uoj33 【UR #2】树上GCD

冷不防 2023-10-11 05:22 65阅读 0赞

[题目][Link 1]

大致是长剖+\\(\\rm dsu\\ on\\ tree\\)的思想

先做一个转化，改为对于\\(i\\in\[1,n-1\]\\)求出有多少个\\(f(u,v)\\)满足\\(i|f(u,v)\\)，这样我们最后再做一个反演就好了

既然我们要求有多少对\\(f(u,v)\\)是\\(i\\)或\\(i\\)的倍数，我们需要在长剖的时候快速合并两边的信息，这个信息长得非常别致，形如到当前节点距离为\\(i\\)或\\(i\\)的倍数的节点个数

轻儿子这边还好说，我们直接暴力调和级数处理一下即可，但是这样的信息从中儿子哪里却非常不好继承

考虑一下根号分治

如果这个\\(i>\\sqrt\{n\}\\)，也就是直接暴力从重儿子那里暴力复杂度是\\(\\frac\{n\}\{i\}<\\sqrt\{n\}\\)，这样我们自然可以直接利用长剖时维护的数组得到

但是\\(i\\leq \\sqrt\{n\}\\)时，考虑维护一个数组可以快速得到这样的信息，但是这样的数组从重儿子那里没办法继承，看起来长剖好像行不太通

这个时候就需要用\\(\\rm dsu\\)的思想了

考虑维护一个\\(g\[i\]\[j\]\\)表示一个点子树内部点深度对\\(i\\)取模余数为\\(j\\)的点的个数，这样我们就没有必要考虑如何继承，像重儿子那样不清空直接拿来用就好了

利用这个数组我们很方便查询子树内部到当前节点距离为\\(i\\)或\\(i\\)的倍数的点的个数，只需要利用当前点的深度搞一搞就可以了

我们暴力轻儿子的时候也可以直接把更新\\(g\\)，更新一次复杂度是\\(O(\\sqrt\{n\})\\)的

但一般来说，长剖都是先重儿子再轻儿子，但是\\(\\rm dsu\\)却是先轻儿子再重儿子，这里为了保证\\(g\\)里维护的信息都来自于子树内部，我们必须得像\\(\\rm dsu\\)一样先轻儿子之后处理重儿子

代码

#include<bits/stdc++.h>
    #define re register
    #define LL long long
    #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
    inline int read() {
        char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
        while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
    }
    const int maxn=2e5+5;
    struct E{int v,nxt;}e[maxn];
    int n,num,__,B;
    int head[maxn],son[maxn],len[maxn],dep[maxn],f[maxn],mu[maxn],p[maxn>>1];
    int h[maxn],top[maxn],dfn[maxn],g[320][320],b[maxn],c[maxn];
    LL ans[maxn],Ans[maxn];
    inline void add(int x,int y) {
        e[++num].v=y;e[num].nxt=head[x];head[x]=num;
    }
    void dfs1(int x) {
        for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
            dep[e[i].v]=dep[x]+1;dfs1(e[i].v);
            if(len[e[i].v]>len[son[x]]) son[x]=e[i].v;
        }
        len[x]=len[son[x]]+1;
    }
    void dfs2(int x,int topf) {
        top[x]=topf,dfn[x]=++__;
        if(!son[x]) return;
        dfs2(son[x],topf);
        for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) 
        if(son[x]!=e[i].v) dfs2(e[i].v,e[i].v);
    }
    inline void ins(int x,int v) {
        for(re int i=1;i<=B;++i) g[i][x%i]+=v;
    }
    inline int calc(int x,int k) {
        if(k<=B) return g[k][dep[x]%k];
        int tot=0;
        for(re int i=dfn[x]+k;i<=dfn[x]+len[x]-1;i+=k) tot+=h[i];
        return tot;
    }
    void dfs(int x) {
        for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) 
        if(son[x]!=e[i].v) dfs(e[i].v);
        if(son[x]) dfs(son[x]);
        for(re int i=head[x];i;i=e[i].nxt) {
            if(son[x]==e[i].v) continue;
            int y=e[i].v;
            for(re int j=1;j<=len[y];++j)
                b[j]=h[dfn[y]+j-1];
            for(re int j=1;j<=len[y];++j)
                for(re int k=j;k<=len[y];k+=j) c[j]+=b[k];
            for(re int j=1;j<=len[y];++j)
                ans[j]+=1ll*c[j]*calc(x,j);
            for(re int j=1;j<=len[y];++j) c[j]=b[j]=0;
            for(re int j=1;j<=len[y];++j)
                ins(j+dep[y]-1,h[dfn[y]+j-1]),h[dfn[x]+j]+=h[dfn[y]+j-1];
        }
        ins(dep[x],1);h[dfn[x]]++;
        if(x==top[x]) {
            for(re int i=1;i<=B;++i)
                for(re int j=dep[x];j<=dep[x]+len[x]-1;++j)
                    g[i][j%i]=0;
        }
    }
    int main() {
        n=read();
        for(re int x,i=2;i<=n;++i) x=read(),add(x,i);
        dep[1]=1,dfs1(1),dfs2(1,1);f[1]=mu[1]=1;
        B=std::ceil(std::sqrt(n));B=min(B,310);dfs(1);
        for(re int i=2;i<=n;i++) {
            if(!f[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
            for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=n;++j) {
                f[p[j]*i]=1;if(i%p[j]==0) break;
                mu[p[j]*i]=-mu[i];
            }
        }
        for(re int i=1;i<=n;i++)
            for(re int j=i;j<=n;j+=i)
                Ans[i]+=1ll*mu[j/i]*ans[j];
        for(re int i=2;i<=n;++i) 
            c[1]++,c[dep[i]]--;
        for(re int i=1;i<=n;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(re int i=1;i<n;i++) printf("%lld\n",Ans[i]+c[i]);
        return 0;
    }

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