高等数学：概率论（一）

朱雀 2023-10-15 19:36 16阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  随机试验
 *  事件独立
 *  三大概型

## 随机试验 ##

若一个实验满足：

1.  相同条件下可重复进行
2.  所有可能结果在实验前是确定的
3.  某次试验前不确定具体发生的结果

样本空间：随机实验E的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机事件E的样本空间，记为  Ω \\Omega Ω ，其中任意一个元素称为样本点

随机事件： Ω \\Omega Ω的子集称为随机事件

积事件：随机事件A与B同时发生的事件 和事件：事件A或事件B发生的事件 差事件：事件A发生而B不发生

补事件：随机事件A不发生的事件

若事件  A ⊂ B A\\subset B A⊂B且  B ⊂ A B\\subset A B⊂A ,记为 A = B A=B A=B

互斥（不相容）与对立事件：

事件A与B不能同时发生，称为互斥事件，若不能同时发生，且至少有一个发生，称为对立事件  
 A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A B ˉ = A ˉ + B ˉ A ˉ B ˉ = A + B ˉ A\\cap(B\\cup C)=(A\\cap B)\\cup(A\\cap C) A\\cup(B\\cap C)=(A\\cup B)\\cap(A\\cup C) \\\\ \\bar\{AB\}=\\bar\{A\}+\\bar\{B\} \\bar\{A\}\\bar\{B\}=\\bar\{A+B\} A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)ABˉ=Aˉ\+BˉAˉBˉ=A\+Bˉ  
概率的公理化定义：（1）非负性 （2）归一性 （3）可列可加性

概率基本公式：

减法公式：  P ( A − B ) = P ( A B ˉ ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A\\bar\{B\})=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(ABˉ)=P(A)−P(AB) 证明：  P ( A ) = P ( A − B ) + P ( A B ) = P ( A B ˉ ) + P ( A B ) A = A P(A)=P(A-B)+P(AB) =P(A\\bar\{B\})+P(AB) A=A P(A)=P(A−B)\+P(AB)=P(ABˉ)\+P(AB)A=A与B相交+与B不相交

加法公式：  P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A\+B)=P(A)\+P(B)−P(AB) P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) + P ( A B C ) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) P(A\+B\+C)=P(A)\+P(B)\+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)\+P(ABC)

条件概率公式：  P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\\frac\{P(AB)\}\{P(A)\} P(B∣A)=P(A)P(AB)

乘法公式：  P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P(AB)=\{P(A)\}P(B|A) P(AB)=P(A)P(B∣A) P ( A 1 A 2 . . . A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) . . . P ( A n ∣ A 1 A 2 . . . A n ) P(A\_\{1\}A\_\{2\}...A\_\{n\})=P(A\_\{1\})P(A\_\{2\}|A\_\{1\})P(A\_\{3\}|A\_\{1\}A\_\{2\})...P(A\_\{n\}|A\_\{1\}A\_\{2\}...A\_\{n\}) P(A1A2...An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)...P(An∣A1A2...An)

## 事件独立 ##

两个事件  P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)

三个事件  P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) , P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) , P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) , P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

事件独立的性质

1.  若事件A与B相互独立，则事件A与  B ˉ , A ˉ \\bar\{B\} , \\bar\{A\} Bˉ,Aˉ与 B , B ˉ 与 A ˉ B, \\bar\{B\} 与 \\bar\{A\} B,Bˉ与Aˉ也相互独立

独立是说事件A发生跟事件B发生没关系。 而互斥表示事件A发生的话，事件B就不会发生。 这就是“有关系”。 独立意味着AB事件同时发生的概率可以计算： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P (AB)=P (A)P (B) P(AB)=P(A)P(B)，而互斥意味着AB时间同时发生的概率为 0 : P ( A B ) = 0 0:P (AB)=0 0:P(AB)=0。

若 P ( A ) > 0 , P ( B ) > 0 P(A)>0,P(B)>0 P(A)>0,P(B)>0,若A,B独立则不互斥，互斥则不独立

## 三大概型 ##

（一）古典概型

若随机实验E满足样本空间中只有有限个样本点 · 样本空间中每个样本点发生的概率都是等可能的

设随机实验E所包含的样本点总数为n个，随机事件A所含的样本点个数为k,则事件A的概率为  P ( A ) = k n P(A)=\\frac\{k\}\{n\} P(A)=nk

（二）几何概型

设随机试验E对应的样本空间为可度量的有界区域，若所有样本点等可能出现，则称随机试验E对应的概率类型为几何概型  P ( A ) = A 的度量 Ω 的总度量 P(A)=\\frac\{A的度量\}\{\\Omega的总度量\} P(A)=Ω的总度量A的度量

（三）伯努利概型

每次实验只有两种可能的结果 A 和  A ˉ \\bar\{A\} Aˉ ,每次实验发生A 和  A ˉ \\bar\{A\} Aˉ的概率不变，这样的实验重复进行n次，称为n重伯努律实验

设 P ( A ) = p ， P ( A k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k P(A)=p ， P(A\_\{k\})=C\_\{n\}^\{k\}p\_\{k\}(1-p)^\{n-k\} P(A)=p，P(Ak)=Cnkpk(1−p)n−k