C++树详解

我会带着你远行 2024-02-26 03:03 22阅读 0赞

### 树 ###

##### 树的定义 #####

树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：①有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；②当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T 1 \{T\}\_\{1\}T 1 、T 2 \{T\}\_\{2\}T 2 、… 、T m \{T\}\_\{m\}T m ，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（Sub Tree）。

##### 树的基本术语 #####

*  节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
 *  叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
 *  非终端节点或分支节点：度不为0的节点；
 *  双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
 *  孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
 *  兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
 *  树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
 *  节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
 *  树的高度或深度：树中节点的最大层次；
 *  堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
 *  节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
 *  子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
 *  森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

##### 二叉树 #####

二叉树是[数据结构][Link 1]中一种重要的数据结构，也是树表家族最为基础的结构。

二叉树的定义：二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

##### ⼆叉树的种类 #####

⼆叉树有两种[主要的][Link 2]形式：`满⼆叉树`和`完全⼆叉树`。

###### [满二叉树][Link 3] ######

在一棵二叉树中，如果所有的分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树成为满二叉树。  
![在这里插入图片描述][b2552660ee8a4c42bd2b569ee832062e.png]

###### 完全二叉树 ######

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i（1 ≤ i ≤ n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树

![在这里插入图片描述][8b3c04e22a7e4612ae4753ec9fb89567.png]

##### 二叉树的性质 #####

二叉树的第 i 层至多有2 i − 1 \{2\}^\{i-1\}2 i−1 个结点； 深度为 k 的二叉树至多有2 k \{2\}^\{k\}2 k -1个结点； 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点的个数（也就是叶子节点数）为n 0 \{n\}\_\{0\}n 0 ，度为2的结点个数为n 2 \{n\}\_\{2\}n 2 ，则n 0 \{n\}\_\{0\}n 0 =n 2 \{n\}\_\{2\}n 2 +1。（大话数据结构P143）

##### 二叉树的遍历方法 #####

二叉树的遍历方式主要可以分为四种：**前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。**

###### 前序遍历 ######

简单记为中左右，也就是说先访问根节点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。

![在这里插入图片描述][b278bf5882b849c893828b899ff2c42d.png]  
遍历的顺序为ABDGHCEIF

###### 中序遍历 ######

简单记为左中右，也就是说先访问二叉树最左边的结点，然后再访问中间的结点，最后再访问右边的结点。·

![在这里插入图片描述][b278bf5882b849c893828b899ff2c42d.png]  
遍历的顺序为GDHBAEICF

###### 后序遍历 ######

简单记为左右中，也就是说先访问二叉树最左边的结点，然后再访问右边的结点，最后再访问中间的结点。·

![在这里插入图片描述][b278bf5882b849c893828b899ff2c42d.png]  
遍历的顺序为GHDBIEFCA

###### 层序遍历 ######

从根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中·，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

![在这里插入图片描述][b278bf5882b849c893828b899ff2c42d.png]  
遍历的顺序为ABCDEFGHI

> 前序遍历、中序遍历和后序遍历就是中的位置不一样，前序遍历就是中左右，中序遍历就是左中右，后序遍历就是左右中。  
>   
>   
> 前中后序遍历都是深度搜索，层序遍历是广度搜索。

##### 二叉树的实现 #####

###### ⼆叉树的定义 ######

struct TreeNode {
        
     	int val;
     	TreeNode *left;
     	TreeNode *right;
     	TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {
        }

###### 使用前序遍历创建二叉树 ######

void CreatTreeNode(TreeNode*&T){
        
        char c;
        cin >> c;
        if(c=='*'){
        
            T = NULL;
            return;
        }
        else{
             
            T = new TreeNode;
            T->val = c;
            CreatTreeNode(T->left);
            CreatTreeNode(T->right);
        }
    }

###### 前序遍历 ######

class Solution {
        
    public:
     	void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
        
     		if (cur == NULL) return;
     	vec.push_back(cur->val); // 中
     	traversal(cur->left, vec); // 左
     	traversal(cur->right, vec); // 右
     }
     	vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
        
     		vector<int> result;
     		traversal(root, result);
     		return result;
     }

###### 中序遍历 ######

void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
        
     	if (cur == NULL) return;
     	traversal(cur->left, vec); // 左
     	vec.push_back(cur->val); // 中
     	traversal(cur->right, vec); // 右
    }

###### 后序遍历 ######

void traversal(TreeNode* cur, vector<int>& vec) {
        
     	if (cur == NULL) return;
     	traversal(cur->left, vec); // 左
     	traversal(cur->right, vec); // 右
     	vec.push_back(cur->val); // 中
    }

[Link 1]: https://so.csdn.net/so/search?q=%E6%95%B0%E6%8D%AE%E7%BB%93%E6%9E%84&spm=1001.2101.3001.7020
[Link 2]: https://so.csdn.net/so/search?q=%E4%B8%BB%E8%A6%81%E7%9A%84&spm=1001.2101.3001.7020
[Link 3]: https://so.csdn.net/so/search?q=%E6%BB%A1%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91&spm=1001.2101.3001.7020
[b2552660ee8a4c42bd2b569ee832062e.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/26/7891b44c85054f77876249dbd2207637.png
[8b3c04e22a7e4612ae4753ec9fb89567.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/26/9e8a545c716944b1adeb77de9421101b.png
[b278bf5882b849c893828b899ff2c42d.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/26/bce75a1163644bc999ba7bbd905f8a8a.png