学习MATLAB方程式求根

布满荆棘的人生 2024-03-30 12:02 26阅读 0赞

## 简介 ##

Today:  
•Symbolic approach 利用符号的方式求根  
•Numeric root solvers 利用数值方式求根  
•Recursive functions 递归

## Symbolic Root Finding Approach 符号寻根 ##

![在这里插入图片描述][96f25b95299f458085194d89840408a1.png]

syms x          %定义x为  “symbolic variables”

### Symbolic Root Finding: solve() 求根 ###

![在这里插入图片描述][48186cc5eb744a5ea9920d6014b6a94a.png]  
在命令行窗口输入第一组代码会得到  
![在这里插入图片描述][1890388e329448ea9f1927ffe512916c.png]  
在命令行窗口输入第二组代码  
![在这里插入图片描述][3912b26841ef4d68bb54bebac512392d.png]  
下面是两个练习  
![在这里插入图片描述][5bc2cf3cf159445cbdeadd8b32077d75.png]

### Symbolic Differentiation: diff() 求导/微分 ###

![在这里插入图片描述][871b2fff89424f61877d4d5d37690214.png]  
输入代码

syms x
    y = 4*x^5;
    yprime = diff(y)

结果  
![在这里插入图片描述][28b19747ba34431c95cdadfcf56cf243.png]  
练习  
![在这里插入图片描述][2309df2c072245f2925789bfcfbeeab6.png]  
代码

syms x
    y=exp(x^2)/(x^3-x+3);
    yprime=diff(y)

结果  
![在这里插入图片描述][ca645da1dd0c467e8e78ce19486153fc.png]  
练习  
![在这里插入图片描述][72631850ff2d43edbd363c5e92e3711a.png]  
代码

syms x y
    >> g=(x^2+x*y-1)/(y^3+x+3);
    >> gprime=diff(g)

运行结果  
![在这里插入图片描述][f54d772885f2409b9cc54bd0f61bd457.png]

### Symbolic Integration: int() 积分 ###

![在这里插入图片描述][63ced22bb09e4a218c6dfef5c9b18c68.png]  
代码

syms x;
    y=x^2*exp(x);
    z=int(y);
     z=z-subs(z,x,0)

结果  
![在这里插入图片描述][365c466db692466f828f8d535487fde0.png]  
输入前三行代码得到的结果如下  
![在这里插入图片描述][e1e45134115b49e4ae00e9b863cf1cdb.png]  
此时将x=0带入z得z=2，与初始值不符合，所以增加最后一行代码，以符合题设所给条件。  
练习  
![在这里插入图片描述][63e7df9bac52489183a0939802e323ed.png]  
代码

syms x
    int((x^2-x+1)/(x+3),0,10)

![在这里插入图片描述][a85038e7c86c4034ac4e994a6ec8681c.png]

### Symbolic vs. Numeric 符号和数值寻根的比较 ###

![在这里插入图片描述][9cd91535a6a245ce9ec953769e9ac137.png]  
接下来再一次复习Handles(@),上次课已经复习过，可能是因为比较重要

### Review of Function Handles (@) ###

![在这里插入图片描述][03d7f42809ac4c8fa2db7b82ede3cf55.png]

### fsolve() 求根 ###

![在这里插入图片描述][2ec7c57662214534aa7f913c88cf022b.png]  
因为不知道解是多少，所以给了0一个猜测值，使得结果向猜想点处收敛  
初始值不同可能会对结果有影响，比如方程有很多个零解，那么给不同的初值可能会收敛到其它解去  
运行结果  
![在这里插入图片描述][18de1f7375be446b9a9edaef2e2826e4.png]  
练习  
![在这里插入图片描述][b1bc24054d764c9f83e17ffa384ea22c.png]  
代码

equ=@(x)[2*x(1)-x(2)-exp(-x(1));-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2))];
    x=fsolve(equ,[-5,-5])

结果  
![在这里插入图片描述][aca10b6d3b79485e8501c3a629109bf3.png]  
fsolve只能一个变量，但是可以用一个变量的向量组

### fzero()求根 ###

fzero在使用时，函数穿过x轴才有效果，否则算不出来结果。fsolve则没有这种限制。  
![在这里插入图片描述][6e0f64c3241349b4a99bb549c9e89445.png]  
输入上面代码进行验证  
验证fzero  
![在这里插入图片描述][9ceeea1f338e44a1beface5d98aacc06.png]  
验证fsolve  
![在这里插入图片描述][465f0679dba449b09002d9ec85ec1880.png]  
但是，此时显然这个结果的精度过低  
所以，我们需要将进行  
一些高级操作  
例如  
可以设置，迭代次数和精度  
![在这里插入图片描述][81e8d031835a4e3f817f3e00b7e090b5.png]  
代码

f=@(x)x.^2;
    options=optimset('Maxiter',1e3,'TolFun',1e-10);
    >> fsolve(f,0.1,options)

