深入学习二叉树(四) 二叉排序树

浅浅的花香味﹌ 2023-10-02 10:34 7阅读 0赞

### 深入学习二叉树(四) 二叉排序树 ###

### 1 前言 ###

数据结构中，线性表分为无序线性表和有序线性表。  
无序线性表的数据是杂乱无序的，所以在插入和删除时，没有什么必须遵守的规则，可以插入在数据尾部或者删除在数据尾部。但是在查找的时候，需要遍历整个数据表，导致无序线性表的查找效率低。  
有序线性表的数据则相反，查找数据时的时候因为数据是有序的，可以用二分法、插值法、斐波那契查找法来实现。但是，当进行插入和删除操作时，需要维护表中数据的有序性，会耗费大量的时间。  
那么，我们希望找到一种数据结构，既可以有较高的插入和删除效率，并且具备较高的查找效率，因此，二叉排序树应运而生。

### 2 二叉排序树 ###

#### 2.1 定义 ####

二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree），也称二叉搜索树。二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

> （1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值；  
> （2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；  
> （3）左、右子树也分别为二叉排序树；

#### 2.2 构造一棵二叉排序树 ####

现有序列：61 87 59 47 35 73 51 98 37 93

构造过程如下：  
1）索引 i = 0，A\[i\] = 61，结点61作为根结点，如图2.1：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAQXJjaGllX2phdmE_size_14_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]  
2）索引 i = 1，A\[1\] = 87, 87 > 61，且结点61右孩子为空，故81为61结点的右孩子，如图2.2：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAQXJjaGllX2phdmE_size_18_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]  
3）索引 i = 2，A\[i\] = 59，59 <61，且结点61左孩子为空，故59为61结点的左孩子，如图2.3：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAQXJjaGllX2phdmE_size_16_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]  
4）索引 i = 3，A\[3\] = 47，47 < 59，且结点59左孩子为空，故47为59结点的左孩子，如图2.4：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAQXJjaGllX2phdmE_size_18_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]  
5）索引 i = 4，A\[4\] = 35，35 < 47，且结点47左孩子为空，故35为47结点的左孩子，如图2.5：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAQXJjaGllX2phdmE_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]  
采用同样规则遍历整个数组得到如图2.6所示的一棵排序二叉树。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAQXJjaGllX2phdmE_size_19_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]

#### 2.3 二叉排序树查找 ####

由二叉树的递归定义性质，二叉排序树的查找同样可以使用如下递归算法查找。

> 如果树是空的，则查找结束，无匹配。  
> 如果被查找的值和根结点的值相等，查找成功。否则就在子树中继续查找。如果被查找的值小于根结点的值就选择左子树，大于根结点的值就选择右子树。

在理想情况下，每次比较过后，树会被砍掉一半，近乎折半查找。  
遍历打印可以使用中序遍历，打印出来的结果是从小到大的有序数组。  
查找代码：

typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */ 
    
    /* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
    typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */
    {
        
        int data;   /* 结点数据 */
        struct BiTNode *lchild, *rchild;    /* 左右孩子指针 */
    } BiTNode, *BiTree;
    
    
    /* 递归查找二叉排序树T中是否存在key, */
    /* 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL */
    /* 若查找成功，则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE */
    /* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */
    Status SearchBST(BiTree t, int key, BiTree f, BiTree *p) 
    {
          
        if (!t) /*  查找不成功 */
        {
         
            *p = f;  
            return FALSE; 
        }
        else if (key == t->data) /*  查找成功 */
        {
         
            *p = t;  
            return TRUE; 
        } 
        else if (key < t->data) 
            return SearchBST(t->lchild, key, t, p);  /*  在左子树中继续查找 */
        else  
            return SearchBST(t->rchild, key, t, p);  /*  在右子树中继续查找 */
    }

对于图2.6所示的二叉排序树，若查找结点key为47则可以查找成功，若查找结点key为75，树中不存在key为75的结点，故查找失败，则查找指针p指向查找路径的最后一个结点，即结点73。

#### 2.4 二叉排序树插入 ####

二叉排序的插入是建立在二叉排序的查找之上的，插入一个结点，就是通过查找发现该结点合适插入位置，把结点直接放进去。 其实在2.2节中一步步构造二叉排序树的过程中就是结点插入过程。由此可以得出二叉排序树插入规则如下：

