矩阵乘法的计算和来源

电玩女神 2021-09-25 15:56 482阅读 0赞

# 矩阵乘法的计算 #

矩阵，是线性代数中的基本概念之一。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。

矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log(n)，还可以求路径方案等，所以更是一种应用性极强的算法。必须注意的是，只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。

一般单说矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则他们的乘积AB(有时记做A·B）会是一个m×p矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出：

![/images/20210923/7b5b0c1c67c7470787d8ffe36f265f59.png][https_img-blog.csdn.net_20141009145012665]

上面是一个通过代数公式的方式说明这类乘法的抽象性质，有些抽象，下面从一个具体图的角度看看这种乘法：

![/images/20210923/446d0ff33f27474a8132af37285fa2a2.png][https_img-blog.csdn.net_20141009144813812]

在上图中，A是个4×2矩阵，B是个2×3矩阵。分别计算AB的（1,2）和（3,3）元素的值，结果可以根据上图中箭头方向两两配对，把每一对中的两个元素相乘，再把这些乘积加起来，最后得到的值即为箭头相交位置的值。

这样在从直观的图中转换为稍微抽象点的公式中，则对应的计算方式为：

![https://img-blog.csdn.net/20141009144836484][https_img-blog.csdn.net_20141009144836484]                            ![/images/20210923/71826ebd0ab34565b826c744d1e36740.png][https_img-blog.csdn.net_20141009144846984]

不知道CSDN怎么编辑数学公式，就先从百度百科里摘两个例子：

![例子一][20141008135701786]                ![例子二][20141008135713408]

# 矩阵乘法的来源 #

在矩阵的运算中，矩阵的加法、数与矩阵的积，都与实数或向量的对应运算一致，易于接受掌握。唯独矩阵乘法，与之相差悬殊。初学时感觉莫名其妙，难以接受。扬天哀呼，为啥这么算呢？

来举个简单的例子：

设A1,A2,...,Am是m个工厂，它们都生产着n种产品B1,B2,...,Bm，而Ai厂生产Bj的年产量为aij,i=1,2,…,m;j=1,2,...,n。于是，对照每个工厂各种产品年产量的统计表和产量矩阵就出来了：

![统计表][20140930141213203]                        ![产量矩阵][20140930141424374]

如果第二年各厂各种产品的产量都是前一年的λ倍,就是数乘矩阵λA的意义。如果计算各厂各种产品两年的总产量，就用到了矩阵的加法。

接上例，设产品B1,B2,...,Bn皆需p种原料C1,C2,...,Cp，而生存一件Bk所需原料Cj的数量为bkj，于是，统计各种产品每件所需的原料数表和单间原料矩阵为：

![原料数表][20140930142027546]                           ![单间原料矩阵][20140930142057671]

现在需要计算各厂每年所需各种原料的总是，设Ai长一年所需原料Cj的总数为cij，则各厂一年所需各种原料总数统计表和原料总数矩阵为：

![原料总数统计表][20140930142758790]                             ![原料总数矩阵][20140930142825091]

到这一步，基本上可以想到，cij（i厂需材料j的原料数量）等于i厂各个产品的年产量乘上该产品所需j原料的数量的和，简单点说就是一年所需总料数=年产量×单间所需原料数，用公式表达就是：

![公式][20140930143510328]

从上面的例子可以看出，关于矩阵的乘法，并非空穴来风、无源之水，而是有它必然产生的缘由。充分说明了数学是来源于生活，之所以与生活相差较大，只是因为在语言、符号演化过程中，数学进化的方向是趋向于抽象和一般。

[https_img-blog.csdn.net_20141009145012665]: /images/20210923/7b5b0c1c67c7470787d8ffe36f265f59.png
[https_img-blog.csdn.net_20141009144813812]: /images/20210923/446d0ff33f27474a8132af37285fa2a2.png
[https_img-blog.csdn.net_20141009144836484]: https://img-blog.csdn.net/20141009144836484
[https_img-blog.csdn.net_20141009144846984]: /images/20210923/71826ebd0ab34565b826c744d1e36740.png
[20141008135701786]: https://img-blog.csdn.net/20141008135701786
[20141008135713408]: /images/20210923/7c675ac3aafe448fa8f035dd2884cf20.png
[20140930141213203]: https://img-blog.csdn.net/20140930141213203
[20140930141424374]: /images/20210923/0c6c683843c743889674e9c7d5c19f54.png
[20140930142027546]: https://img-blog.csdn.net/20140930142027546
[20140930142057671]: /images/20210923/88f7cebfb12a4fffb8277276063bad0b.png
[20140930142758790]: https://img-blog.csdn.net/20140930142758790
[20140930142825091]: /images/20210923/587490b70acd4230aa70e7c33ed1cd69.png
[20140930143510328]: /images/20210923/789c381bbb154002821bf91787861649.png