两数之和、三数之和、四数之和、K数之和

淡淡的烟草味﹌ 2024-04-17 19:48 210阅读 0赞

两数之和、三数之和、四数之和和K数之和是最近听室友提起的几道有意思的基础题，可以说是把双指针运用的淋漓尽致。（K数之和其实是一个动态规划的题，此处因为满足*数之和的的结构，放在一起对比提一下）。

1、两数之和等于Target的下标

LintCode：https://www.lintcode.com/problem/two-sum/

题目描述：给一个整数数组，找到两个数使得他们的和等于一个给定的数 target。假设只有一组答案。

你需要实现的函数twoSum需要返回这两个数的下标, 并且第一个下标小于第二个下标。注意这里下标的范围是 0 到 n-1。

简析：此处需要返回的是数字所在位置的下标，不是判断是否存在。

第一种思路借助hashMap，key为数组中的值，value为其下标。遍历一次就可以找出目标答案，空间复杂度为O(n)，时间复杂度为O(n)；

第二种思路构造Pair类然后进行排序，排序之后通过头尾双指针找到目标答案，时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)；

代码：

  1. //方案一：自定义pair类,排序之后使用双指针 时间复杂度o(nlogn),空间复杂度o(1)
  2.     // 并实现comparable接口-compare方法重写（当然也可以使用匿名内部类，继承comparator类，compare方法重写）
  4. public class Solution {
  6.     class Pair implements Comparable<Pair>{
  7.         public int key;
  8.         public int value;
  10.         Pair(int key, int value){
  11.             this.key = key;
  12.             this.value = value;
  13.         }
  15.         @Override
  16.         public int compareTo(Pair o1){
  17.             if(o1.value > this.value)
  18.                 return -1;
  19.             else if( o1.value == this.value)
  20.                 return 0;
  21.             else
  22.                 return 1;
  23.          }
  24.     }  //end of Pair Class
  26.     public int[] twoSum(int[] numbers, int target) {
  27.         // write your code here
  28.         int[] res = new int[2];
  29.         if(numbers == null || numbers.length <= 1)
  30.             return res;
  31.         Pair[] pairs = new Pair[numbers.length];
  32.         for(int i = 0; i < numbers.length; i ++){
  33.             Pair pair = new Pair(i,numbers[i]);
  34.             pairs[i] = pair;
  35.         }
  36.         Arrays.sort(pairs);
  37.         int left = 0, right = numbers.length - 1;
  38.         while(left < right){
  39.             if(pairs[left].value + pairs[right].value == target){
  40.                 res[0] = Math.min(pairs[left].key, pairs[right].key);
  41.                 res[1] = Math.max(pairs[left].key, pairs[right].key);
  42.                 left ++;
  43.                 right --;
  44.             }else if(pairs[left].value + pairs[right].value > target){
  45.                 right --;
  46.             }else
  47.             left ++;
  48.         }
  49.         return res;
  50.     }
  52. //方法二：使用hashmap，此时不需要排序。时间复杂度o(n),空间复杂度o(n)
  53.     //hashmap中存储键为数值，值为对应的数组下标
  55.     public int[] twoSum2(int[] numbers, int target){
  56.         if(numbers == null || numbers.length <= 1)
  57.             return null;
  58.         int[] res = new int[2];
  59.         HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();  //key-numbers[i]  value- i
  60.         for(int i = 0; i < numbers.length; i ++){
  61.             //首先判断当前元素与前面的元素是否可以组成target
  62.             if(map.keySet().contains(target - numbers[i])){
  63.                 res[1] = i;
  64.                 res[0] = map.get(target - numbers[i]); //另一个数的下标序号
  65.                 return res; //只有一组结果，此处直接返回
  66.             }
  67.             map.put(numbers[i],i); //将当前元素加入到HashMap
  68.         }
  69.         return res;
  70.     }

2、三数之和等于0的组合排列

LintCode：
题目描述：给出一个有n个整数的数组S，在S中找到三个整数a, b, c，找到所有使得a + b + c = 0的三元组。在三元组(a, b, c)，要求a <= b <= c。结果不能包含重复的三元组。

简析：此题目target是固定等于0，那么要求的a、b、c中一定是正负相加或者全0。我们可以枚举首位a，然后用双指针遍历找出和为target - a的俩数。注意，要使用双指针必须首先保证有序性。

注意此题目要求输出的组合中不能有重复，所以要去重。去重的方法无非就是：枚举首位元素a的时候，保证不重复。当找到某组组合之后，第二位的元素和第三位的元素都需要去重。在有序数组中，该去重操作就是就是移到到下一位不想等的元素上。a元素如果发现已经被枚举过了，则将a元素指针i进行i ++，b元素如果之后重复是相等的，则不断后移，直到移到后面第一个不是该元素的位置上。实现起来就是while(numbers[left] == numbers[left + 1]) left ++，完成while循环之后，再加一个left ++。

