理解前缀和与差分：高效计算数组前缀和与差分技巧

怼烎@ 2024-03-16 09:59 59阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*   *  一、什么是前缀和与差分呢？
     *  二、计算前缀和的方法
     *  三、动态规划求前缀和
     *   *   *   *  1、一维前缀和
                 *  2、二维前缀和
     *  四、应用场景
     *   *  例题1 一维前缀和
         *  代码：
         *  例题2 二维前缀和
         *  代码：
     *  五、差分
     *   *   *   *  1、什么是差分？
                 *   *  一维差分
                     *  二维差分
                 *  2、例题
                 *   *  代码：
     *  六、结论

> 介绍： 在计算机科学和算法中，前缀和（PrefixSum）是一种常见而强大的技巧。它能够高效地计算数组或序列中某个位置之前的所有元素的总和。本文将介绍前缀和的概念、计算方法和应用场景，帮助读者理解并掌握这一重要的计算技巧。

### 一、什么是前缀和与差分呢？ ###

前缀和是指数组或序列中每个位置之前的元素总和。给定一个长度为n的数组A，前缀和P的第i个元素表示A中前i个元素的总和。通常，P\[0\]设置为0，表示前0个元素的总和为0。通过计算前缀和，我们可以快速获得任意位置之前的元素总和。  
而差分可以看成前缀和的逆运算。  
合理的使用前缀和与差分，可以将某些复杂的问题简单化。

### 二、计算前缀和的方法 ###

有多种方法可以计算前缀和，其中最简单直观的方法是使用循环遍历数组，累加每个元素到前一个元素的和中。然而，这种方法的时间复杂度为O(n)，并不是最优解。下面介绍一种更高效的方法。

### 三、动态规划求前缀和 ###

###### 1、一维前缀和 ######

使用动态规划的思想，我们可以利用一个辅助数组来存储前缀和。假设我们有一个长度为n的数组A和一个长度为n+1的辅助数组P。以下是计算一维前缀和的步骤：

> 模板：  
> 1、初始化P\[0\] = 0。  
> 2、对于i从1到n，计算P\[i\] = P\[i-1\] + A\[i-1\]。

通过以上步骤，我们可以在一次遍历中计算出所有前缀和，而时间复杂度为O(n)。这种方法非常高效，特别适用于需要频繁计算前缀和的场景。

以下是一个示例代码，实现对一维数组的前缀和计算：

#include<iostream>
    
    using namespace std;
    
    int n , sum[1<<20];//1右移20位大致等于 1,048,576
    
    int main()
    {
        
    	cin >> n;
    
    	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    	{
        
    		cin >> arr[i];//读入数组 
    
    		sum[i] = sim[i-1] + a[i];//进行操作 
    	}
    
    	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    	{
        
    		cout<<sum[i];//输出前缀和 
    	}
    
    	return 0;
    }

###### 2、二维前缀和 ######

在已经掌握一维前缀和的基础上，我们接下来可以思考在二维的平面上的问题了。在一维前缀和的问题中，我们讨论的是某一个区间内的元素之和，那如果放在一个二维平面，我们要的就是某个矩阵的和。

> 模板：  
> 1、 s\[i\]\[j\] = s\[i - 1\]\[j\] + s\[i\]\[j - 1\] - s\[i - 1\]\[j - 1\] + a\[i\]\[j\];  
> 2、s\[x2\]\[y2\] - s\[x1 - 1\]\[y2\] - s\[x2\]\[y1 - 1\] + s\[x1 - 1\]\[y1 - 1\])

图解：  
![在这里插入图片描述][f92c258b69274346b944db343a789ade.png]

如果要算绿色矩形的面积，就需要用 整体的面积 减去 黑加蓝色 和 黑加橙色的面积，这样的话黑色的面积就会被剪掉两次，再加上一个黑色的面积解释绿色的面积

以下是一个示例代码，实现对二维数组的前缀和计算：

#include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    int n, m, q;
    const int N = 1010;
    int s[N][N], a[N][N];
    
    int main () {
        
        cin >> n >> m >> q;
        
        for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        
            for(int j = 1; j <= m; j ++) {
        
                cin >> a[i][j];
                s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
            }
        }
        
        while (q -- ) {
        
            int x1, x2, y1, y2;
            cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;    
            cout << s[x2][y2] -  s[x1 - 1][y2] -  s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
        }
        return 0;
    }

### 四、应用场景 ###

前缀和在许多算法和数据结构问题中都有广泛应用。以下是一些常见的应用场景：

1、子数组和的计算：通过前缀和，可以快速计算任意子数组的和，从而解决一系列相关问题，如最大子数组和、最小子数组和等。

2、区间和的查询：如果需要频繁查询某个区间的和，可以利用前缀和提前计算出所有区间的和，并存储在辅助数组中，以实现快速查询。

3、数组元素更新：当数组中的元素需要频繁更新时，通过前缀和可以减少更新的时间复杂度，提高算法效率。

#### 例题1 一维前缀和 ####

原题链接：[https://www.acwing.com/problem/content/797/][https_www.acwing.com_problem_content_797]

> 题面： 输入一个长度为 n的整数序列。 接下来再输入 m个询问，每个询问输入一对 l,r。 对于每个询问，输出原序列中从第 l个数到第  
> r个数的和。
> 
> 输入格式 第一行包含两个整数 n和 m。 第二行包含 n个整数，表示整数数列。 接下来 m行，每行包含两个整数 l 和  
> r，表示一个询问的区间范围。
> 
> 输出格式 共 m行，每行输出一个询问的结果。
> 
> 数据范围 1≤l≤r≤n, 1≤n,m≤100000, −1000≤数列中元素的值≤1000
> 
> 输入样例：
> 
> 5 3 2 1 3 6 4 1 2 1 3 2 4
> 
> 输出样例：
> 
> 3 6 10

