动态规划理论基础

川长思鸟来 2024-03-27 14:29 69阅读 0赞

### **什么是动态规划** ###

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动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，**这一点就区分于贪心**，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，

举一个背包问题的例子。

例如：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight\[i\]，得到的价值是value\[i\] 。**每件物品只能用一次**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动态规划中dp\[j\]是由dp\[j-weight\[i\]\]推导出来的，然后取max(dp\[j\], dp\[j - weight\[i\]\] + value\[i\])。

但如果是贪心呢，每次拿物品选一个最大的或者最小的就完事了，和上一个状态没有关系。

所以贪心解决不了动态规划的问题。

**其实大家也不用死扣动规和贪心的理论区别，做做题目自然就知道了**。

而且很多讲解动态规划的文章都会讲最优子结构啊和重叠子问题啊这些，这些东西都是教科书的上定义，晦涩难懂而且不实用。

大家知道动规是由前一个状态推导出来的，而贪心是局部直接选最优的，就够用了。

### **动态规划的解题步骤** ###

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状态转移公式（递推公式）是很重要，但动规不仅仅只有递推公式。

**对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！**

1.  确定dp数组（dp table）以及下标的含义

1.  确定递推公式

1.  dp数组如何初始化

1.  确定遍历顺序

1.  举例推导dp数组

一些同学可能想为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？

**因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！**

递推公式的重要性确实举足轻重。

但是 确定递推公式 仅仅是解题里的一步而已！

一些同学知道递推公式，但搞不清楚dp数组应该如何初始化，或者正确的遍历顺序，以至于记下来公式，但写的程序怎么改都通过不了。

随着对动归的深入接触大家就会慢慢感受到这五步的重要性了。

### **动态规划应该如何debug** ###

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写动规题目，代码出问题很正常！

**找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！**

不清楚dp数组的含义，不懂为什么这么初始化，递推公式背下来了，遍历顺序靠习惯就是这么写的，然后一鼓作气写出代码，再凭感觉调改bug。

这是一个很不好的习惯！

**做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果**。

然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。

如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。

如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。

**这样才是一个完整的思考过程，而不是一旦代码出问题，就毫无头绪的东改改西改改，最后过不了，或者说是稀里糊涂的过了**。

这也是我为什么在动规五步曲里强调推导dp数组的重要性。

有时候代码都已经和题解一模一样了，为什么通过不了呢？

发出这样的问题之前，其实可以自己先思考这三个问题：

*  这道题目我举例推导状态转移公式了么？

*  我打印dp数组的日志了么？

*  打印出来了dp数组和我想的一样么？

**如果这灵魂三问自己都做到了，基本上这道题目也就解决了**，或者更清晰的知道自己究竟是哪一点不明白，是状态转移不明白，还是实现代码不知道该怎么写，还是不理解遍历dp数组的顺序。

### **总结** ###

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这一篇是动态规划的整体概述，讲解了什么是动态规划，动态规划的解题步骤，以及如何debug。

动态规划是一个很大的领域，这一篇讲解的内容是整个动态规划系列中都会使用到的一些理论基础。

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