计算机组成原理-第二章数据表示与运算

浅浅的花香味﹌ 2023-09-30 11:06 15阅读 0赞

#### 计算机组成原理-第二章 数据表示与运算 ####

*  一、数据的表示
 *   *  1.数值型数据的表示(重点难点)
     *   *  1.1数值型数据的表示--进位制
         *  1.2数值型数据表示-码制
         *  1.3数值型数据的表示——定点数
         *  1.4数值型数据的表示——浮点数
         *  1.5浮点数表示的IEEE 754标准
     *  2.字符型数据表示
 *  二、数据的运算方法
 *   *  1.基本概念
     *  2.定点四则运算
     *  3.溢出判断
     *  4. 舍入处理
     *  5.定点乘法运算
     *   *  1.原码一位乘法
         *  2.补码一位乘法
         *  3.原码两位乘法
         *  4.定点除法运算
     *  6.浮点四则运算
 *  三、数据的校验
 *   *  1.奇偶校验码
     *  2.海明校验码
     *  3.循环冗余校验码(CRC)

## 一、数据的表示 ##

这一部分会讲解数值型数据和字符型数据  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]

### 1.数值型数据的表示(重点难点) ###

计算机采用二进制来表示数据，但是用二进制来表示数据的话，它的位数就会很多，所以就需要八进制，十六进制等其他进制位来表示，可以简化表示。

#### 1.1数值型数据的表示–进位制 ####

**数值型表示的三个方面**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]  
**进位制**  
进位制也就是进位计数制  
对于任何一种进制—X进制，就表示每一位上的数运算时都是逢X进一位。 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进位。  
我们可以用若干位的组合表示一个数，形成一串符号序列，如：  
![x\_n−1x\_n−2⋯x\_0一个具有注脚的文本。][x_n_1x_n_2_x_0]  
比如说十进制的65，我们其实是这样算出来的：  
十进制代表它的基数是10  
它表示的大小为6×10^1 +5×10^0 =65  
**计算机中采用进位制**

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>进位制</th> 
   <th>符号</th> 
   <th>基数</th> 
   <th>可以用来表示的数符</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>二进制</td> 
   <td>B</td> 
   <td>2</td> 
   <td>0,1</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>八进制</td> 
   <td>O</td> 
   <td>8</td> 
   <td>0到7</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>十进制</td> 
   <td>D</td> 
   <td>10</td> 
   <td>0到9</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>十六进制</td> 
   <td>H</td> 
   <td>16</td> 
   <td>0到9，A到F，A表示10，F表示15</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td><img src="https://img-blog.csdnimg.cn/5f145933e67f46b5b6789b24aa031551.png?x-oss-process=image/watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16" alt="在这里插入图片描述"></td> 
   <td></td> 
   <td></td> 
   <td></td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

![在这里插入图片描述][2eb28b83030a41c891a9a95e111d3644.png]  
BCD码简单来说就是把各个位置的数字拆开，不看成一个整体，比如说10，用BCD码来表示的话，它就会分别表示1和0，就像我们在电脑上用键盘输入10的时候，是先敲出1，再敲出0，然后再把他们结合起来成为10

**各种进位制之间的转换**  
转换的首要原则  
——整数部分与小数部分分开转换  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 2]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 3]

**例题解析**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 4]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 5]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 6]

其他也是类似的，这里就不再多说，大家可以自己试试。

#### 1.2数值型数据表示-码制 ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 7]

符号的数字化:用0表示+，用1表示-，因为计算机是用二进制来存储数据的  
计算机里面是没有小数点的，我们看到的那些用小数点表示的数，只是我们为了方便看而自己写的小数点  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 8]  
移码通常用来表示浮点数的阶码，阶码是k位整数，  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 9]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 10]

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 11]  
题目:假定编译器规定 int 和 short 类型长度占 32 位和 16 位，执行下列 C 语言语句后得到 y 的机器数为（ B ）  
unsigned short x = 65530; unsigned int y = x;  
A. 0000 7FFA B. 0000 FFFA C. FFFF 7FFA D. FFFF FFFA  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 12]  
题目:由3个“1”和5个“0”组成的8位补码，能表示的最小整数是（ B）  
A. -126 B. -125 C. -32 D. -3

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 13]  
**在选择计算机的数的表示方式的时候，要考虑下面的几个因素  
①要表示的数的类型(小数，整数，实数和复数)  
②可能的数的范围  
③数值精确度  
④数据存储和处理所需要的硬件代价**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 14]

#### 1.3数值型数据的表示——定点数 ####

定点格式约束机器中所有数据的小数点位置固定不变，这个位置在计算机电路设计的时候定好了，因为已经约定好了在固定的位置，小数点就不再用记号.来表示  
小数点位置固定在哪里都可以，但是通常把数据表示成纯整数或纯小数  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 15]

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 16]

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 17]  
![在这里插入图片描述][99b898dbf343457bba4e3f4dcdc135ee.png]

#### 1.4数值型数据的表示——浮点数 ####

浮点数是指小数点的位置可以根据需要移动的数  
表示格式  
![在这里插入图片描述][d25619b4363642829daaeec3d646125b.png]  
一台机器的阶码要么是移码要么是补码，不可能两个都用。![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_8_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]  
注意：浮点数的数值部分的绝对值<1  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 18]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 19]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 20]  
注:说明一下上面那个表示的最小的数:不管多少位的补码,它能表示的数最小是-1，一位是符号位，补码是反码+1，反码绝对值最大是11111111…1,再加1就变成10000000000000…0，但是需要注意的是，浮点数的数值部分是小数，所以补码绝对值最大是1

