【Java实现】动态规划算法解决01背包问题

阳光穿透心脏的1/2处 2023-09-30 18:36 25阅读 0赞

**1、问题描述：**

一个旅行者有一个最多能装m公斤的背包，现在有n中物品，每件的重量分别是W1、W2、……、Wn，每件物品的价值分别为C1、C2、……、Cn， 需要将物品放入背包中，要怎么样放才能保证背包中物品的总价值最大？

**2、动态规划算法的概述**

1）动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2）动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3）与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

4）动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解

**3、解题思路**

利用**动态规划**来解决，每次遍历到的第i个物品，根据 w\[i\]和v\[i\]来确定是否需要将该物品放入背包中。

对于给定的n个物品，

**v\[i\]**:第i个物品的价值

**w\[i\]**:第i个物品的重量

**c**:为背包的容量

**v\[i\]\[j\]**表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。

**1）v\[i\]\[0\]=v\[0\]\[j\]=0**，表示第一行和第一列是0。

**2）当w\[i\]>j时：v\[i\]\[j\]=v\[i-1\]\[j\]** ，当准备加入新增的物品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入

**3）当j>=w\[i\]时：v\[i\]\[j\]=max\{v\[i-1\]\[j\] ,v\[i\]+v\[i-1\]\[j-w\[i\]\]\}**，当准备加入的新增的物品的容量小于等于当前背包的容量。

其中：

**v\[i-1\]\[j\]**：就是上一个单元格的装入的最大值

**v\[i\]**：表示当前物品的价值

**v\[i-1\]\[j-w\[i\]\]**：装入i-1物品，到剩余空间j-w\[i\]的最大值

![9428a487aeca77703e8775e691c2132c.png][]

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**4、完整代码及运行结果**

package com.example.demo;
    
    public class DynamicProgramming {
        public static void main(String[] args) {
            //物品的重量
            int[] c = {7, 2, 6, 3, 5};
            //物品的价值
            int[] w = {21, 18, 9, 15, 6};
            //物品的个数
            int n = w.length;
            //背包的容量
            int v = 14;
    
            knapsackDP(c, w, n, v);
    
        }
    
    
        /**
         *利用动态规划来解决:
         * 每次遍历到的第i个物品，根据 w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。
         * 对于给定的n个物品，
         * v[i]:第i个物品的价值
         * w[j]:第i个物品的重量
         * c:为背包的容量
         * v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。
         *
         * @param w   物品的重量
         * @param val 物品的价值
         * @param n   物品的个数
         * @param m   背包的容量
         * @return
         */
        public static int knapsackDP(int[] w, int[] val, int n, int m) {
            //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
            int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
            //记录放入物品的情况
            int[][] records = new int[n + 1][m + 1];
    
            //初始化第一行和第一列为0
            for (int i = 0; i < v.length; i++) {
                v[i][0] = 0;
            }
            for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {
                v[0][i] = 0;
            }
    
            for (int i = 1; i < v.length; i++) {
                for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
                    //当w[i]>j时,数组下标从1开始，所以-1
                    if (w[i - 1] > j) {
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    } else {//当j>=w[i]时,数组下标从1开始，所以-1
                        if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                            v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                            //记录
                            records[i][j] = 1;
                        } else {
                            v[i][j] = v[i - 1][j];
                        }
    
                    }
                }
            }
    
            //
            for (int i = 0; i < v.length; i++) {
                for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
                    System.out.print(v[i][j] + " ");
                }
                System.out.println();
            }
    
            System.out.println("============================");
            //行的最大下标
            int i = records.length - 1;
            //列的最大下标
            int j = records[0].length - 1;
            while (i > 0 && j > 0) { //从records的最后开始找
                if (records[i][j] == 1) {
                    System.out.printf("第%d个物品放入到背包\n", i);
                    j -= w[i - 1]; //w[i-1]
                }
                i--;
            }
            return 0;
        }
    }

程序运行结果：

![2c952e0f5aba4e43bff4e5341f3a674c.png][]

[9428a487aeca77703e8775e691c2132c.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/9428a487aeca77703e8775e691c2132c.png
[2c952e0f5aba4e43bff4e5341f3a674c.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/2c952e0f5aba4e43bff4e5341f3a674c.png