【算法优选】前缀和专题——贰

青旅半醒 2024-04-17 10:32 37阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  ?前言
 *  ?\[寻找数组的中心下标\](https://leetcode.cn/problems/find-pivot-index/description/)
 *   *  ?题目描述
     *  ?算法思路：
     *  ?代码实现
 *  ?\[除自身以外数组的乘积\](https://leetcode.cn/problems/product-of-array-except-self/)
 *   *  ?算法思路：
     *  ?代码实现：
 *  ⭕总结

## ?前言 ##

***含义***：

*  前缀和实际上就是对于长度为n的数组，我们新建立一个数组长度为n+1，第i个元素的值为前i个元素的和（包括第i个元素）。

***特点***：

1.  前缀和数组比原数组多一个长度。
2.  前缀和的第0个元素的值为0。
3.  根据前缀和数组的特点，求前缀和时。我们只需要用第i个元素的值+第i-1个前缀个数组的值就可能得到第i个前缀和数组的值。（这也是一种动态规划的思想）。

***应用***：

*  前缀和算法可以解决一些在数组中与连续有关的问题

## ?[寻找数组的中心下标][Link 1] ##

### ?题目描述 ###

给你一个整数数组 nums ，请计算数组的 中心下标 。

数组 中心下标 是数组的一个下标，其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。

如果中心下标位于数组最左端，那么左侧数之和视为 0 ，因为在下标的左侧不存在元素。这一点对于中心下标位于数组最右端同样适用。

如果数组有多个中心下标，应该返回 最靠近左边 的那一个。如果数组不存在中心下标，返回 -1 。

*  示例 1：  
    输入：nums = \[1, 7, 3, 6, 5, 6\]  
    输出：3  
    解释：  
    中心下标是 3 。  
    左侧数之和 sum = nums\[0\] + nums\[1\] + nums\[2\] = 1 + 7 + 3 = 11 ，  
    右侧数之和 sum = nums\[4\] + nums\[5\] = 5 + 6 = 11 ，二者相等。
 *  示例 2：  
    输入：nums = \[1, 2, 3\]  
    输出：-1  
    解释：  
    数组中不存在满足此条件的中心下标。
 *  示例 3：  
    输入：nums = \[2, 1, -1\]  
    输出：0  
    解释：  
    中心下标是 0 。  
    左侧数之和 sum = 0 ，（下标 0 左侧不存在元素），  
    右侧数之和 sum = nums\[1\] + nums\[2\] = 1 + -1 = 0 。

class Solution {
        
        public int pivotIndex(int[] nums) {
        
    
        }
    }

### ?算法思路： ###

从中⼼下标的定义可知，除中⼼下标的元素外，该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀  
和」。

*  因此，我们可以先预处理出来两个数组，⼀个表⽰前缀和，另⼀个表⽰后缀和。
 *  然后，我们可以⽤⼀个 for 循环枚举可能的中⼼下标，判断每⼀个位置的「前缀和」以及「后缀和」，如果⼆者相等，就返回当前下标

### ?代码实现 ###

class Solution {
        
        public int pivotIndex(int[] nums) {
        
            // lsum[i] 表⽰：[0, i - 1] 区间所有元素的和
            // rsum[i] 表⽰：[i + 1, n - 1] 区间所有元素的和
            int n = nums.length;
            int[] lsum = new int[n];
            int[] rsum = new int[n];
            // 预处理前缀和后缀和数组
            for(int i = 1; i < n; i++) {
        
                lsum[i] = lsum[i - 1] + nums[i - 1];
            }
                
            for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
        
                rsum[i] = rsum[i + 1] + nums[i + 1];
            }
    
            // 判断
            for(int i = 0; i < n; i++) {
        
                if(lsum[i] == rsum[i]) {
        
                    return i;
                }
            }
            return -1;
        }
    }

## ?[除自身以外数组的乘积][Link 2] ##

给你一个整数数组 nums，返回 数组 answer ，其中 answer\[i\] 等于 nums 中除 nums\[i\] 之外其余各元素的乘积 。

题目数据 保证 数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内。

请 不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

*  示例 1:  
    输入: nums = \[1,2,3,4\]  
    输出: \[24,12,8,6\]
 *  示例 2:  
    输入: nums = \[-1,1,0,-3,3\]  
    输出: \[0,0,9,0,0\]

class Solution {
        
        public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
        
    
        }
    }

### ?算法思路： ###

注意题⽬的要求，不能使⽤除法，并且要在 O(N) 的时间复杂度内完成该题。那么我们就不能使  
⽤暴⼒的解法，以及求出整个数组的乘积，然后除以单个元素的⽅法。

继续分析，根据题意，对于每⼀个位置的最终结果 ret\[i\] ，它是由两部分组成的：

1.  nums\[0\] \* nums\[1\] \* nums\[2\] \* … \* nums\[i - 1\]
2.  nums\[i + 1\] \* nums\[i + 2\] \* … \* nums\[n - 1\]

于是，我们可以利⽤前缀和的思想，使⽤两个数组post和suf，分别处理出来两个信息：

1.  post表⽰：i位置之前的所有元素，即 \[0, i - 1\] 区间内所有元素的前缀乘积，
2.  suf表⽰：i位置之后的所有元素，即 \[i + 1, n - 1\] 区间内所有元素的后缀乘积然后再处理最终结果

### ?代码实现： ###

class Solution {
        
        public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
        
            // lprod 表⽰：[0, i - 1] 区间内所有元素的乘积
            // rprod 表⽰：[i + 1, n - 1] 区间内所有元素的乘积
            int n = nums.length;
            int[] lprod = new int[n];
            int[] rprod = new int[n];
            lprod[0] = 1; 
            rprod[n - 1] = 1;
            // 预处理前缀积以及后缀积
            for(int i = 1; i < n; i++) {
        
                lprod[i] = lprod[i - 1] * nums[i - 1];
            }
            for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {
        
                rprod[i] = rprod[i + 1] * nums[i + 1];
            }
            // 处理结果数组
            int[] ret = new int[n];
            for(int i = 0; i < n; i++) {
        
                ret[i] = lprod[i] * rprod[i];
            }
            return ret;
        }
    }

## ⭕总结 ##

关于《【算法优选】 前缀和专题——贰》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！

[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/find-pivot-index/description/
[Link 2]: https://leetcode.cn/problems/product-of-array-except-self/