][G_1_vec_v_frac_A_vec_v_-A_-_vec_v_A_vec_v]

根据该式，结合![D(\\vec\{h\})][D_vec_h]能推导出准确的![G\_\{1\}][G_1 1].

![G\_\{GGX\}(v)=\\frac\{2(\\vec\{n \}\\cdot \\vec\{v\})\}\{(\\vec\{n \}\\cdot \\vec\{v\})+\\sqrt\{\\alpha ^\{2\}+(1-\\alpha ^\{2\})(\\vec\{n \}\\cdot \\vec\{v\})^\{2\}\}\}][G_GGX_v_frac_2_vec_n _cdot _vec_v_vec_n _cdot _vec_v_sqrt_alpha _2_1-_alpha _2_vec_n _cdot _vec_v_2]

其中：![\\alpha =(0.5+\\frac\{\{roughness\}\}\{2\})^\{2\}][alpha _0.5_frac_roughness_2_2]，将粗糙度重映射以减少光泽面的极端增益，使粗糙度变化更加平滑。

#### 实现代码 ####

//对G1的实现
    float SmithG_GGX(float NdotV, float roughness) {
    	float r = 0.5 + roughness / 2.0f;
    	float m = r * r + (1 - r * r) * NdotV * NdotV;
    
    	return 2.0f * NdotV / (NdotV + std::sqrt(m));
    }
    
    //光源方向和观察方向分别计算ggx1和ggx2，相乘得到G
    float GeometrySmith(Vector3f N, Vector3f V, Vector3f L, float roughness) {
    	float NdotV = std::max(dotProduct(N, V), 0.0f);
    	float NdotL = std::max(dotProduct(N, L), 0.0f);
    	float ggx1 = SmithG_GGX(NdotL, roughness);
    	float ggx2 = SmithG_GGX(NdotV, roughness);
    	
    	return ggx1 * ggx2;
    }

### UE4方法-SchlickGGX ###

UE4采用的方法是用Schlick近似Smith来计算几何函数，具体怎么算的可以参考这篇文章：

[图形学｜PBR：Schlick近似方法 - 知乎 (zhihu.com)][PBR_Schlick_ - _ _zhihu.com]

![G(\\vec\{n\},\\vec\{v\},\\vec\{l\},k)=G\_\{sub\}(\\vec\{n\},\\vec\{v\},k)G\_\{sub\}(\\vec\{n\},\\vec\{l\},k)][G_vec_n_vec_v_vec_l_k_G_sub_vec_n_vec_v_k_G_sub_vec_n_vec_l_k]

![G\_\{SchlickGGX\}(\\vec\{n\},\\vec\{v\},\\vec\{l\},k)=\\frac\{\\vec\{n\}\\cdot \\vec\{v\}\}\{(\\vec\{n\}\\cdot \\vec\{v\})(1-k)+k\}][G_SchlickGGX_vec_n_vec_v_vec_l_k_frac_vec_n_cdot _vec_v_vec_n_cdot _vec_v_1-k_k]

其中：![k=\\frac\{(roughness +1)^\{2\}\}\{8\}][k_frac_roughness _1_2_8]

#### 实现代码 ####

float GeometrySchlickGGX(float NdotV, float roughness) {
    	float r = roughness + 1;
    	float k = r * r / 8;
    	float m = NdotV / NdotV * (1.f - k) + k;
    	
    	return NdotV / m;
    }
    
    //光源方向和观察方向分别计算ggx1和ggx2，相乘得到G
    float GeometrySmith(Vector3f N, Vector3f V, Vector3f L, float roughness) {
    	float NdotV = std::max(dotProduct(N, V), 0.0f);
    	float NdotL = std::max(dotProdoct(N, L), 0.0f);
    	float ggx1 = GeometrySchlickGGX(NdotL, roughness);
    	float ggx2 = GeometrySchlickGGX(NdotV, roughness);
    	
    	return ggx1 * ggx2;
    }

除了以上两种方法还有其他的，想了解的话可以看看这篇文章：[PBR GGX Specular G 几何函数 - 掘金 (juejin.cn)][PBR GGX Specular G _ - _ _juejin.cn]

## 3 菲涅尔项 F ##

就是计算反射光占比。对于菲涅尔效应和菲涅尔项的计算在作业5中有介绍，这里就不赘述了，直接贴代码，想要了解的可以移步[GAMES101作业5-从头到尾理解代码&Whitted光线追踪\_flashinggg的博客][GAMES101_5-_Whitted_flashinggg]

