机器学习基于Adult数据集的逻辑回归与朴素贝叶斯分类

朱雀 2023-09-29 10:07 32阅读 0赞

### 一：逻辑回归分类的原理 ###

逻辑回归和线性回归最大的区别在于线性回归的输出一般是连续的，而逻辑回归的输出一般是离散的，但是输入可以是连续的。逻辑回归也使用了线性回归的函数，即h(θ)=θ.T\*X，但是线性回归的输出值的范围是负无穷到正无穷的，我们要把输出值压缩到0-1这个范围，因此引入了sigmoid函数  
![在这里插入图片描述][dbe0d3a0d4e748dea059e3244ede3559.png]

当z趋于负无穷时，g(z)趋于0，当z趋于正无穷时，g(z)趋于1，我们线性回归的输出当做逻辑回归的输入即可将输出压缩在0-1之间，即z=θ.T\*X，因此可以构造出预测函数  
![在这里插入图片描述][32d5eeaa17574f14b268df7d8f3eb5dc.png]

至此我们就可以用线性回归的知识来完成剩下的工作，同样也是构造出损失函数然后令损失函数取得极小值。令H代表上式，H的维度是(n+1)\*1,Y维度也为(n+1)\*1，损失函数可表示为  
Cost = -Y log(H) - (1 - Y)log(1-H)  
对其求θ的偏导，得到  
d(Cost)/d(θ) = X.T(H - Y)  
因此可以得到θ的更新规则：  
θ := θ - α(X.T(H - Y))  
不断迭代直至损失函数收敛即可得到θ。

### 二：朴素贝叶斯分类的原理 ###

贝叶斯公式为P(Y∣X)=P(X∣Y)P(Y)/P(X)，其原理是应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断（即先验概率）进行修正的标准方法。朴素贝叶斯是贝叶斯分类算法中的一种，与贝叶斯的不同之处在于朴素贝叶斯进行了独立性假设，假设各个特征之间相互独立不相关。应用到分类中，可以定义  
P(类别|特征)=(P(类别)P(特征|类别))/P(特征)  
也即由当前已知特征求得该样本属于什么类别的概率，最终结果是概率最大值的类别。由于分母是不变的，所以只需要比较分子即可，P(类别)可以由该类别在所有训练样本中所占的比例求得，称为先验概率；然后求条件概率P(特征|类别)，由于假设X的n个维度之间相互独立，Ck表示类别，可以得到  
![在这里插入图片描述][a8e36cb9b20741ebb667b0ff82d12961.png]

当所有特征是连续型变量时，可以假设所有特征均符合正态分布，通过样本计算出均值和方差，也就是得到正态分布的密度函数，有了密度函数，就可以把值代入，算出某一点的密度函数的值。

### 三：程序清单 ###

（一）梯度下降参数求解：

import pandas as pd
    import numpy as np
    from itertools import chain
    from matplotlib import pyplot as plt
    from sklearn.model_selection import train_test_split
    from sklearn.metrics import roc_auc_score
    
    data = pd.read_csv('./adult.csv',header=None)
    data.columns=['age', 'workclass', 'fnlwgt', 'education', 'education-num','marital-status','occupation','relationship','race','sex','capital-gain','capital-loss','hours-per-week','native-country','income']
    
    #删除冗余数据
    # data.drop(['education','fnlwgt'], axis=1, inplace=True)
    
    # 去除字符串数值前面的空格
    str_cols=[1,3,5,6,7,8,9,13,14]
    for col in str_cols:
        data.iloc[:,col]=data.iloc[:,col].map(lambda x: x.strip())
    
    # 删除缺失值样本
    data.replace("?",np.nan,inplace=True)
    data.dropna(inplace=True)
    
    # 对字符数据进行编码
    from sklearn import preprocessing
    label_encoder=[] # 放置每一列的encoder
    encoded_set = np.empty(data.shape)
    for col in range(data.shape[1]):
        encoder=None
        if data.iloc[:,col].dtype==object: # 字符型数据
            encoder=preprocessing.LabelEncoder()
            encoded_set[:,col]=encoder.fit_transform(data.iloc[:,col])
        else:  # 数值型数据
            encoded_set[:,col]=data.iloc[:,col]
        label_encoder.append(encoder)
    
    
    # 对某些列进行范围缩放
    cols=[2,10,11]
    data_scalers=[] # 专门用来放置scaler
    for col in cols:
        data_scaler=preprocessing.MinMaxScaler(feature_range=(-1,1)) 
        encoded_set[:,col]=np.ravel(data_scaler.fit_transform(encoded_set[:,col].reshape(-1,1)))
        data_scalers.append(data_scaler)
    