我们一般是用定点整数表示阶码，定点小数表示尾数

#### 1.5浮点数表示的IEEE 754标准 ####

早期，各个计算机系统的浮点数使用不同的机器码来表示阶和尾数，这样就导致数据的交换和比较很麻烦，因为它们的表示不一样，所以当前计算机都用统一的IEEE 754标准中的格式来表示浮点数。  
基数2是固定常数，所以不需要显示表示它  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 21]

> ps:移码是无符号数，所以阶码阶符一起  
> 在IEEE 754标准中，阶码是用移码来表示的  
> 移码的定义:移码=真值+偏置值，偏置值是2的k次方。  
> 在IEEE 754标准中，偏置值为+127  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 22]  
> 之前说过对于浮点数来说，它的尾数如果是用原码表示，我们希望它的最高有效位是1，我们就可以隐藏表示最高位1  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 23]  
> 移码=真值+偏置值  
> 阶码真值=移码-偏置值  
> ![在这里插入图片描述][423ae82e7ff54319b7916bc63fb6d6cc.png]  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_18_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 24]

### 2.字符型数据表示 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 25]

## 二、数据的运算方法 ##

### 1.基本概念 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 26]  
![在这里插入图片描述][daec4cb23618487fbeb4b385ce6db94d.png]

### 2.定点四则运算 ###

计算机中定点加减运算都采用补码进行  
![在这里插入图片描述][10293b6c77444cb08fb875eea948b782.png]

### 3.溢出判断 ###

数据的值超过了机器数表示的范围

对于加法:只有两个符号相同的数相加，才会溢出  
对于减法：只有符号相反相减，才会溢出  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 27]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 28]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_12_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]

### 4. 舍入处理 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 29]  
注意：原码是0舍1入，补码是1舍0入

### 5.定点乘法运算 ###

> 在做乘法运算的时候，我们从小学开始，就是一位一位的相乘，然后把每一步的乘积相加就是最后的结果，但是用计算机来实现的时候，是会出现问题的

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 30]

#### 1.原码一位乘法 ####

符号单独处理，两个操作数绝对值相乘，每次把一位乘数对应的部分积和原来部分积的累加和进行相加，并右移。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 31]

#### 2.补码一位乘法 ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 32]

#### 3.原码两位乘法 ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 33]

#### 4.定点除法运算 ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 34]

### 6.浮点四则运算 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 35]

## 三、数据的校验 ##

### 1.奇偶校验码 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 36]  
校验是为了检测我们读取的信息是否正确，当信息符号某种规律的时候，我们就可以验证信息是正确的。  
码距是用来判断一个码制的冗余度，评估其差错和纠错能力。

> 冗余校验  
> 在信息写入时，增加部分代码（校验位/冗余位），将有效信息与校验位一起按约定的校验规律进行编码（校验码）存储；读出时，对读到的校验码进行校验（译码），看是否仍符合约定的校验规律  
> 校验规律选择得当，不仅能够查错，而且可以纠错  
> 比如说，根据上面的图片，第一种方案，码距为1，当信息某些位发生错误，由于码距为1，所以获得的信息也是正确的，我们就无法判断之前的信息是什么。方案2，码距为2，如果信息只有一位发生改变，那么得到的信息就不符号我们的校验规则，我们就能判断这个信息是错误的，所以码距可以用来评估纠错能力。  
> 奇校验——使完整的校验码（有效位+校验位）中“1”的个数为奇数个  
> 偶校验——使完整的校验码（有效位+校验位）中“1”的个数为偶数个  
> 奇偶校验的缺陷:如果数据中有偶数个代码位错误，那么我们是无法检测出错误的，奇偶校验只能检测出奇数位错误，没有纠错能力。校验位只能携带2种状态信息，只能反馈是对或错两种状态，而不能反馈是哪一位错误  
> 校验位的形成在数电中有学过，就是通过异或运算， 把所有有效位进行异或运算，得到的数据就是校验位。(不清楚的可以去看看数电)

### 2.海明校验码 ###

> 海明校验方法  
> 采用多重奇偶校验的思想  
> 将有效位按照一定规律组织成若干组，分组进行奇偶校验,每一个分组对应一个校验位  
> 各组校验位组成一个指示错误的字，用于检测是否出错并能纠正一位错误。  
> 这种方法除了能够反馈对错这样的状态信息，甚至还能指明是哪一个位置发生错误。  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 37]  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 38]  
> 如果异或之后，得到的数据是010，说明出错的位置是2，也就是H2，如果得到的数据是110，说明出错的位置是6，也就是H6这个位置

![在这里插入图片描述][9664534f61a44526bd3c8019ea27cbfc.png]

![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 39]

### 3.循环冗余校验码(CRC) ###

> 思想:  
> 让校验码能被某一约定的代码除尽。若能除尽，则校验码正确，否则，余数指明出错位置  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 40]  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 41]  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 42]  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 43]  
> 注:模2减也就是异或运算  
> 最后就是检错了

[watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]: https://img-blog.csdnimg.cn/032e28faf22044a1830a0f458ac41291.png?x-oss-process=image/watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16
[watermark_type_d3F5LXplbmhlaQ_shadow_50_text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/0bb4803549dc4d2da2dcdbaa6dd2b0a8.png?x-oss-process=image/watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16
[x_n_1x_n_2_x_0]: https://img-blog.csdnimg.cn/9e04e6d0a46c4f8088ed1ab56e6d576f.png?x-oss-process=image/watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETiBASmF2YeeahOWtpuS5oOS5i-i3rw==,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16
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