考研高数之无穷级数题型一：判断收敛性、求收敛半径以及收敛域和收敛区间（题目讲解）

今天药忘吃喽~ 2023-09-30 21:30 16阅读 0赞

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博主最近在复习考研，发现数一还是有一点点难，并且发现网上专门讲题目的文章比较少，刚好复习完一轮之后停下来总结一下自己踩过的坑和一些心得，**其中难免因为理解不到位而有些错误**，希望大家看到之后一起讨论解决，下面主要以题目的形式进行讲解

## 一、判断级数收敛发散 ##

这类题型十分基础，多在选择题中考察

1.比较原则；

2.比式判别法，（适用于含 n！ 的级数）；

3.根式判别法，（适用于含 n次方 的级数

其实根据本人这段时间的做题经验来讲一般用比较判别法的居多，因为求比和开根两个过于简单了，用比较判别法放缩还稍微复杂一些，下面是题目

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此处有一个坑就是交错级数，例如对于1/n这个级数是不收敛的，但是如果前面加一个-1的n次方变成交错级数就是收敛的了，注意交错级数收敛的条件有些许不同

## 二、求幂级数收敛半径 ##

收敛或者是不收敛，这两个概念都是相对于幂级数来说，并且只有幂级数在收敛的情况下，才会有收敛半径，这里就简单介绍一下，收敛半径怎么求，此处不要混淆，下面的题目给出了相应的结论

利用后项系数与前项系数之比，再求倒数即为收敛半径

*  当幂级数只有在某一点处才收敛的时候，此时的收敛半径为零。
 *  当幂级数的收敛域为整个定义域，或者是整个实数的时候，那么收敛半径为无穷大

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## 三、求收敛域和收敛区间 ##

收敛域和收敛区间容易混淆，下面给出区分

幂级数的收敛域与收敛区间区别只有一个：区间是否闭合。收敛区间是个开区间，而收敛域就是判断在收敛区间的端点上是否收敛。譬如说求出一个级数的收敛半径为5那么此时收敛区间为(-5，5)而下一步求收敛域就带x＝-5和x＝5，分别看是否收敛。

如果幂级数的收敛半径为r,则不管端点收敛性如何,直接结论收敛区间(-r,r)。如果进一步讨论,该级数在点-r或r处的收敛性,比如在点-r收敛,在点r不收敛,则称该幂级数的收敛域为\[-r,r)。比如在点-r,r处都收敛,则称该幂级数的收敛域为\[-r,r\]，在点-r,r处都不收敛,则该幂级数的收敛域仍为(-r,r)。

简而言之,收敛区间直接根据收敛半径而得,收敛域是讨论收敛区间两端点收敛性后的结论。收敛区间可能同于收敛域,可能是收敛域的子集

题目实战讲解如下

对于稍微复杂一点的表达式我们进行换元再代回，注意判断收敛区间端点的敛散性

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