代码：

  1. public class Solution {
  2.     /**
  3.      * @param numbers: Give an array numbers of n integer
  4.      * @return: Find all unique triplets in the array which gives the sum of zero.
  5.      */
  6.     public List<List<Integer>> threeSum(int[] numbers) {
  7.         // write your code here
  9.         //边界判断
  10.         if(numbers == null || numbers.length == 0)
  11.             return null;
  13.         //返回的二维list
  14.         List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
  16.         //数组排序
  17.         Arrays.sort(numbers);
  19.         //枚举首位元素a + 双指针遍历
  20.         for(int i = 0; i < numbers.length - 2 && numbers[i] <= 0; i ++){
  22.             //首位元素去重
  23.             while(i >= 1 && i < numbers.length - 2 && numbers[i] == numbers[i - 1])
  24.                 i ++;
  25.             int left = i + 1;
  26.             int right = numbers.length - 1;
  27.             //left < right 同时约束了指针的范围，避免了 i++ 越界
  28.             while(left < right){ 
  29.                 if(numbers[i] + numbers[left] + numbers[right] == 0){
  30.                     List<Integer> tmp =  new ArrayList<>();
  31.                     tmp.add(numbers[i]);
  32.                     tmp.add(numbers[left]);
  33.                     tmp.add(numbers[right]);
  34.                     res.add(tmp);
  35.                     //第二位元素去重
  36.                     while(left + 1 < right && numbers[left] == numbers[left + 1])
  37.                         left ++;
  38.                     //第三位元素去重
  39.                     while(left < right - 1 && numbers[right] == numbers[right - 1])
  40.                         right --;
  41.                      //注意！！去重结束之后仍要同时移动left和right指针
  42.                      //保证指针移动到了第一个不是重复元素的位置上
  43.                     left ++; right --;    
  44.                 }else if(numbers[i] + numbers[left] + numbers[right] > 0)
  45.                     right --;
  46.                 else
  47.                     left ++;    
  48.             }
  49.         }
  51.         return res;
  52.     }
  53. }

3、三数之和小于Target的组合总数目

LintCode: https://www.lintcode.com/problem/3sum-smaller/description

题目描述：给定一个n个整数的数组和一个目标整数target，找到下标为i、j、k的数组元素0 <= i < j < k < n，满足条件nums[i] + nums[j] + nums[k] < target。输出满足上述条件的组合的总数。

简析：需要找和为target的三个数，可以首先确定一个数A，然后找和为target-A的两个数。

(错误思路：“从数学角度来看，三个数和为target，一定至少有1个小于等于target的数。所以可以A数的范围定在<= target的范围进行枚举，剩余两数则在大于A的范围内进行双指针遍历”。 这种想法非常非常错误的，比如target= (-4) = (-2) + (-2) + 0，三个数都比target要大。当target为0和正数的时候，刚才的说法才是正确的。）

通过剖析上面的错误思路，对于首位数字的枚举，不能仅仅只枚举小于等于target的数，应该遍历到数组中所有的数，也就是从[0, length -3]，最后两位要留给剩余两个数字。

代码：

  1. public class Solution {
  2.     /**
  3.      * @param nums:  an array of n integers
  4.      * @param target: a target
  5.      * @return: the number of index triplets satisfy the condition nums[i] + nums[j] + nums[k] < target
  6.      */
  7.     public int threeSumSmaller(int[] nums, int target) {
  8.         // Write your code here
  9.         int cnt = 0;
  10.         if(nums == null || nums.length == 0)
  11.             return cnt;
  12.         //数组排序后方可使用双指针
  13.         Arrays.sort(nums);
  15.         //枚举首位数字
  16.         for(int i = 0; i <= nums.length - 3; i ++){
  17.             int left = i + 1;
  18.             int right = nums.length - 1;
  19.             //确定首位数字后，双指针遍历
  20.             while(left < right){
  21.                //当和小于target时：保持当前left不变，right指针从此处前移到left+1，所有的和都将小于target
  22.                //所以此时满足条件的情况的数目等于 right - (left + 1) + 1 = right - left
  23.                 if(nums[left] + nums[right] < target - nums[i]){ 
  24.                     cnt += right - left;  
  25.                     left ++;
  26.                 }else
  27.                     right --;
  28.             }
  29.         }
  30.         return cnt;
  31.     }
  32. }

4、四叔之和等于Target的组合

LintCode:https://www.lintcode.com/problem/4sum/description

题目描述：给一个包含n个数的整数数组S，在S中找到所有使得和为给定整数target的四元组(a, b, c, d)。四元组(a, b, c, d)中，需要满足a <= b <= c <= d。答案中不可以包含重复的四元组。

简析：四数之和在三数之和的基础上又多了一个数字，仍旧使用双指针，此时需要枚举前两个元素a和b，双指针寻找c和d，是的c + d = target - a - b。在有序数组中的去重仍旧采用移动指针的方法，直到移动到第一个不相等的位置。