结果  
![在这里插入图片描述][c02da25213fe4216a5c66ba323e74d7d.png]

### Finding Roots of Polynomials:roots() 求根 ###

roots仅仅是用来解决多项式问题的  
![在这里插入图片描述][5f81d19480e94692a78c3d2ea0d104d2.png]  
代码

roots([1 -3.5 2.75 2.125 -3.875 1.25])

运行结果  
![在这里插入图片描述][2b19b8aa501e4b4983cdf922416bc395.png]  
练习  
![在这里插入图片描述][279c421325e340be9c897c2bf8599a5f.png]  
代码

roots([1 -6 -12 81])

运行结果  
![在这里插入图片描述][b73c9ec405fb400cbc94eeb91a0c996e.png]

## Numeric Root Finding Methods 数值寻根 ##

数值寻根的两种方式  
二分法（需要在一个区间内）  
牛顿法-梯度下降法（需要求得导数）  
![在这里插入图片描述][d8caedb267b8401398ef97aa81814b16.png]

### Bisection Method (Bracketing) 二分法 ###

![在这里插入图片描述][e5785ca982364cf38c279b5b2e82180a.png]  
对应流程图  
![在这里插入图片描述][a3d2461a91104b8e8bdf53390b369093.png]

### Newton-Raphson Method (Open)牛顿法 ###

![在这里插入图片描述][55e68d80f1a2432babf40a4e91e9b9b2.png]  
对应流程图  
![在这里插入图片描述][30ccb288fb3c4cc6bd80551f58d7b35c.png]

### Bisection vs. Newton-Raphson 两种方法比较 ###

![在这里插入图片描述][7b3f43b5b5914f27a376048ac5447b09.png]

## Recursive Functions 递归函数 ##

![在这里插入图片描述][ef0855b94ea544e0aa74891ebb54b38b.png]

#### Factorial Recursive Function ####

•  
The function includes a recursive case and a base case  
•  
The function stops when it reaches the base case  
代码

function output = fact(n) % fact recursively finds n!
    if n==1 
       output = 1;
    else
        output = n * fact(n-1);
    end
    end

![在这里插入图片描述][e0e28362b39e4e27bb769cfe67041b87.png]  
以上这两种方法在最优化中都有学习

[96f25b95299f458085194d89840408a1.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/8063cd42296a4c8092dbf34864d79542.png
[48186cc5eb744a5ea9920d6014b6a94a.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/bbb8563007e24b538e2e4a5a090abc09.png
[1890388e329448ea9f1927ffe512916c.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/ca6a80bc58034d6bb60e80e6cc8b2b60.png
[3912b26841ef4d68bb54bebac512392d.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/0ae4105c6e7a4e6a925b834a8d10c8de.png
[5bc2cf3cf159445cbdeadd8b32077d75.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/5fad0617d7ac4fefaad887e275d6d512.png
[871b2fff89424f61877d4d5d37690214.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/2b60626258b74680ac8d8cd1d88880b7.png
[28b19747ba34431c95cdadfcf56cf243.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/ab02b5f37f834d939b5d951c96ed6e62.png
[2309df2c072245f2925789bfcfbeeab6.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/667b8a96248041df96ff9884de74bf95.png
[ca645da1dd0c467e8e78ce19486153fc.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/c1d49222a1bc4fa5afd791a792546ae9.png
[72631850ff2d43edbd363c5e92e3711a.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/e8ff38cd847446ce9eb2fb2716d4f0da.png
[f54d772885f2409b9cc54bd0f61bd457.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/c4f9dab1b6414f4eb46d9020f9dbf3e8.png
[63ced22bb09e4a218c6dfef5c9b18c68.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/28281fb99b0c461681ee6c9fee975538.png
[365c466db692466f828f8d535487fde0.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/884e29851dc14d61801bac0d811f20b7.png
[e1e45134115b49e4ae00e9b863cf1cdb.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/659a61e9f0c846128218bdbec10a7c64.png
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[7b3f43b5b5914f27a376048ac5447b09.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/268b7accbc1c4119937d93e85544bdd4.png
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