【算法挨揍日记】day41——【模板】01背包、416. 分割等和子集

淡淡的烟草味﹌ 2024-02-05 15:49 13阅读 0赞

[【模板】01背包\_牛客题霸\_牛客网你有一个背包，最多能容纳的体积是V。 现在有n个物品，第i个物品的体积为 ,。题目来自【牛客题霸】![icon-default.png?t=N7T8][icon-default.png_t_N7T8]https://www.nowcoder.com/practice/fd55637d3f24484e96dad9e992d3f62e?tpId=230&tqId=2032484&ru=/exam/oj&qru=/ta/dynamic-programming/question-ranking&sourceUrl=%2Fexam%2Foj%3Fpage%3D1%26tab%3D%25E7%25AE%2597%25E6%25B3%2595%25E7%25AF%2587%26topicId%3D196\#:~:text=%E4%BD%A0%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E8%83%8C%E5%8C%85,%E6%A8%A1%E6%9D%BF%E3%80%9101%E8%83%8C%E5%8C%85][01_V_ _n_i_ _icon-default.png_t_N7T8_icon-default.png_t_N7T8_https_www.nowcoder.com_practice_fd55637d3f24484e96dad9e992d3f62e_tpId_230_tqId_2032484_ru_exam_oj_qru_ta_dynamic-programming_question-ranking_sourceUrl_2Fexam_2Foj_3Fpage_3D1_26tab_3D_25E7_25AE_2597_25E6_25B3_2595_25E7_25AF_2587_26topicId_3D196_text_E4_BD_A0_E6_9C_89_E4_B8_80_E4_B8_AA_E8_83_8C_E5_8C_85_E6_A8_A1_E6_9D_BF_E3_80_9101_E8_83_8C_E5_8C_85][【模板】01背包\_牛客题霸\_牛客网][01_V_ _n_i_ _icon-default.png_t_N7T8_icon-default.png_t_N7T8_https_www.nowcoder.com_practice_fd55637d3f24484e96dad9e992d3f62e_tpId_230_tqId_2032484_ru_exam_oj_qru_ta_dynamic-programming_question-ranking_sourceUrl_2Fexam_2Foj_3Fpage_3D1_26tab_3D_25E7_25AE_2597_25E6_25B3_2595_25E7_25AF_2587_26topicId_3D196_text_E4_BD_A0_E6_9C_89_E4_B8_80_E4_B8_AA_E8_83_8C_E5_8C_85_E6_A8_A1_E6_9D_BF_E3_80_9101_E8_83_8C_E5_8C_85]

### 题目描述： ###

### 描述 ###

你有一个背包，最多能容纳的体积是V。

现在有n个物品，第i个物品的体积为��vi ,价值为��wi。

（1）求这个背包至多能装多大价值的物品？

（2）若背包**恰好装满**，求至多能装多大价值的物品？

#### 输入描述： ####

第一行两个整数n和V，表示物品个数和背包体积。

接下来n行，每行两个数��vi和��wi，表示第i个物品的体积和价值。

1≤�,�,��,��≤10001≤n,V,vi,wi≤1000

#### 输出描述： ####

输出有两行，第一行输出第一问的答案，第二行输出第二问的答案，如果无解请输出0。

### 解题思路： ###

算法思路：

背包问题的状态表⽰⾮常经典，如果⼤家不知道怎么来的，就把它当成⼀个「模板」记住吧~

我们先解决第⼀问：

1.  状态表⽰：

dp\[i\]\[j\]  表⽰：从前  i  个物品中挑选，总体积「不超过」  j  ，所有的选法中，能挑选出来

的最⼤价值。

2.  状态转移⽅程：

线性  dp  状态转移⽅程分析⽅式，⼀般都是根据「最后⼀步」的状况，来分情况讨论：

i.  不选第  i  个物品：相当于就是去前  i - 1  个物品中挑选，并且总体积不超过  j  。此

时  dp\[i\]\[j\] = dp\[i - 1\]\[j\]  ；

ii.  选择第  i  个物品：那么我就只能去前  i - 1  个物品中，挑选总体积不超过  j - v\[i\]

