理解树的结构

àì夳堔傛蜴生んèń 2024-03-23 17:56 25阅读 0赞

## 树的重要性 ##

> 二分查找算法、几种核心的排序算法以及图算法都与树有非常密切的关系。有句话锁，“没学会树，算法相当于白学”，可见，树在算法中的地位。

### 树的考察方面 ###

>  *  层次遍历以及拓展问题
>  *  前后序遍历与拓展问题
>  *  中序遍历与搜索树问题
>  *  堆和平衡树等变换的树问题

#### 重点 ####

>  *  层次遍历：全部的层次遍历几乎就一个模板，本身也不难。本部分除了要掌握层次遍历的实现方法外，还要掌握相关的常见变题。
>  *  树的前中后序是面试的热点，其根基都是递归。需要掌握递归的原理和写法，掌握前中后序遍历的迭代和递归方法实现方法，掌握前序和后续相关的经典题目。这些内容也是后面回溯、动态规划等的基础
>  *  如果将二分查找的搜索画成树，那与二叉树的中序搜索完全一样。因此二叉树的中序遍历和搜索树的本质是一样的，需要理解其原理和几个常见的题目。
>  *  除此之外还有很多特殊结构的树：
>     
>      *  平衡树：为了提高搜索树的效率而产生
>      *  红黑树：为了提高平衡树的效率而产生。而红黑树的本质就是2-3树。
>      *  堆也是一种非常重要的结构，有很多经典题目几乎只能用堆

## 树的常见概念 ##

### 定义 ###

> 树是一个有n个有限节点组成的一个具有层次关系的集合。每个节点有0个或多个子节点，没有父节点的节点称为根节点（一棵树有且只有一个）。
> 
> 树的种类比较多，最常见的就是二叉树了。

### 二叉树的基本结构 ###

![image.png][]

> 参考上面的结构，可以很方便的理解树的如下概念：

> 1.  节点的度：一个节点含有的子节点的个数
> 2.  树的度： 一棵树中，最大节点的度（注意与节点度的区别）
> 3.  叶子结点（终端节点）： 度为0的节点
> 4.  非终端节点（分支节点）： 度不为0的节点
> 5.  双亲节点（父节点）： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
> 6.  子节点（孩子节点）： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
> 7.  兄弟节点： 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
> 8.  节点的祖先：从根节点到该节点所经分支上的所有节点
> 9.  子孙：以某节点为根的子树中任一节点 都称为该节点的子孙
> 10. 森林：由m （吗>=0）棵 互补相交的树的集合
> 11. 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系
> 12. 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系
> 13. 二叉树： 每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树

### 树的性质 ###

> **性质1：**在二叉树的第 i 层上，至多有2^(i-1)个节点（i > 0）
> 
> **性质2：**深度为k 的二叉树至多有 2^k - 1个节点（k > 0）
> 
> **性质3：**对于任意一棵二叉树，如果其叶子结点数为N0，而度为2的节点总数为N2，则N0=N2+1
> 
> **性质4：** 具有n个节点的完全二叉树的深度必为log2(n+1)
> 
> **性质5：** 对于完全二叉树，若从上至下，从左至右编号，则编号为i的节点，其左孩子编号必为2i，右孩子编号必为 2i+1，其双亲编号必为 i / 2 (i = 1时 为根 除外)

#### 满二叉树和完全二叉树的区别 ####

**满二叉树**

![image.png][image.png 1]

> 如果一棵树只有度为0 的节点和度为2 的节点，并且度为0 的节点在同一层上，则这棵树称为满二叉树

**完全二叉树**

> 在完全二叉树中，除了最底层节点可能没有填满外，其余每层节点数都达到最大值。并且最下面一层的节点都集中在最左边的若干位置。

![image.png][image.png 2]

> 前面两棵树的前n-1层都是满的，最后一层所有节点都集中在左侧区域，二节点之间不能有空隙。最后一棵树有一个节点缺少了左节点，因此不是完全二叉树。

### 树的构建 ###

#### 二叉树定义 ####

public class TreeNode{
        int val;
        TreeNode left;
        TreeNode right;
    }

> 解释：
> 
> 这里本质上就两个引用，分别指向两个位置，为了便于理解，分别命名为左、右孩子

#### 定义N叉树 ####

public class TreeNode{
        int val;
        List<TreeNode> nodes;
    }

### 树的存储方式 ###

#### 数组 ####

![image.png][image.png 3]

> 遍历问题：
> 
> 由于数组的下标是从0开始的。因此与之前说的编号有一点点不同。如果父节点的数组下标是i，name它的左孩子就是i \* 2 + 1，右孩子是 i \* 2 + 2。

##### 缺点 #####

> 可能存在大量的控件浪费。

#### 链表 ####

> 能更好地表示树的结构，因此一般都用链表的方式来表示树。

### 树的遍历方式 ###

>  *  深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走
>  *  广度优先遍历：一层一层的遍历，一层遍历完再访问下一层

> 这两种遍历方式不仅适用于二叉树，N叉树、图结构等适用。
> 
> 深度优先又有前中后序三种遍历方式，区分其中的关键就是中间父节点的位置：
> 
> **前 指的是中间父节点在遍历中的顺序在 前面**
> 
> 前中后序指的就是**中间节点的位置**

#### 遍历顺序 ####

> 访问中间节点的顺序就是所谓的遍历顺序：
> 
> 前序遍历：中左右
> 
> 中序遍历：左中右
> 
> 后续遍历：左右中

#### 图例 ####

![image.png][image.png 4]

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