Brilliant Math

青旅半醒 2024-03-02 08:09 7阅读 0赞

我们确实在追踪某些东西。奇数之和与平方数有关吗？看起来是这样，但这也可能是一个奇怪的巧合。

为了确保，让我们思考一下构成平方数的要素。

点击进度条Bar，看它们是如何增长的。

每次方块的大小增加，都会在旧方块上添加一个新的层。

每个新层中的方块数量是奇数还是偶数？这些层是上面方块的绿色、绿色、蓝色、蓝色和紫色部分。

奇数 没错！

它总是奇数。你能理解为什么吗？

为了制作更大的方块，我们首先需要在顶部和侧面添加相同数量的方块。综合起来，这使得新方块的数量是偶数，因为可以平均分成两半。

最后，我们再添加一个角块，这使得新层的总和是奇数。

1-10之间自然数的平方，列表推导式如下：

n = 10
    #平方数
    nseq = [i**2 for i in range(n)]
    
    print(nseq)
    [0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81]

上面的输出比较奇数求和可见：

#奇数求和
    prev,ans = [],[]
    for i in range(n):
        prev.append(i*2 + 1)
        ans.append(sum(prev))
        
    print(prev)
    print(ans)
    
    [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19]
    [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100]

编程实现了两种思路求平方数。验证了10以内的满足假设。

数学的求证则要证明任意自然数 n 都满足假设：

n \*\* 2 = 1 + 3 + ... + 2\*n-1

本文的开始就用无字证明或图证明了上述假设成立。

最后，我们看高斯法也很快能证明上述假设：

首尾两端相加，发现都等于： 1 + 2*n-1 = 2*n，剩下就只需算出共有多少对相加等于 2\*n ？ 问题转换为 n 以内有多少个奇数？

显然 n 是偶数时，奇数的个数是 n / 2; 那么，n / 2 个奇数的和是：

(n / 2) \* 2 \* n = n \*\* 2 (证明假设成立)

n 是奇数时，奇数的个数是 (n - 1)/2 + 1

(n - 1)/2 \* (2 \* n) + n = n \* (n-1) + n = n\*\*2

证明完毕！

您喜欢哪种证明方式，或者你有更有趣的方法证明之，请回复我们。

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