图搜索算法详解 - DFS、BFS、Bellman-Ford、Dijkstra

- 日理万妓 2023-10-13 15:12 60阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  图搜索算法
 *  图的类型
 *  广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）
 *   *  BFS和DFS基础知识
     *  应用场景
     *  实现
     *   *  深度优先搜索（DFS）：
         *  广度优先搜索（ BFS ）：
 *  迪杰斯特拉算法（Dijkstra）和贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法
 *   *  应用场景
     *  实现
     *   *  Dijkstra算法：
         *  Bellman-Ford算法：
 *  性能分析和优化

## 图搜索算法 ##

图搜索算法是许多应用程序的基础，例如社交网络分析、路径规划、数据挖掘和推荐系统。在本文中，我们将深入探讨图搜索算法的世界，探索它们的定义、重要性和实际应用。

图搜索算法是一种用于遍历图的技术，图是由**关系**连接的**节点集合**。在社交网络、网页或生物网络等各个领域，图论提供了一种强大的建模复杂互连关系的方式。

图搜索算法的重要性在于它们能够高效地探索和导航这些复杂网络。通过遍历图，这些算法可以 发现最短路径，并识别出群集。

图搜索算法的主要优势之一是它们适应广泛的应用。无论你是开发社交媒体平台、设计物流系统还是构建推荐引擎，通过理解图搜索算法的基础知识并学会如何有效利用它们，可以快速解决复杂的问题。

## 图的类型 ##

图是一种多功能的数据结构，可以表示对象之间的各种关系。了解不同类型的图对于有效应用图搜索算法至关重要。

*  **有向图**（**Directed graphs**），由通过有向关系连接的节点组成。在有向关系中，从一个节点（源节点）到另一个节点（目标节点）有一个特定的方向。有向图用于模拟具有方向感的关系，例如带有超链接的网页、任务之间的依赖关系或社交媒体的关注关系。
 *  **无向图**（**Undirected graph**）是一种没有指定方向的图。无向图通常用于表示双向关系，例如社交网络中的友谊关系或网页之间的连接。
 *  **加权图**（**Weighted graphs**）将数值（称为权重）分配给关系，以表示节点之间的强度、距离或成本。这些权重可以影响图搜索算法的行为，从而允许更具体的优化或找到最短或最便宜的路径。加权图在网络路由、资源分配或在各个领域中寻找最优解等领域中有应用。
 *  **二分图**（**Bipartite graph**）是一种节点可以分为两个不相交集合的图，所有关系连接来自不同集合的节点。二分图通常用于模拟两种不同类型实体之间的关系，例如用户和产品、学生和课程、员工和技能。它们在推荐系统或匹配问题等应用中特别有用。
 *  **循环图**（**Cyclic graphs**）至少包含一个循环，即从同一节点开始并结束的路径。
 *  **非循环图**（**Acyclic graphs**）不包含任何循环，如其名称所示。循环图可以表示具有重复或循环关系的场景，而非循环图通常用于拓扑排序或建模分层结构等任务。

![types of graphs][]

了解不同类型的图为开发人员选择适合其特定问题的合适图表示提供了基础。每种类型都有其自身的特点和应用，选择正确的图结构可以显著影响图搜索算法的效率和准确性。

## 广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS） ##

在图搜索算法领域中，有两种基本搜索非常重要：广度优先搜索（**BFS**）和深度优先搜索（**DFS**）。以不同方式遍历和探索。**BFS**侧重于通过在向下移动之前系统地访问所有相邻节点来探索图的广度，而**DFS**则深入探索图的深度，在回溯之前彻底探索一个分支。

### BFS和DFS基础知识 ###

深度优先搜索是一种通过尽可能远地沿着每个分支遍历图的算法，在回溯之前。**DFS**的关键工作原理是访问一个节点，然后递归地探索其未访问的邻居，直到该分支中没有更多未访问的节点为止。这种深度优先的探索策略可以使用堆栈或递归来实现。通过利用堆栈，**DFS**确保最近发现的节点首先被访问，深入探索图。

广度优先搜索或**BFS**算法通过在移动到下一级之前访问给定级别的所有相邻节点，系统地探索图。

![bfs][]