    # 拆分数据集为train set和test set
    dataset_X,dataset_y=encoded_set[:,:-1],encoded_set[:,-1]
    from sklearn.model_selection import train_test_split
    train_X, test_X, train_y, test_y=train_test_split(dataset_X,dataset_y,
                                                      test_size=0.3,random_state=42)
    
    #划分数据
    Y = train_y.reshape(-1,1)  # 训练集Y
    X = train_X  
    X = np.hstack([np.ones((len(X), 1)), X])  # 训练集X
    
    y = test_y.reshape(-1,1)  # 测试集y
    x = test_X
    x = np.hstack([np.ones((len(x), 1)), x])  # 测试集x
    
    
    #sigmoid函数
    def sigmoid(X,theta):
        return 1/(1+np.exp(-X.dot(theta)))
    
    
    #损失函数
    def cost(X,Y,theta):
        H = sigmoid(X,theta)
        return (1-Y).T.dot(np.log(1-H+1e-5)) - Y.T.dot((np.log(H+1e-5)))
    
    #梯度下降
    y_t = []
    def Gradient_descent(X,Y,alpha,maxIter):
        #初始化theta
        np.random.seed(42)
        theta = np.mat(np.random.randn(15,1))
        loss = cost(X,Y,theta)
        y_t.append(loss)
        #更新theta
        for i in range(maxIter):
            H = sigmoid(X,theta)
            dtheta = X.T.dot((H - Y))/len(Y)
            theta -= alpha*dtheta
            loss = cost(X,Y,theta)
            y_t.append(loss)
        return theta
    
    theta = Gradient_descent(X,Y,0.0014,10000)
    
    #查看何时收敛
    y_t = np.array(y_t)
    y_t = list(chain.from_iterable(y_t))
    plt.plot(y_t)
    plt.xlabel('iterations')
    plt.ylabel('loss_value')
    plt.show()
    
    print("梯度下降:")
    print("theta=")
    print(theta)
    
    # 计算准确率
    correct = 0
    for Xi, Yi in zip(x,y):
        pred = sigmoid(Xi,theta)
        pred = 1 if pred > 0.5 else 0
        if pred == Yi:
            correct += 1
    print("正确率:",correct/len(x))
    
    # 计算AUC
    Y_predict = 1/(1+np.exp(-x.dot(theta)))
    Y_predict = np.asarray(Y_predict)
    Y_true = np.asarray(y)
    auc = roc_auc_score(Y_true,Y_predict)
    print('AUC=',auc)

![图1 梯度下降损失函数收敛过程][1]  
![图2 梯度下降损失函数收敛过程局部图][2]  
![图3 梯度下降迭代800次结果][3 _800]  
![图4 梯度下降迭代4000次结果][4 _4000]  
![图5 梯度下降迭代10000次结果][5 _10000]  
对图1可以看到损失函数在迭代次数为800次左右时候取得了一个最小值，但是当迭代次数为800次时候，准确率仅为64%左右，AUC指标仅为0.54，这说明该分类器对正例和负例毫无区分能力，对于不论真实类别是1还是0的样本，分类器预测为1的概率是相等的。显然这种分类器是不乐观的，类似于抛硬币。因此更换迭代次数，当迭代次数为4000次左右时候，可以看到函数基本收敛，此时的准确率为76%，与迭代800次相比要好很多，而且AUC指标也达到了了0.73,。继续增加迭代次数，当迭代到10000次左右时候准确率达到了79%，而迭代次数达到11000次时候准确率又开始下降，因此最好的迭代次数为10000左右，此时的分类效果是最好的，此时的theta值为：  
![图7 梯度下降θ值][7]

（二）朴素贝叶斯求解

import math
    import numpy as np
    import pandas as pd
    from sklearn.metrics import roc_auc_score
    
    data = pd.read_csv('adult.csv',header=None)
    
    
    #去除字符串数值前面的空格
    str_cols=[1,3,5,6,7,8,9,13,14]
    for col in str_cols:
        data.iloc[:,col]=data.iloc[:,col].map(lambda x: x.strip())
    
    # 删除缺失值样本
    data.replace("?",np.nan,inplace=True)
    data.dropna(inplace=True)
    
    # 对字符数据进行编码
    from sklearn import preprocessing
    label_encoder=[] # 放置每一列的encoder
    encoded_set = np.empty(data.shape)
    for col in range(data.shape[1]):
        encoder=None
        if data.iloc[:,col].dtype==object: # 字符型数据
            encoder=preprocessing.LabelEncoder()
            encoded_set[:,col]=encoder.fit_transform(data.iloc[:,col])
        else:  # 数值型数据
            encoded_set[:,col]=data.iloc[:,col]
        label_encoder.append(encoder)
    