的物品。此时  dp\[i\]\[j\] = dp\[i - 1\]\[j - v\[i\]\] + w\[i\]  。但是这种状态不⼀

定存在，因此需要特判⼀下。

综上，状态转移⽅程为：  dp\[i\]\[j\] = max(dp\[i - 1\]\[j\], dp\[i - 1\]\[j - v\[i\]\] +

w\[i\])  。

3.  初始化：

我们多加⼀⾏，⽅便我们的初始化，此时仅需将第⼀⾏初始化为  0  即可。因为什么也不选，也能

满⾜体积不⼩于  j  的情况，此时的价值为  0  。

4.  填表顺序：

根据「状态转移⽅程」，我们仅需「从上往下」填表即可。

5.  返回值：

根据「状态表⽰」，返回  dp\[n\]\[V\]  。

接下来解决第⼆问：

第⼆问仅需微调⼀下  dp  过程的五步即可。

因为有可能凑不⻬  j  体积的物品，因此我们把不合法的状态设置为  \-1  。

1.  状态表⽰：

dp\[i\]\[j\]  表⽰：从前  i  个物品中挑选，总体积「正好」等于  j  ，所有的选法中，能挑选出

来的最⼤价值。

2.  状态转移⽅程：

dp\[i\]\[j\] = max(dp\[i - 1\]\[j\], dp\[i - 1\]\[j - v\[i\]\] + w\[i\])  。

但是在使⽤  dp\[i - 1\]\[j - v\[i\]\]  的时候，不仅要判断  j >= v\[i\]  ，⼜要判断  dp\[i

\- 1\]\[j - v\[i\]\]  表⽰的情况是否存在，也就是  dp\[i - 1\]\[j - v\[i\]\] != -1  。

3.  初始化：

我们多加⼀⾏，⽅便我们的初始化：

i.  第⼀个格⼦为  0  ，因为正好能凑⻬体积为  0  的背包；

ii.  但是第⼀⾏后⾯的格⼦都是  \-1  ，因为没有物品，⽆法满⾜体积⼤于  0  的情况。

4.  填表顺序：

根据「状态转移⽅程」，我们仅需「从上往下」填表即可。

5.  返回值：

由于最后可能凑不成体积为  V  的情况，因此返回之前需要「特判」⼀下。

（别急着⾛开，后⾯还有优化）

### 解题代码： ###

#include<iostream>
    #include<vector>
    using namespace std;
    int n,V;
    const int N=1010;
    vector<int>v(N);
    vector<int>w(N);
    vector<vector<int>>dp1(N,vector<int>(N,0));
    vector<vector<int>>dp2(N,vector<int>(N,0));
    
    int main()
    {
        cin>>n>>V;
       
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
        
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=V;j++)
            {
                dp1[i][j]=dp1[i-1][j];
                if(j-v[i]>=0)   dp1[i][j]=max(dp1[i][j],dp1[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
        cout<<dp1[n][V]<<endl;
    
        for(int i=1;i<=V;i++)dp2[0][i]=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=V;j++)
            {
                dp2[i][j]=dp2[i-1][j];
                if(j-v[i]>=0&&dp2[i-1][j-v[i]]!=-1)  dp2[i][j]=max(dp2[i][j],w[i]+dp2[i-1][j-v[i]]);
            }
        }
        cout<<(dp2[n][V]==-1?0:dp2[n][V])<<endl;
        return 0;
    }

优化后：

#include<iostream>
    #include<vector>
    #include<string.h>
    using namespace std;
    int n,V;
    const int N=1010;
    vector<int>v(N);
    vector<int>w(N);
    int dp[N];
    
    int main()
    {
        cin>>n>>V;
       
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=V;j>=1;j--)
            {
                dp[j]=dp[j];            
                if(j-v[i]>=0)   dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
        
        cout<<dp[V]<<endl;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=V;i++)dp[i]=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=V;j>=1;j--)
            {
                dp[j]=dp[j];            
                if(j-v[i]>=0&&dp[j-v[i]]!=-1)   dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
        cout<<(dp[V]==-1?0:dp[V])<<endl;
        return 0;
    }

## 416. 分割等和子集 ##

[416. 分割等和子集][416.]

