全加器Si，Ci表达式的理解

爱被打了一巴掌 2024-03-17 22:20 12阅读 0赞

#### 全加器进位Si，Ci表达式的理解 ####

第i位上的和：SI=Ai⊕Bi⊕Ci-1  
第I位上的进位：CI=AiBI\+(Ai⊕Bi)Ci-1

![在这里插入图片描述][6c1f046f63404969a2a7a84cc898b0e6.png]

> Si

两个二进制数相加，某一位上和的结果有两种1和0；那么在什么样的情况下是0，什么样的情况下是1呢？  
上图中的两个二进制数`11001100`和`10101010`竖式计算时，可有如下步骤：![在这里插入图片描述][3066a85370d94205a223feaf8c62d555.png]  
再结合十进制数相加辅助理解，某一位上的数值=两个数对应位置上的数字相加，再加上进位，进位可能0，可能1；  
那么，同样的二进制中，某一位上的数值也是=两个数对应位置上的数字相`异或`，再与进位`异或`，进位可能0，可能1；  
异或的结果=奇数个1的话，就为1；偶数个1的话，就为0；满足竖式计算时的思路。

> Ci

两个二进制数相加，某一位上产生进位的结果有两种1和0；那么在什么样的情况下是0，什么样的情况下是1呢？也就是说，什么样的情况下会产生进位呢？  
同样结合十进制数相加思考，产生的进位有两种情况， `①本位相加已经大于等于10；②本位相加未超出10，加上来自于低位的进位1后，大于等于10；`

所以来看CI=AiBI\+(Ai⊕Bi)Ci-1这个表达式;  
AiBI：只有AI、BI`均为1`时，该项才为1；类似于十进制中的本位相加大于等于10的情况，在这里二进制就是大于等于2；  
Ai⊕BI：当AI、BI`有且只有一个为1`时，该项才为1；  
也就是说+两边的表达式，AiBI和(Ai⊕Bi)Ci-1不会同时为1；  
AiBI=1时，(Ai⊕Bi)Ci-1一定0，此时因为本位相加大于等于2，所以产生进位；  
AiBI=0时，Ai⊕BI=1，若Ci-1=1，那么(Ai⊕Bi)Ci-1=1，此时对应着本位相加未超出2，加上来自于低位的进位1后，大于等于2的情况；若Ci-1=0，那么此位就没有向高位产生进位，CI=0；

所以CI的表达式含义就是`本位相加大于等于2`或`本位相加为1，加上来自低位的进位后大于等于2`；

简单点，进位CI=（Ai\+BI\+CI-1）mod 2

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