    # 划分训练集与测试集
    def splitData(data_list,ratio):
      train_size = int(len(data_list)*ratio)
      np.random.seed(44)
      np.random.shuffle(data_list)
      train_set = data_list[:train_size]
      test_set = data_list[train_size:]
      return train_set,test_set
    
    data_list = np.array(encoded_set).tolist()
    trainset,testset = splitData(data_list,ratio = 0.7)
    print("朴素贝叶斯求解:")
    print('Split {0} samples into {1} train and {2} test samples '.format(len(data), len(trainset), len(testset)))
    
    # 按类别划分数据
    def seprateByClass(dataset):
      seprate_dict = {
        }
      info_dict = {
        }
      for vector in dataset:
          if vector[-1] not in seprate_dict:
              seprate_dict[vector[-1]] = []
              info_dict[vector[-1]] = 0
          seprate_dict[vector[-1]].append(vector)
          info_dict[vector[-1]] +=1
      return seprate_dict,info_dict
    
    train_separated,train_info = seprateByClass(trainset) #划分好的数据
    
    # 计算每个类别的先验概率(P(yi))
    def calulateClassPriorProb(dataset,dataset_info):
      dataset_prior_prob = {
        }
      sample_sum = len(dataset)
      for class_value, sample_nums in dataset_info.items():
          dataset_prior_prob[class_value] = sample_nums/float(sample_sum)
      return dataset_prior_prob
    
    prior_prob = calulateClassPriorProb(trainset,train_info) # 每个类别的先验概率(P(yi))
    
    # 均值
    def mean(list):
      list = [float(x) for x in list] #字符串转数字
      return sum(list)/float(len(list))
    
    # 方差
    def var(list):
      list = [float(x) for x in list]
      avg = mean(list)
      var = sum([math.pow((x-avg),2) for x in list])/float(len(list)-1)
      return var
    
    # 概率密度函数
    def calculateProb(x,mean,var):
        exponent = math.exp(math.pow((x-mean),2)/(-2*var))
        p = (1/math.sqrt(2*math.pi*var))*exponent
        return p
    
    # 计算每个属性的均值和方差
    def summarizeAttribute(dataset):
        dataset = np.delete(dataset,-1,axis = 1) # delete label
        summaries = [(mean(attr),var(attr)) for attr in zip(*dataset)] #按列提取
        return summaries
    
    # 按类别提取属性特征 会得到 类别数目*属性数目 组
    def summarizeByClass(dataset):
      summarize_by_class = {
        }
      for classValue, vector in train_separated.items():
          summarize_by_class[classValue] = summarizeAttribute(vector)
      return summarize_by_class
    
    train_Summary_by_class = summarizeByClass(trainset) # 按类别提取属性特征
    
    #计算属于某类的类条件概率(P(x|yi))
    def calculateClassProb(input_data,train_Summary_by_class):
      prob = {
        }
      for class_value, summary in train_Summary_by_class.items():
          prob[class_value] = 1
          for i in range(len(summary)):
            mean,var = summary[i]
            x = input_data[i]
            p = calculateProb(x,mean,var)
            prob[class_value] *=p
      return prob
    
    
    #  朴素贝叶斯分类器
    def bayesianPredictOneSample(input_data):
      classprob_dict = calculateClassProb(input_data,train_Summary_by_class) # 计算属于某类的类条件概率(P(x|yi))
      result = {
        }
      for class_value,class_prob in classprob_dict.items():
        p = class_prob*prior_prob[class_value]
        result[class_value] = p
      return max(result,key=result.get)
    
    # 单个样本测试
    # print(testset[6][14])
    # input_vector = testset[6]
    # input_data = input_vector[:-1]
    # result = bayesianPredictOneSample(input_data)
    # print("the sameple is predicted to class: {0}.".format(result))
    
    # 计算准确率
    save = []
    def calculateAccByBeyesian(dataset):
      correct = 0
      for vector in dataset:
          input_data = vector[:-1]
          label = vector[-1]
          result = bayesianPredictOneSample(input_data)
          save.append(result)
          if result == label:
              correct+=1
      return correct/len(dataset)
    
    acc = calculateAccByBeyesian(testset)
    print("正确率：",acc)
    
    #计算AUC
    Y_predict = np.array(save)
    temp = np.array(testset)
    Y_true = np.array(temp[:,-1])
    auc = roc_auc_score(Y_true,Y_predict)
    print('AUC=',auc)

![图7 朴素贝叶斯运行结果][7 1]  
可以看到朴素贝叶斯算法相较于梯度下降其准确率提高了一点，但是其AUC指标却明显低很多，仅为0.64。理论上，朴素贝叶斯模型与其他分类方法相比具有最小的误差率。但是实际上并非总是如此，这是因为朴素贝叶斯模型假设属性之间相互独立，而实际生活中要想属性之间是相互独立的是不太实际的，就比如数据集中的工作时间和国籍，不同的国家之间的工作时间是不一样的，而且每个国家之间的收入也是不同的。

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[7 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/7ec4b389880249329974288bcb4685f1.png