#### **实现代码** ####

这里直接贴出框架中菲涅尔项的计算函数：

//菲涅尔方程，与作业5相同
        void fresnel(const Vector3f &I, const Vector3f &N, const float &ior, float &kr) const
        {
            float cosi = clamp(-1, 1, dotProduct(I, N));
            float etai = 1, etat = ior;
            if (cosi > 0) {  std::swap(etai, etat); }
            // Compute sini using Snell's law
            float sint = etai / etat * sqrtf(std::max(0.f, 1 - cosi * cosi));
            // Total internal reflection
            if (sint >= 1) {
                kr = 1;
            }
            else {
                float cost = sqrtf(std::max(0.f, 1 - sint * sint));
                cosi = fabsf(cosi);
                float Rs = ((etat * cosi) - (etai * cost)) / ((etat * cosi) + (etai * cost));
                float Rp = ((etai * cosi) - (etat * cost)) / ((etai * cosi) + (etat * cost));
                kr = (Rs * Rs + Rp * Rp) / 2;
            }

看到这里，实现作业7中的微表面材质提高部分就没问题了，会另开一贴介绍具体的实现代码.

以及之后会再总结一下微表面材质学习引出的其他拓展内容，例如PBR除了微表面其他的内容是什么？Disney Principle是什么？等等...

## **参考** ##

[图形渲染基础：微表面材质模型 - 知乎 (zhihu.com)][- _ _zhihu.com]

[【基于物理的渲染（PBR）白皮书】（四）法线分布函数相关总结 - 知乎 (zhihu.com)][PBR_ - _ _zhihu.com]

[How Is The NDF Really Defined? – Nathan Reed’s coding blog (reedbeta.comd][How Is The NDF Really Defined_ _ Nathan Reed_s coding blog]

[基于物理的渲染：微平面理论(Cook-Torrance BRDF推导) - 知乎 (zhihu.com)][Cook-Torrance BRDF_ - _ _zhihu.com]

[9046a538d0bdf0e3fbf0a24ecaa1f4e5.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/9046a538d0bdf0e3fbf0a24ecaa1f4e5.png
[0479de24e3ab4b499191e7c6266adc4e.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/0479de24e3ab4b499191e7c6266adc4e.png
[f_r_k_d_f_lambert_k_s_f_cook-torrance]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B150%7D%20f_%7Br%7D%3Dk_%7Bd%7Df_%7Blambert%7D&plus;k_%7Bs%7Df_%7Bcook-torrance%7D
[k_d]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B150%7D%20k_%7Bd%7D
[k_s]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B150%7D%20k_%7Bs%7D
[f_lambert]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B150%7D%20f_%7Blambert%7D
[f_cook-torrance]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B150%7D%20f_%7Bcook-torrance%7D
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[P17-GAMES101-_-]: https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=17&vd_source=df915e2f42f68699ce7f9d08e53731c5
[f_lambert_frac_rho _pi]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B150%7D%20f_%7Blambert%7D%3D%5Cfrac%7B%5Crho%20%7D%7B%5Cpi%20%7D
[rho]: https://latex.csdn.net/eq?%5Crho
[f_cool-torrance_frac_D_vec_h_F_vec_h_vec_i_G_vec_i_vec_o_4_vec_i_cdot _vec_n_vec_o_cdot _vec_n]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B150%7D%20f_%7Bcool-torrance%7D%3D%5Cfrac%7BD%28%5Cvec%7Bh%7D%29F%28%5Cvec%7Bh%7D%2C%5Cvec%7Bi%7D%29G%28%5Cvec%7Bi%7D%2C%5Cvec%7Bo%7D%29%7D%7B4%28%5Cvec%7Bi%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7Bn%7D%29%28%5Cvec%7Bo%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7Bn%7D%29%7D
[i]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20i
[o]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20o
[vec_h]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cvec%7Bh%7D
[F]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20F
[G]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20G
[D]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cdpi%7B120%7D%20D
[D_vec_h]: https://latex.csdn.net/eq?D%28%5Cvec%7Bh%7D%29
[How Is The NDF Really Defined_ _ Nathan Reed_s coding blog]: https://www.reedbeta.com/blog/hows-the-ndf-really-defined/
[23094ca10f964f81aab69d85c434b7c2.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/23094ca10f964f81aab69d85c434b7c2.png
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