一、基础算法5：前缀和与差分模板题+算法模板（前缀和，子矩阵的和，差分，差分矩阵）

左手的ㄟ右手 2023-10-08 23:25 10阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  算法模板
 *   *  前缀和模板
     *  子矩阵的和模板
     *  差分模板
     *  差分矩阵模板
 *  模板题
 *   *  前缀和
     *   *  原题链接
         *  题目
         *  题解
     *  子矩阵的和
     *   *  原题链接
         *  题目
         *  题解
     *  差分
     *   *  原题链接
         *  题目
         *  题解
     *  差分矩阵
     *   *  原题链接
         *  题目
         *  题解

## 算法模板 ##

### 前缀和模板 ###

![在这里插入图片描述][43887ac81eb04ba086ebb2f27549f676.png]

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
    a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

### 子矩阵的和模板 ###

![在这里插入图片描述][26e407c06cd64e36add2cbbbbb134995.png]  
![在这里插入图片描述][9f9bc553e6684d4db4f283ed8dd2eac1.png]

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
    以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
    S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

### 差分模板 ###

![在这里插入图片描述][95c18396f5894913949043e21839e591.png]  
![在这里插入图片描述][89ad83f4257540c6a507b70525d93b59.png]

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

### 差分矩阵模板 ###

![在这里插入图片描述][781b75bd629341bbb7ddc5975eacd590.png]

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
    S[x1, y1] += c, 
    S[x2 + 1, y1] -= c, 
    S[x1, y2 + 1] -= c, 
    S[x2 + 1, y2 + 1] += c

## 模板题 ##

### 前缀和 ###

#### 原题链接 ####

[https://www.acwing.com/problem/content/797/][https_www.acwing.com_problem_content_797]

#### 题目 ####

795 . 前缀和  
输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式  
第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式  
共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围  
1≤l≤r≤n,  
1≤n,m≤100000,  
−1000≤数列中元素的值≤1000  
输入样例：

5 3
    2 1 3 6 4
    1 2
    1 3
    2 4

输出样例：

3
    6
    10

#### 题解 ####

#include <iostream>
    using namespace std;
    
    const int N = 1e5 +10;
    
    int a[N],s[N];
    
    int n,m;
    int main(){
        
    	scanf("%d%d",&n,&m);
    	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    	
    	for(int i=1;i<=n;i++) s[i] = s[i-1] + a[i];
    	
    	while(m--){
        
    		int l,r;
    		scanf("%d%d",&l,&r);
    		printf("%d\n",s[r] - s[l-1]);
    		
    	}
    	return 0;
    }

### 子矩阵的和 ###

#### 原题链接 ####

[https://www.acwing.com/problem/content/798/][https_www.acwing.com_problem_content_798]

#### 题目 ####

796 . 子矩阵的和  
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式  
第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式  
共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围  
1≤n,m≤1000,  
1≤q≤200000,  
1≤x1≤x2≤n,  
1≤y1≤y2≤m,  
−1000≤矩阵内元素的值≤1000  
输入样例：

3 4 3
    1 7 2 4
    3 6 2 8
    2 1 2 3
    1 1 2 2
    2 1 3 4
    1 3 3 4

输出样例：

17
    27
    21

#### 题解 ####

#include <iostream>
    using namespace std;
    const int N = 1010;
    int n,m,q;
    
    int a[N][N],s[N][N];
    int main(){
        
    	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    	for(int i=1;i<=n;i++){
        
    		for(int j=1;j<=m;j++){
        
    			scanf("%d",&a[i][j]);
    		}
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++){
        
    		for(int j=1;j<=m;j++){
        
    			s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] +a[i][j];
    		}
    	}
    	while(q--){
        
    		int x1,y1,x2,y2;
    		scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
    		printf("%d\n",s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1]);
    	}
    	return 0;
    }

### 差分 ###

#### 原题链接 ####

[https://www.acwing.com/problem/content/799/][https_www.acwing.com_problem_content_799]

#### 题目 ####

797 . 差分

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 \[l,r\] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式  
第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式  
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围  
1≤n,m≤100000,  
1≤l≤r≤n,  
−1000≤c≤1000,  
−1000≤整数序列中元素的值≤1000  
输入样例：

6 3
    1 2 2 1 2 1
    1 3 1
    3 5 1
    1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

#### 题解 ####

![在这里插入图片描述][48bb1acf436747ed8bcc69fb0f715027.png]  
![在这里插入图片描述][1d679c60b86d480b9e5b6dc45f3b4dee.png]

#include <iostream>
    using namespace std;
    const int N = 1e5 + 10;
    
    int n,m;
    int a[N],b[N];
    
    void insert(int l,int r,int c){
        
    	b[l]+=c;
    	b[r+1]-=c;
    }
    int main(){
        
    	scanf("%d%d",&n,&m);
    	
    	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    	
    	for(int i=1;i<=n;i++) insert(i,i,a[i]);
    	
    	while(m--){
        
    		int l,r,c;
    		scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
    		insert(l,r,c);
    		
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++) b[i]+=b[i-1]; //差分数组-->前缀和数组
    	
    	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",b[i]);
    	
    	return 0; 
    }

### 差分矩阵 ###

#### 原题链接 ####

[https://www.acwing.com/problem/content/800/][https_www.acwing.com_problem_content_800]

#### 题目 ####

798 . 差分矩阵  
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式  
第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式  
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围  
1≤n,m≤1000,  
1≤q≤100000,  
1≤x1≤x2≤n,  
1≤y1≤y2≤m,  
−1000≤c≤1000,  
−1000≤矩阵内元素的值≤1000  
输入样例：

3 4 3
    1 2 2 1
    3 2 2 1
    1 1 1 1
    1 1 2 2 1
    1 3 2 3 2
    3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
    4 3 4 1
    2 2 2 2

#### 题解 ####

#include <iostream>
    using namespace std;
    const int N = 1010;
    
    int n,m,q;
    int a[N][N],b[N][N];
    
    void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
        
    	b[x1][y1]+=c;
    	b[x1][y2+1]-=c;
    	b[x2+1][y1]-=c;
    	b[x2+1][y2+1]+=c;
    }
    int main(){
        
    	cin>>n>>m>>q;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
        
    		for(int j=1;j<=m;j++){
        
    			scanf("%d",&a[i][j]);
    		}
    	}
    	
    	for(int i=1;i<=n;i++){
        
    		for(int j=1;j<=m;j++){
        
    			insert(i,j,i,j,a[i][j]);
    		}
    	}
    	
    	while(q--){
        
    		int x1,y1,x2,y2,c;
    		cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
    		insert(x1,y1,x2,y2,c);
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++){
        
    		for(int j=1;j<=m;j++){
        
    			b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];
    		} 
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++){
        
    		for(int j=1;j<=m;j++){
        
    			printf("%d ",b[i][j]);
    			
    		}
    		puts(""); //相当于输出换行符 
    	}
    	return 0;
    	
    }

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[https_www.acwing.com_problem_content_797]: https://www.acwing.com/problem/content/797/
[https_www.acwing.com_problem_content_798]: https://www.acwing.com/problem/content/798/
[https_www.acwing.com_problem_content_799]: https://www.acwing.com/problem/content/799/
[48bb1acf436747ed8bcc69fb0f715027.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/48bb1acf436747ed8bcc69fb0f715027.png
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[https_www.acwing.com_problem_content_800]: https://www.acwing.com/problem/content/800/