算法效率的度量方法

深碍√TFBOYSˉ_ 2023-10-03 17:57 12阅读 0赞

**算法效率的度量方法:**  
算法采用的策略、方案  
编译产生的代码质量  
问题的输入规模  
机器执行指令的速度  
由此可见，抛开计算机硬件，一个程序的运行时间依赖于算法的好坏和输入规模。

int i,sum=0,n=100;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
            
        sum=sum+i;
    }
    printf("%d",sum);

int i,sum=0,n=100;
    sum=(i+n)*n/2;
    printf("%d",sum);

例如1-100之间求和，两种算法其实就是n和1的差距。  
我们研究算法的复杂度，侧重的是研究算法随着输入规模扩大增长量的一个抽象，而不是精确的定位需要执行多少次。  
我们不关心语言、环境等，只关心它所实现的算法。  
我们在分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量和输入模式关联起来

做一个测试：两个算法的输入规模都是n，A需要执行2n+3次，b需要执行3n+1次，那哪一个更快些呢？

可以看出，n=1时，A算法不如B算法，随着n的增长，A算法开始反超，总体来讲算法A比B更优秀

**算法时间复杂度**  
算法时间复杂度的定义：  
（1）时间频度: 一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。  
（2）时间复杂度: 在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法  
显然，利用时间复杂度，可以算出我们的两个求和算法的时间复杂度分别为O(1),O(n)。

推导方法：

用常数1取代运行中的所有加法函数  
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项  
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数  
得到的最后结果就是O的阶数  
常数阶：  
这里举一个例子

int sum=0,n=100;
    printf("Hello World!");
    printf("Hello World!");
    printf("Hello World!");
    printf("Hello World!");
    printf("Hello World!");
    printf("Hello World!");
    printf("Hello World!");
    printf("Hello World!");
    sum = (1+n)*n/2;

这里的时间复杂度并不是O(8),而是O(1)，因为printf的次数并不随着时间规模的增大而增大。

**线性阶**  
一般含有非嵌套循环涉及线性阶，随着n的增大，对应计算次数呈直线增长。例如

int i,sum=0,n=100;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
            
        sum=sum+i;
    }

时间复杂度为O(n)。

**平方阶**  
对于嵌套的循环，例如：

int i,j,n=100;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
            for(j=0;j<n;j++)
        {
        
            printf("Hello，World");
        }
    }

时间复杂度为O(n)。

**对数阶**  
我们看下这个程序:

int i=1,n=100;
    while(i<n)
    {
        
        i=i*2;
    }
    }

每次循环，i\*2，离n更近一步，假设有x个2相乘后大于等于n，就会退出循环  
于是由2^x=n得到x=Log2n，所以这个程序的时间复杂的为O(logn)。

n++;   
    function(n);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        
        function(n);
    }
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        
        for(j=i;j<n;j++)
        {
        
            printf("%d\n",j);
        }
    }

上述代码的时间复杂度为O(n^2)；

常见的时间复杂度

例子        	时间复杂度    		类型
    5201314    	  	  O(1)    			常数阶
    3n+4    	      O(n)   			线性阶
    3n^2+4n+5         O(n^2)            平方阶
    3log2n+4          O(logn)   		对数阶
    2n+3nlog2n+14     O(nlogn)          nlogn阶
    n^3 +2n^2+4n+6    O(n^3)    		立方阶
    2^n    			  O(2^n)    		指数阶

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)< O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(n^n)

所以说，算法分析中，我们查找一个有n个随机数数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么时间复杂度就是O(1)，但也有可能在这最后一个位置，就是O(n)。  
平均运行时间是期望的运行时间  
最坏运行时间是一种保证。在应用中，这是一种最重要的需求，通常除非特别指定，我们提到的运行时间都是指最坏情况的运行时间

**算法的空间复杂度**  
首先我们要明白，我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间。  
举个例子，判断某一年是否为闰年，我们可以实现要给算法，每给一个年份，都会通过算法计算得到是否是闰年的结果。  
另一种算法就是，建立一个数组，将所有年份按下标的数字对应，如果是闰年，则此数组元素对应的值为1，否则为0.  
对比两个算法，第一种算法很明显节约空间，但是每一次查询都需要进行运算，而第二种算法，虽然在内存中存了几千个数组，但是每次查询只需要一次索引即可。  
这就是典型的空间换时间。

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式为：  
S(n)=O(f(n)),其中，n为问题的规模，F(n)为语句关于n所存储空间的函数。  
通常，我们都是用"时间复杂度"来指运行时间的需求，是用"空间复杂的"值空间需求。  
当直接要求我们求“复杂度”时，通常是指时间复杂度。  
显然，对时间复杂度的追求更属于算法的潮流。