**BFS**的核心工作原理是使用队列来维护逐级的探索顺序。最初，算法从源节点开始，将其邻居入队，然后继续这个过程，直到所有节点都被访问。广度优先遍历策略确保节点按照它们与源节点的距离的增加顺序进行访问，从而可以在无权图中找到最短路径。

**DFS**和**BFS**都会维护已访问节点的记录，以防止重复访问同一节点。这种已访问节点的管理对于确保算法正确终止并避免在循环图中出现无限循环非常重要。通常，使用布尔数组或哈希集来跟踪已访问的节点，在图的遍历过程中遇到它们时将其标记为已访问。

在时间和空间复杂度方面，这两种算法的时间复杂度都是O(V + E)，其中V表示图中的顶点（节点）数，E表示图中的边（关系）数。这两种算法的空间复杂度都是O(V)，因为**DFS**需要一个堆栈来跟踪节点，而**BFS**需要一个队列来在遍历过程中存储节点。

### 应用场景 ###

**DFS**和**BFS**是强大的图搜索算法，在各个领域中都有广泛的应用。

*  **BFS**经常在网络爬虫中使用，它有助于从给定的源页面开始系统地探索和索引网页。通过利用**BFS**，网络爬虫可以在向下一级移动之前访问相邻页面，确保全面覆盖一个网站或一组相互连接的网站。基于**BFS**的爬虫能够高效地索引网页，使用户能够快速找到相关信息。
 *  **BFS**在路径规划算法中起着至关重要的作用，特别是在无权图或地图中。它有助于找到两个位置之间的最短路径，确保遍历先探索相邻位置，然后扩展搜索到更远的区域。通过利用**BFS**，路径规划应用可以提供最佳的驾驶、步行或公共交通方向。
 *  **DFS**和**BFS**是推荐引擎中有价值的工具，有助于为用户发现相关内容或物品。**DFS**可以用于基于共享特征找到相似的用户或物品，促进协同过滤方法。**BFS**可以探索用户-物品交互图，推荐与用户偏好高度相关或相关的物品。
 *  在社交网络中，**DFS**可以用于识别连接组件，找到相互连接的个体群体。**BFS**对于确定两个个体之间的最短路径很有用，展示网络中最有效的连接。这些算法还有助于社交网络分析，例如识别有影响力的个体或检测社群和群集。

上述应用仅仅是**DFS**和**BFS**提供的广泛可能性的一小部分。这些算法是多功能工具，可以适应各种领域和问题空间，使开发人员能够高效地解决复杂的挑战。

### 实现 ###

首先，要理解**DFS**和**BFS**遍历顺序的影响，并选择适合特定用例的顺序。

对于**DFS**，决定是以前序、中序还是后序的方式探索图。

*  在前序**DFS**中，节点在遍历其子节点之前被处理（访问或打印）。遍历从根节点开始，然后递归地以前序方式探索左子树和右子树。前序策略通常用于基于树的遍历。
 *  在中序**DFS**中，节点在遍历其左子树和右子树之间被处理。换句话说，首先探索左子树，然后处理当前节点，然后探索右子树。中序**DFS**主要用于二叉树遍历，并且对于二叉搜索树以按升序访问节点尤为重要。
 *  在后序**DFS**中，节点在遍历其子节点之后被处理。

遍历从根节点开始，然后递归地以后序方式探索左子树和右子树，最后处理当前节点。后序**DFS**通常用于需要在处理父节点之前处理子节点的基于树的算法。

前序通常用于构建树的副本或编码树结构。中序适用于诸如在二叉搜索树中对元素进行排序的任务。后序对于在解析树中计算表达式等任务非常有价值。

![binary tree][]