### 题目描述: ###

给你一个 **只包含正整数** 的 **非空** 数组 `nums` 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

### 解题思路： ###

算法思路：

先将问题转化成我们「熟悉」的题型。

如果数组能够被分成两个相同元素之和相同的⼦集，那么原数组必须有下⾯⼏个性质：

i.  所有元素之和应该是⼀个偶数；

ii.  数组中最⼤的元素应该⼩于所有元素总和的⼀半；

iii.  挑选⼀些数，这些数的总和应该等于数组总和的⼀半。

根据前两个性质，我们可以提前判断数组能够被划分。根据最后⼀个性质，我们发现问题就转化成

了「01 背包」的模型：

i.  数组中的元素只能选择⼀次；

ii.  每个元素⾯临被选择或者不被选择的处境；

iii.  选出来的元素总和要等于所有元素总和的⼀半。

其中，数组内的元素就是物品，总和就是背包。

那么我们就可以⽤背包模型的分析⽅式，来处理这道题。

请⼤家注意，「不要背」状态转移⽅程，因为题型变化之后，状态转移⽅程就会跟着变化。我们要

记住的是分析问题的模式。⽤这种分析问题的模式来解决问题。

1.  状态表⽰：

dp\[i\]\[j\]  表⽰在前  i  个元素中选择，所有的选法中，能否凑成总和为  j  这个数。

2.  状态转移⽅程：

⽼规矩，根据「最后⼀个位置」的元素，结合题⽬的要求，分情况讨论：

i.  不选择  nums\[i\]  ：那么我们是否能够凑成总和为  j  ，就要看在前  i - 1  个元素中

选，能否凑成总和为  j  。根据状态表⽰，此时  dp\[i\]\[j\] = dp\[i - 1\]\[j\]  ；

ii.  选择  nums\[i\]  ：这种情况下是有前提条件的，此时的  nums\[i\]  应该是⼩于等于  j  。

因为如果这个元素都⽐要凑成的总和⼤，选择它就没有意义呀。那么我们是否能够凑成总和

为  j  ，就要看在前  i - 1  个元素中选，能否凑成总和为  j - nums\[i\]  。根据状态表

⽰，此时  dp\[i\]\[j\] = dp\[i - 1\]\[j - nums\[i\]\]  。

综上所述，两种情况下只要有⼀种能够凑成总和为  j  ，那么这个状态就是  true  。因此，状态转

移⽅程为：

dp\[i\]\[j\] = dp\[i - 1\]\[j\]

if(nums\[i - 1\] <= j) dp\[i\]\[j\] = dp\[i\]\[j\] || dp\[i - 1\]\[j -

nums\[i\]\]

3.  初始化：

由于需要⽤到上⼀⾏的数据，因此我们可以先把第⼀⾏初始化。

第⼀⾏表⽰不选择任何元素，要凑成⽬标和  j  。只有当⽬标和为  0  的时候才能做到，因此第⼀

⾏仅需初始化第⼀个元素  dp\[0\]\[0\] = true

4.  填表顺序：

根据「状态转移⽅程」，我们需要「从上往下」填写每⼀⾏，每⼀⾏的顺序是「⽆所谓的」。

5.  返回值：

根据「状态表⽰」，返回  dp\[n\]\[aim\]  的值。

其中  n  表⽰数组的⼤⼩，  aim  表⽰要凑的⽬标和。

6.  空间优化：

所有的「背包问题」，都可以进⾏空间上的优化。

对于 01背包类型的，我们的优化策略是：

i.  删掉第⼀维；

ii.  修改第⼆层循环的遍历顺序即可。

### 解题代码： ###

class Solution {
    public:
        bool canPartition(vector<int>& nums) {
            int n=nums.size();
            int sum=0;
            for(int i=0;i<n;i++)sum+=nums[i];
            if(sum%2==1)return false;
            int target=sum/2;
            vector<vector<bool>>dp(n+1,vector<bool>(target+1,false));
            for(int i=0;i<=n;i++)dp[i][0]=true;
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                for(int j=1;j<=target;j++)
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                    if(j-nums[i-1]>=0)
                        dp[i][j]=dp[i][j]||dp[i-1][j-nums[i-1]];
                }
            }
            return dp[n][target];
        }
    };

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[416.]: https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum/