【算法小课堂】深入理解前缀和算法

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2024-02-21 12:04 72阅读 0赞

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*  前缀和是指某序列的前n项和，可以把它理解为数学上的数列的前n项和，而差分可以看成前缀和的逆运算。合理的使用前缀和与差分，可以将某些复杂的问题简单化。

**我们通过一个例子来理解前缀和算法的优势：**

### 一维前缀和： ###

www.nowcoder.com

我们可以通过暴力的解法去解决这个问题，但是这样时间复杂度会比较高，达到O（n\*q）

我们可以对暴力解法进行优化：

我们以【1,4,7,2,5,8,3,6,9】这个数组来讲解前缀和（快速求出数组中某个连续区间的元素和）这个算法

index为数组下标，至于为什么下标从一开始后面会讲！！！

![img][]

我们提前弄一个前缀和数组dp，这个数组的元素dp【i】代表【1，i】区间内所有元素之和

![img][img 1]

我们在求dp的时候肯定不可以用暴力解法，不然的话时间复杂度又上去了，

dp【i】代表 【1，i】区间内所有元素之和，那dp【i-1】代表 【1，i-1】区间内所有元素之和

*  dp【i】就可以等于dp【i-1】+arr【i】

那我们再来看看题目，题目要求我们输出从l到r区间内所有元素之和

那我们可以直接输出dp【r】-dp【l-1】

#include <iostream>
    #include<vector>
    using namespace std;
    int main() {
        int n,q;
        cin>>n>>q;
        vector<int> arr(n+1);
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>arr[i];
        vector<long long> dp(n+1);
        for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=dp[i-1]+arr[i];
        while(q--)
        {
            int l,r;
            cin>>l>>r;
            cout<<dp[r]-dp[l-1]<<endl;
        }
        return 0;
    }
    // 64 位输出请用 printf("%lld")

### 二位前缀和： ###

首先如果我们使用暴力解法时间复杂度，直接就是O(n*m*q），我们可以对其使用前缀和算法优化

我们可以创建一个（n+1）*（m+1）的的数组arr和（n+1）*（m+1）的的前缀和数组dp

*  这里数组坐标加一也是为了防止越界的情况

dp【i】【j】代表从（1,1）~（i，j）这个区间内所有元素之和

我们如何快速求出dp【i】【j】的值呢？以下面这个数组为例，假设我们要求的是dp【3】【3】

![img][img 2]

我们先来观察一个通用图：我们要求多少A+B+C+D之和

![img][img 3]

A+B+C+D=（A+B）+（A+C）+D-A，括号内的是一个整体

我们可以结合下标的关系推导进一步的关系

![img][img 4]

A+B+C+D=（A+B）+（A+C）+D-A

=dp【i-1】【j】+dp【i】【j-1】+arr【i】【j】-dp【i-1】【j-1】

这样我们就求出来了dp的每一个数了，回到题目上，题目要求我们输出（x1,y1)~(x2,y2)这个区间内的所有元素之和，假设让我们输出是是这个区间

![img][img 5]编辑

*  D=（A+B+C+D）-（A+B）-（A+C）+A

![img][img 6]编辑

D=（A+B+C+D）-（A+B）-（A+C）+A

= dp【x2】【y2】-dp【x1-1】【y2】-dp【x2】【y1-1】+dp【x1-1】【y1-1】

为了防止越界，我们开辟数组也要多开一行一列

![img][img 7]

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