#### 代码： ####

#include<bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 100050;
    
    int n,l,r,m;
    int a[N],b[N];
    
    int main()
    {
        
    	cin>>n>>m;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
        
    		cin>>a[i];
    		b[i] = b[i-1] + a[i];
    	}
    	while(m--)
    	{
        
    		cin>>l>>r;
    		cout<<b[r] - b[l - 1]<<endl; 
    	}
    	return 0;
    }

#### 例题2 二维前缀和 ####

原题链接：[https://www.acwing.com/problem/content/798/][https_www.acwing.com_problem_content_798]

> 输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2  
> ，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
> 
> 对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。  
> **输入格式**
> 
> 第一行包含三个整数 n，m，q
> 
> 接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
> 
> 接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。  
> **输出格式**
> 
> 共 q 行，每行输出一个询问的结果。  
> **数据范围**
> 
> 1≤n,m≤1000 , 1≤q≤200000, 1≤x1≤x2≤n, 1≤y1≤y2≤m, −1000≤矩阵内元素的值≤1000
> 
> **输入样例：**
> 
> 3 4 3  
> 1 7 2 4  
> 3 6 2 8  
> 2 1 2 3  
> 1 1 2 2  
> 2 1 3 4  
> 1 3 3 4
> 
> **输出样例：**
> 
> 17 27 21

#### 代码： ####

#include <iostream>
    using namespace std;
    const int N = 1010;
    int n,m,q;
    int a[N][N],sum[N][N];
    int get (int x1,int y1,int x2,int y2) {
        
        return sum[x2][y2] - sum[x1 - 1][y2] - sum[x2][y1 - 1] + sum[x1 - 1][y1 - 1];//结合图来理解
    }
    int main () {
        
        cin >> n >> m >> q;
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
        
            for (int j = 1;j <= m;j++) {
        
                cin >> a[i][j];
                sum[i][j] = sum[i][j - 1] + sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];//结合图来理解
            }
        }
        while (q--) {
        
            int x1,y1,x2,y2;
            cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
            cout << get (x1,y1,x2,y2) << endl;
        }
        return 0;
    }

### 五、差分 ###

###### 1、什么是差分？ ######

差分就是将数列中的每一项分别与前一项数做差。

###### 一维差分 ######

创建一数组b，使得数组a为数组b的前缀和，数组b为数组a的差分

> 构造方法：b\[i\] = a\[i\] - a\[i - 1\]

此处使用了一个虚拟的构造方式(在数组一个位置加上一个数，那么在它的下一个位置减去这一数)

应用：对于a数组的任意区间\[l, r\]，令其加上一个数，而不改变其它值

b\[l\] += c, b\[r + 1\] -= c

差分操作和前缀和一样数组下标都从1开始。

###### 二维差分 ######

理解二维前缀和的思路来去理解二维差分（图见上上上边）

> 构造方法：b\[i\]\[j\] += c, b\[i + 1\]\[j\] -= c, b\[i\]\[j + 1\] -= c, b\[i + 1\]\[j + 1\]+= c

###### 2、例题 ######

原题链接：[https://www.acwing.com/problem/content/description/800/][https_www.acwing.com_problem_content_description_800]

> 题面：输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
> 
> 每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
> 
> 请你将进行完所有操作后的矩阵输出。  
> **输入格式**
> 
> 第一行包含整数 n,m,q 。
> 
> 接下来 n 行，每行包含 m个整数，表示整数矩阵。
> 
> 接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。  
> **输出格式**
> 
> 共 n 行，每行 m个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。  
> **数据范围**
> 
> 1≤n,m≤1000 ,  
> 1≤q≤100000,  
> 1≤x1≤x2≤n,  
> 1≤y1≤y2≤m,  
> −1000≤c≤1000,  
> −1000≤矩阵内元素的值≤1000
> 
> **输入样例：**
> 
> 3 4 3  
> 1 2 2 1  
> 3 2 2 1  
> 1 1 1 1  
> 1 1 2 2 1  
> 1 3 2 3 2  
> 3 1 3 4 1
> 
> **输出样例：**
> 
> 2 3 4 1  
> 4 3 4 1  
> 2 2 2 2

###### 代码： ######

#include <iostream>
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 1010;
    
    int n, m, q;
    int a[N][N], s[N][N];
    
    int main()
    {
        
        cin >> n >> m >> q;
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                scanf("%d", &s[i][j]);
    
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                a[i][j] = s[i][j] - s[i - 1][j] - s[i][j - 1] + s[i - 1][j - 1];
    
        while (q -- )
        {
        
            int x1, y1, x2, y2, c;
            scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
            a[x1][y1] += c;
            a[x1][y2 + 1] -= c;
            a[x2 + 1][y1] -= c;
            a[x2 + 1][y2 + 1] += c;
        }
    
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                s[i][j] = a[i][j] + s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
    
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        {
        
            for (int j = 1; j <= m; j ++ ) printf("%d ", s[i][j]);
            cout << endl;
        }
    
        return 0;
    }

### 六、结论 ###

前缀和是一种强大而实用的计算技巧，能够高效地计算数组或序列中某个位置之前的所有元素的总和。通过掌握前缀和与差分的概念、计算方法和应用场景，我们可以在算法和数据处理中发挥其优势，提高代码的效率和性能。

希望本文能帮助读者更好地理解和应用前缀和与差分，为解决实际问题提供有力的工具和思路。

如果有错误请欢迎指正~~，感谢！！！

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[https_www.acwing.com_problem_content_797]: https://www.acwing.com/problem/content/797/
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[https_www.acwing.com_problem_content_description_800]: https://www.acwing.com/problem/content/description/800/