具体来说，在处理的时候要注意两个问题：1.数组越界 2.去重遍历的范围。

例如对第一个元素来说，i本身的范围是[0, numbers.length - 4]，但是当他处理0位置时候，不需要和前面的元素判重。判重的范围是[1, numbers.length - 4]，例如第1位置的数值与第0位置的数值相等，则需要跳过第1位置。

针对第二个元素，j本身的范围是[i + 1, numbers.length -3]。和第一个元素一样，他判重的范围是包含i + 1的。从i + 2位置开始，如果和前面元素相等，则需要跳过。

针对第三个和第四个元素而言，当出现满足要求的组合时候，就要进行去重，分别把left和right指针移动到不等于当前指针的第一个位置。移动指针过程中非常容易出现数组越界，在while(left < right)的循环中，要保证left指针left ++后都要小于right，right指针保证right -- 要大于left。

代码：

  1. public class Solution {
  2.     /**
  3.      * @param numbers: Give an array
  4.      * @param target: An integer
  5.      * @return: Find all unique quadruplets in the array which gives the sum of zero
  6.      */
  7.     public List<List<Integer>> fourSum(int[] numbers, int target) {
  8.         // write your code here
  9.         List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
  10.         if(numbers == null || numbers.length == 0)
  11.             return res;
  13.         Arrays.sort(numbers);
  14.         //a元素遍历
  15.         for(int i = 0; i < numbers.length - 3; i ++){
  17.             //a元素去重
  18.             while(i > 0 && i <  numbers.length - 3 && numbers[i] == numbers[i - 1])
  19.                 i ++;
  20.             //b元素遍历
  21.             for(int j = i + 1; j < numbers.length - 2; j ++){
  23.                 //b元素去重
  24.                 while(j > i + 1 &&  j < numbers.length - 2 && numbers[j] == numbers[j - 1])
  25.                     j ++;
  27.                 //双指针
  28.                 int left = j + 1;
  29.                 int right  = numbers.length - 1;
  30.                 while(left < right){
  31.                     if(numbers[left] + numbers[right] + numbers[i] + numbers[j] == target){
  32.                         List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
  33.                         tmp.add(numbers[i]); 
  34.                         tmp.add(numbers[j]); 
  35.                         tmp.add(numbers[left]); 
  36.                         tmp.add(numbers[right]);
  37.                         res.add(tmp);
  38.                         //第三个元素去重
  39.                         while(left + 1 < right && numbers[left + 1] == numbers[left])
  40.                             left ++;
  41.                          //第四个元素去重   
  42.                         while(left < right - 1 && numbers[right] == numbers[right - 1])
  43.                             right --;
  44.                         left ++; right --;    
  45.                     }else if(numbers[left] + numbers[right] + numbers[i] + numbers[j] < target)
  46.                         left ++;
  47.                     else
  48.                         right --;
  49.                 }
  50.             }
  51.         }        
  52.         return res;
  53.     }
  54. }

5、K数之和

此题目与上面的题目都是同一类型的，前面的题都是双指针的。此题目虽然是k数之和，看起来像三数之和、四数之和的拓展。但其实是动态规划的问题。

LintCode: https://www.lintcode.com/problem/k-sum/

题目描述：给定 n 个不同的正整数，整数 k（k <= n）以及一个目标数字 target。　
在这 n 个数里面找出 k 个数，使得这 k 个数的和等于目标数字，求问有多少种方案？
输入:
List = [1,2,3,4] ； k = 2 ； target = 5
输出: 2
说明: 1 + 4 = 2 + 3 = 5

简析：设状态为f[i][j][p]，表示前i个数中找出j个数且和等于p的方案数目。

那么状态转移方程： f[i][j][p] = f[i - 1][j][p] + f[i - 1][j - 1][p -num[i]]

最终返回f[n][k][target]即可

代码：

  1. public class Solution {
  2.     /**
  3.      * @param A: An integer array
  4.      * @param k: A positive integer (k <= length(A))
  5.      * @param target: An integer
  6.      * @return: An integer
  7.      */
  8.     public int kSum(int[] A, int k, int target) {
  9.         // write your code here
  10.         if(A == null || A.length ==0 || k <= 0)
  11.             return 0;
  12.         //正整数的总数从0 - A.length； 可选的个数从 0 - k; target也是从 0 - target
  13.         int[][][] f = new int[A.length + 1][ k + 1][target + 1];
  14.         //初始值
  15.         for(int i = 0; i <= A.length; i ++){
  16.             f[i][0][0] = 1;
  17.         }
  18.         //f[i][j][t] = f[i - 1][j][t] + f[i - 1][j - 1][t -A[i]]
  19.         for(int i = 1; i <= A.length; i ++)
  20.             for(int j = 1; j <= k; j ++)
  21.                 for(int t = 1; t <= target; t ++){
  22.                     f[i][j][t] = f[i - 1][j][t];
  23.                     f[i][j][t] += t - A[i - 1] >=0 ? f[i - 1][j - 1][t -A[i - 1]] : 0;
  24.                 }
  25.         return f[A.length][k][target];
  26.     }
  27. }

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