高等数学：一元函数积分学

冷不防 2021-11-16 14:20 629阅读 0赞

# ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70][] #

# 定义： #

## 不定积分定义： ##

![20190728155508319.png][]

## 定积分定义： ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

**注意区别：**不定积分是一族函数，他又很多个函数，但是定积分呢？它就只有一个函数，并且它所代表的集合意义就是一个曲边梯形的面积。

另外千万搞清楚，不定积分是函数，而定积分是一个确定的数，因为梯形的面积一定是确定的嘛

**定积分和不定积分的联系：**牛顿莱布尼兹公式：

![20190728160113270.png][]

# 积分的计算： #

## 四大基本积分法： ##

### 1.凑微分法 ###

**基本积分公式：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

**积分的计算技巧：**

当遇见复杂的式子计算积分，那么我们可以这样，先对复杂部分的式子求导，然后再凑微分。

### 2.换元法： ###

当凑微分法不成功时，考虑换元法。所以我们一般先考虑凑微分，然后是换元法。

记住一点：换元千万别忘了回带。

**第一种：三角换元**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

![2019072911124568.png][]

**第二种：倒代换 **

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

**第三种：复杂部分代换**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

### 3.分部积分法： ###

分部积分法一般是两个不同类型的函数相乘而来的式子，这个时候我们一般用分部积分法。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 7][]

我们在选取那个当v和那个当u，总结了下面这个式子。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 8][]

相对而言，更易求导的做u，更易积分的做v。

**推广式子：**

当我们碰见有些题目的时候，往往一次分部积分法是搞不定的，这个时候要多次分部积分，还是比较麻烦和繁琐的，所以就使用下面这种通式的形式，一步到位。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 9][]

如何使用表格发来记忆呢？ 我们可以像下面这样。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 10][]

他一共有下面四个步骤：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 11][]

实际上我们在解题的时候会有这样的疑问：使用表格法，我们应该求导或者积分到哪一项为止呢？我们对于上面的三种情况有三种结论。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 12][]

# 有理函数积分法： #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 13][]

# 定积分的计算： #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 14][]

这里有个注意点，当我们在使用换元法求定积分的时候，我们要换三个地方，一个是上下限要换，二是被积函数要换，积分元素要换。

另外，换元之后，其自变量的范围始终不能超过原来自变量的范围！这一点很重要，一定要切记。

## 点火公式： ##

对于这种式子类型的定积分计算，我们可以使用点火公式：

![20190801174534865.png][]

就是上面这种式子的时候，我们可以直接使用下面这个结论。 当然，上面的这个式子中的sin也可以是cos，他们都可以用点火公式。

## ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 15][] ##

**需要我们记住的一个定理:**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 16][]

**下面这个是华里士公式的另外一个式子：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 17][]

# 一元函数积分学的应用： #

数一的范围：知道怎么求空间曲面体的体积、面积、以及能够写出这个曲面体的函数

### 第一种：求曲边梯形的面积。 ###

这种一般是套用公式，杂糅进来了前面微分和极限的知识一起考查。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 18][]

### 第二种：用积分表达式计算旋转体的体积。 ###

绕着x轴旋转的：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 19][]

绕着y轴旋转的：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 20][]

### 第三种：用积分表达和计算函数的平均值： ###

![20190802125332184.png][]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20211116/9702bb78778144fe9bffcc62b32504aa.png
[20190728155508319.png]: /images/20211116/e3d2f47cf56d4386bf6efb0ecfbb2431.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20211116/026540e06cc64c348ab45166cf70c369.png
[20190728160113270.png]: /images/20211116/d0aa7aef219741758065974385db1a68.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20211116/7df02d767f674ee2b21ff0cb7988d669.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20211116/1f96a35ba2b94b4397db0c6f14b438e6.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20211116/608106f7e4ba4e8c8b4694108e331c93.png
[2019072911124568.png]: /images/20211116/939ba0061f9745488d74320758193fbe.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20211116/dd20ff41ba4346c9b462aee71c7fa4aa.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: /images/20211116/ff23e786676447bf904096cb9c87b1d5.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]: /images/20211116/d86b34a812a045a48a159e6e93038864.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]: /images/20211116/f684010298bd441ea510259f60dc4fa2.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]: /images/20211116/96c5615824da495eb9fd4eb29c880a7e.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]: /images/20211116/c0abb61ded0045d4acc8fc2e32c8f55a.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]: /images/20211116/70e4de3073cb4b06b7c3218fe6fe6002.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]: /images/20211116/5e4060134405403dad8bf158ae89d3ae.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]: /images/20211116/09307e91a7cf4a9ab4c1004601154825.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]: /images/20211116/48ccaed715534a0d8361e1a753408d56.png
[20190801174534865.png]: /images/20211116/3a39cef734a24ad0a2921958e6233653.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]: /images/20211116/37a2e91cc0dc435d9bb0a5d25eeb6d85.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]: /images/20211116/6bca3342cf7c4dbbb04b76e29a67c79c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]: /images/20211116/c0bd5d174134447db1d95c5875b0512e.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]: /images/20211116/5f8a8da83ff24ff59f5cf8ec5cdb23ca.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]: /images/20211116/48f2844a43f84c9a89244872cd72a135.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 20]: /images/20211116/938aa5060e9b451d83e1a3b1eb672e75.png
[20190802125332184.png]: /images/20211116/845de70bc40a4182ac3d25d6d87af214.png