对于**BFS**，确保遍历按照队列指定的顺序探索节点，保持逐层探索。

如果图中包含循环，请考虑加入循环检测机制或中断条件，以避免遍历过程中的无限循环。为了确保不会不必要地重新访问先前访问过的节点，在**DFS**中实现回溯机制。

要了解**DFS**和**BFS**的时间和空间复杂度，以评估它们在不同图大小和结构下的效率和性能。

#### 深度优先搜索（DFS）： ####

function **DFS**(graph, start):
    
        stack.push(start)
    
        visited[start] = true
    
    
        while stack is not empty:
    
            current = stack.pop()
    
            process(current)
    
    
            for each neighbor in graph.adjacentNodes(current):
    
                if neighbor is not visited:
    
                    stack.push(neighbor)
    
                    visited[neighbor] = true

#### 广度优先搜索（ BFS ）： ####

function **BFS**(graph, start):
    
        queue.enqueue(start)
    
        visited[start] = true
    
    
        while queue is not empty:
    
            current = queue.dequeue()
    
            process(current)
    
    
            for each neighbor in graph.adjacentNodes(current):
    
                if neighbor is not visited:
    
                    queue.enqueue(neighbor)
    
                    visited[neighbor] = true

除了基本的图搜索算法DFS和BFS之外，高级图搜索算法提供了对更复杂问题的强大解决方案。**迪杰斯特拉算法**和**贝尔曼-福特算法**是两种这样的算法，在找到加权图中的最短路径方面起着至关重要的作用。

## 迪杰斯特拉算法（Dijkstra）和贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法 ##

迪杰斯特拉算法是一种广泛应用的算法，用于在加权图中查找源节点与所有其他节点之间的最短路径。它适用于具有非负关系权重的图，并且特别适用于路线规划、网络路由或在交通网络中找到最优路径的场景。

迪杰斯特拉算法采用贪婪方法，迭代地选择具有最小临时距离的节点，并更新其相邻节点的距离，直到所有节点都被访问过。它使用优先队列或最小堆来高效提取具有最小距离的节点。使用图的邻接矩阵表示时，它的时间复杂度为O(V^2)。使用图的邻接表表示，时间复杂度可以降低到O((V+E)logV)，其中E是图中的边（关系）数，V是图中的顶点（节点）数。

![dijkstra][]

贝尔曼-福特是另一种重要的用于在可能包含负关系权重的图中找到最短路径的算法。与假设非负权重的迪杰斯特拉算法不同，贝尔曼-福特算法可以处理具有负权重的图，只要没有负循环即可。它通常用于网络路由、距离矢量路由协议或检测图中负循环的场景。贝尔曼-福特算法重复遍历图中的所有关系，根据松弛原则更新节点的距离。它维护一个数组来跟踪节点的距离，并遍历所有关系|V|-1次以确保收敛。贝尔曼-福特算法的时间复杂度是O(VE)，其中V表示顶点数，E表示图中的关系数。

![bellman ford][]

### 应用场景 ###

迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法在解决与路线规划、网络优化、资源分配和其他各种领域相关的现实问题方面表现出色。

*  这两种算法在路线规划应用中被广泛使用，用于在交通网络（如道路、铁路或航线）中找到地点之间的最短路径。这些算法使导航系统能够计算驾驶员、公共交通和物流规划的最优路径。
 *  在计算机网络中，这些图搜索算法在确定路由数据包或建立网络连接的最高效路径方面起着至关重要的作用。它们帮助优化数据流，减少延迟，提高网络性能。迪杰斯特拉算法通常用于链路状态路由协议（如OSPF），而贝尔曼-福特算法则用于距离矢量路由协议（如RIP）。
 *  迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法在资源分配问题中也有应用，例如在云计算中分配资源、调度任务或优化供应链。这些算法有助于确定分配资源和优化资源利用的最具成本效益或时间效率的路径。贝尔曼-福特算法在涉及负关系权重（无负循环）的场景中尤为有用，其中涉及资源成本或约束。
 *  这些算法还有助于管理关键基础设施和设施，如电网、电信网络或供水系统，可以为维护人员确定最佳路径，检测故障或中断，并优化资源分配以实现高效运行。
 *  它们还可以通过确定运输货物的最高效路径、最小化成本和提高客户满意度来优化供应链和物流操作，如库存管理、订单处理或交付路线优化。

上述应用只是迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法提供的多样化可能性的一瞥。两者都是多功能的，可以适应各种需要在图中进行优化和高效路径查找的问题领域。

### 实现 ###

在实现图搜索算法（如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法）时，务必根据算法的要求正确处理关系权重。