> 若查找的key已经有在树中，则p指向该数据结点。  
> 若查找的key没有在树中，则p指向查找路径上最后一个结点。

例如：若在图2.6展示的二叉排序树中插入结点数据为60的结点。  
首先查找结点数据为60的结点，二叉排序树中不存在结点为60的结点，因此查找失败。此时查找指针p指向查找路径最后一个结点即指向59结点。由于60>59且59结点右子树为空，故将60结点作为59结点的右孩子，插入完成。插入后的二叉排序树如图2.8所示。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAQXJjaGllX2phdmE_size_18_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 2]  
插入代码：

struct BiTree {
        
        int data;
        BiTree *lchild;
        BiTree *rchild;
    };
     
    //在二叉排序树中插入查找关键字key
    BiTree* InsertBST(BiTree *t,int key)
    {
        
        if (t == NULL)
        {
        
            t = new BiTree();
            t->lchild = t->rchild = NULL;
            t->data = key;
            return t;
        }
     
        if (key < t->data) 
            t->lchild = InsertBST(t->lchild, key);
        else
            t->rchild = InsertBST(t->rchild, key);
     
        return t;
    }
     
    //n个数据在数组d中，tree为二叉排序树根
    BiTree* CreateBiTree(BiTree *tree, int d[], int n)
    {
        
        for (int i = 0; i < n; i++)
            tree = InsertBST(tree, d[i]);
    }

#### 2.5 二叉排序树删除 ####

二叉树的删除可不再像二叉树的插入那么容易了，以为删除某个结点以后，会影响到树的其它部分的结构。  
删除的时候需要考虑以下几种情况：

> 1）删除结点为叶子结点；  
> 2）删除的结点只有左子树；  
> 3）删除的结点只有右子树  
> 4）删除的结点既有左子树又有右子树。

考虑前三种情况，处理方式比较简单。  
例如：若要删除图2.8中的结点93，则直接删除该结点即可。删除后二叉排序树如图2.9所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAQXJjaGllX2phdmE_size_17_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]  
若要删除的结点为结点35，结点35只有右子树，只需删除结点35，将右子树37结点替代结点35即可。删除后的二叉排序树如图2.10所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAQXJjaGllX2phdmE_size_18_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 3]  
删除只有左子树的结点与此情况类似。

情况4相对比较复杂，对于待删除结点既有左子树又有右子树的情形，最佳办法是在剩余的序列中找到最为接近的结点来代替删除结点。这种代替并不会影响到树的整体结构。那么最为接近的结点如何获取呢？  
可以采用中序遍历的方式来得到删除结点的前驱和后继结点。选取前驱结点或者后继结点代替删除结点即可。  
例如：待删除的结点为47，图2.8中二叉排序树的中序遍历序列为35 37 47 51 59 60 61 73 87 93 98。则结点47的前驱结点为37，则直接将37结点替代47结点即可。替换后的二叉排序树如图2.11所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAQXJjaGllX2phdmE_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]  
删除代码：

/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点, */
    /* 并返回TRUE；否则返回FALSE。 */
    Status DeleteBST(BiTree *T,int key)
    {
         
        if(!*T) /* 不存在关键字等于key的数据元素 */ 
            return FALSE;
        else
        {
        
            if (key==(*T)->data) /* 找到关键字等于key的数据元素 */ 
                return Delete(T);
            else if (key<(*T)->data)
                return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);
            else
                return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);
    
        }
    }
    /* 从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树。 */
    Status Delete(BiTree *p)
    {
        
        BiTree q,s;
        if((*p)->rchild==NULL) /* 右子树空则只需重接它的左子树（待删结点是叶子也走此分支) */
        {
        
            q=*p; *p=(*p)->lchild; free(q);
        }
        else if((*p)->lchild==NULL) /* 只需重接它的右子树 */
        {
        
            q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q);
        }
        else /* 左右子树均不空 */
        {
        
            q=*p; s=(*p)->lchild;
            while(s->rchild) /* 转左，然后向右到尽头（找待删结点的前驱） */
            {
        
                q=s;
                s=s->rchild;
            }
            (*p)->data=s->data; /*  s指向被删结点的直接前驱（将被删结点前驱的值取代被删结点的值） */
            if(q!=*p)
                q->rchild=s->lchild; /*  重接q的右子树 */ 
            else
                q->lchild=s->lchild; /*  重接q的左子树 */
            free(s);
        }
        return TRUE;
    }

### 3 结语 ###

二叉排序树是一种查找与插入效率均较为高效的数据结构，同时，二叉排序树也是二叉树学习中的重点与难点。希望通过本篇的学习能够掌握二叉排序树的查找、插入与删除等基本操作，也希望读者给出指导意见。

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