在使用Dijkstra算法时，确保关系权重为非负数。对于Bellman-Ford算法，确保图中不包含任何负循环以保持正确的行为。

在开始算法之前，适当地初始化数据结构和变量。对于Dijkstra算法，将初始距离设置为无穷大，并对Bellman-Ford算法中的源节点的距离进行初始化为0。根据需要初始化其他辅助数据结构，如优先队列或数组。

了解每个算法中的松弛步骤，并正确实现它。在遍历过程中，每当找到更短的路径时，更新距离和其他相关信息。

为算法实现适当的终止条件，以确保它们正确终止。对于Dijkstra算法，当到达目标节点或所有可达节点都已访问时终止。对于Bellman-Ford算法，在无法进行进一步更新时终止，表示距离已收敛。

考虑以下伪代码示例来实现Dijkstra和Bellman-Ford算法。伪代码假设存在适当的数据结构，如Dijkstra算法的priorityQueue和存储必要信息的数组distances和visited。

#### Dijkstra算法： ####

function dijkstra(graph, start):
    
        distances[start] = 0
    
        priorityQueue.enqueue(start, 0)
    
    
        while priorityQueue is not empty:
    
            current = priorityQueue.dequeue()
    
            visited[current] = true
    
    
            for each neighbor in graph.adjacentNodes(current):
    
                if not visited[neighbor]:
    
                    distance = distances[current] + graph.edgeWeight(current, neighbor)
    
                    if distance < distances[neighbor]:
    
                        distances[neighbor] = distance
    
                        priorityQueue.enqueue(neighbor, distance)

#### Bellman-Ford算法： ####

function bellmanFord(graph, start):
    
        distances[start] = 0
    
    
        for i = 1 to |V| - 1:
    
            for each edge in graph.edges:
    
                source = edge.source
    
                destination = edge.destination
    
                weight = edge.weight
    
    
                if distances[source] + weight < distances[destination]:
    
                    distances[destination] = distances[source] + weight
    
    
        for each edge in graph.edges:
    
            source = edge.source
    
            destination = edge.destination
    
            weight = edge.weight
    
    
            if distances[source] + weight < distances[destination]:
    
                // 检测到负循环
    
                // 根据负循环的存在进行处理

## 性能分析和优化 ##

在处理现实世界中的问题时，高效的性能对于使用图搜索算法至关重要。图中节点和关系的数量增加以及图的密度增加都会影响算法的性能。

可以通过结合领域特定的知识或规则来提高效率，从而启发性地引导搜索过程走向更有前景的路径，并优先考虑节点或边，从而提高效率。另一种方法是通过剪枝，即根据某些标准消除分支或子树的进一步探索。剪枝技术，例如在游戏场景中的alpha-beta剪枝，会丢弃被认为不相关的搜索空间的部分，从而显著减少算法的运行时间。另一种技术是记忆化，它涉及存储先前计算的结果以避免冗余计算。在图搜索算法中，记忆化可以缓存中间结果，例如计算的距离或路径，以避免重新计算，特别是在存在重叠子问题时。

BFS和DFS可以通过应用剪枝技术来跳过遍历过程中的不必要的关系或路径，从而提高性能。此外，使用适当的数据结构来维护已访问节点和跟踪遍历顺序可以提高效率。

Dijkstra算法的性能可以通过利用高效的数据结构，如优先队列或堆，更快地检索具有最小距离的节点来进行优化。还可以结合启发式方法，优先考虑可能产生较短路径的节点进行探索

。如果在迭代过程中没有进行任何更新，表示距离已经收敛，Bellman-Ford算法可以通过提前终止来提高性能。这可以节省不必要的迭代，提高运行时间。

总结

[types of graphs]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/062f324df378096d4b555c08ff8a9b99.png
[bfs]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/062e2c75b4cd6b0c2813e7a10a10fef6.gif
[binary tree]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/4aa07642cf25d691c6933f2aa412a49c.png
[dijkstra]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/6fb126b9c486619a95d1e96e1b9cc624.gif
[bellman ford]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/79a0af7e8fc0143aaac0c89902e64903.gif