《数值分析（原书第2版）》—— 0.5　微积分回顾

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-01-28 12:13 454阅读 0赞

本节书摘来自华章出版社《数值分析（原书第2版）》一 书中的第0章，第0.5节，作者：（美）Timothy Sauer，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。

### 0.5　微积分回顾 ###

在微积分中有一些重要的事实，对于后面的章节非常重要.中值定理和均值定理对于求解第1章中方程很重要.泰勒定理对于理解第3章中的插值也很重要，对于求解第6章、第7章和第8章中的微分方程也极为重要.  
连续函数的图没有不连续的空隙.例如，如果函数对于一个x值是正的，而对于另一个值是负的，该函数必然在某个位置经过0.这个事实是下一章方程求解的基础.第一个定理（如图0.1a所示）推广了这种19观点.  
图0.1　微积分中的三个重要定理.在a和b之间存在一点c  
定理0.4（中值定理）　令f是区间［a，b］上的一个连续函数，则f可以得到f（a）和f（b）之间的所有值.更准确地说，如果y是f（a）和f（b）之间的数，则存在数字c，a≤c≤b，使得f（c）=y.  
例0.7　f(x)=x2-3在区间［1，3］上的取值一定可以取到0和1.  
由于f（1）=-2以及f（3）=6，所有在-2和6之间的值，包括0和1，一定可以出现在函数f上.例如，设c=3，注意到f(c)=f(3)=0，并且f（2）=1.  
定理0.5（连续极限）　令f是x0附近的一个连续函数，并假设limn→∞xn=x0.则limn→∞f(xn)=f(limn→∞xn)=f(x0)　　换句话讲，在一个连续函数中可以获得极限.  
定理0.6（均值定理）　令f是区间［a，b］上的连续可微函数，则在a和b之间存在数字c使得f′（c）=（f（b）-f（a））/（b-a）.  
例0.8　在区间［1，3］上，对f(x)=x2-3使用均值定理.  
该定理意味着由于f（1）=-2，同时f（3）=6，在区间（1，3）上必存在数字c满足f′（c）=（6-（-2））/（3-1）=4.非常容易找到这样的c.因为f′(x)=2x，对应的c=2.  
下面的定理是均值定理的图0.2　带有余项的泰勒定理.使用实线表示函数f(x),在x0附近使用0阶泰勒多项式(水平虚线),一阶泰勒多项式(斜虚线),以及二阶泰勒多项式(抛物线虚线)逐步得到更好的近似.f(x)和它的近似在x点的差异就是泰勒余项特例.  
定理0.7（罗尔定理）　令f是区间［a，b］上的连续可微函数，并假设f（a）=f（b），则在a和b之间存在数字c，使得f′(c)=0.  
泰勒近似是我们将学习的许多计算技术的基础.如果函数f在x0点值已知，则函数f在附近点的很多信息也可以知道.如果函数是连续的，则对于x0附近的点x，函数值f（x）可以由f（x0）得到合理的近似.但是，如果f′(x0)>0，则f在右边的近邻点具有更大的值，而在左边的近邻点具有更小的值，x0附近的斜率可由导数近似给出.经过(x0,f(x0))斜率为f′(x0)的直线，如图0.2所示，是一阶泰勒近似.进而更高阶的导数可以得到小的矫正，并得到更高阶的泰勒近似.泰勒使用在x0点的所有导数给出函数在x0点附近所有近似估计.  
定理0.8（有余项泰勒定理）　令x和x0是实数，并令f是x和x0之间的k+1阶连续可微函数，则在x和x0之间存在数字c，使得f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+f(x0)3!(x-x0)3+…  
\+f(k)(x0)k!(x-x0)k+f(k+1)(c)(k+1)!(x-x0)k+1　　结果的多项式部分，x-x0构成的最高k阶项，被称为以x0为中心的函数f的k阶泰勒多项式.最后一项称为泰勒余项.当泰勒余项足够小时，泰勒定理给出了一般的平滑函数的多项式近似.这对于计算机求解问题十分方便，如前所述，多项式的求值计算非常高效.　　例0.9　对于中心在x0=0的20  
　～  
21f（x）=sinx找出一个4阶泰勒多项式P4(x).计算使用P4(x)估计sinx时的最大可能的误差，其中x≤0.0001.  
很容易得到多项式P4(x)=x-x3/6.注意到这里没有4阶项，由于其对应的系数是0.余项是x5120cosc该余项的绝对值不会大于x5/120.对于x≤0.0001，余项至多是10-20/120并且可能不可见，例如，当x-x3/6在双精度浮点中近似sin0.0001.使用MATLAB来检查对应的计算.  
最后，均值定理的积分版本如图0.1c所示.  
定理0.9（积分均值定理）　令f是区间［a，b］上的连续函数，令g是一个可积分函数，并且在区间［a，b］中没有改变符号，则在a和b之间存在数字c使得∫baf(x)g(x)dx=f(c)∫bag(x)dx0.5节习题  
1.使用中值定理证明存在0(a) f(x)=x3-4x+1(b) f(x)=5cosπx-4(c) f(x)=8x4-8x2+1  
2.在区间［0，1］上找到函数f（x）满足均值定理的数字c.  
(a) f(x)=ex(b) f(x)=x2(c) f(x)=1/(x+1)  
3.在区间［0，1］上找到对于函数f（x）、g（x）满足积分均值定理的数字c.  
(a) f(x)=x,g(x)=x(b) f(x)=x2,g(x)=x(c) f(x)=x,g(x)=ex  
4.为以下函数找到x=0时的二阶泰勒多项式:  
(a) f(x)=ex2(b) f(x)=cos5x(c) f(x)=1/(x+1)  
5.为以下函数找到x=0时的5阶泰勒多项式:  
(a) f(x)=ex2(b) f(x)=cos2x(c) f(x)=ln(1+x)(d) f(x)=sin2x  
6.（a） 在点x=1找到函数f(x)=x-2的4阶泰勒多项式.  
（b） 利用（a）的结果近似f（0.9）和f（1.1）.  
（c） 使用泰勒余项确定泰勒多项式的误差公式.给出（b）部分两个近似的误差上界.（b）部分中的哪一个近似更加接近正确的值？  
（d） 使用计算器比较每个问题中实际误差和（c）部分中自己计算的误差上界.  
7.对于函数f（x）=lnx完成习题6的（a）~（d）.  
8.（a） 找出中心在x=0的函数f（x）=cosx的5阶泰勒多项式.  
（b） 找到在区间［-π/4，π/4］上使用P（x）近似函数f（x）=cosx的误差上界.  
9.当x足够小时，对于1+x的一个常见近似是1+12x.使用函数f(x)=1+x的1阶泰勒多项式的余项确定形如1+x=1+12x±E的公式.计算在近似1.02时对应的E.使用计算器比较实际的误差和估计的误差界E.22  
软件与进一步阅读  
浮点数计算的IEEE标准在IEEE 754［1985］中发布.Goldberg［1991］和Stallings［2003］论著中讨论了浮点数运算中的大量细节，Overton［2001］的论著中强调了IEEE 754标准.Wilknson［1994］和Knuth［1981］的教科书对硬件和软件的发展都有深远的影响.  
有多个特定于一般用途科学计算的软件包，其中大量软件包以浮点算术实现.Netlib是由贝尔实验室、田纳西大学和橡树岭国家实验室维护的一个工具包.程序集中包含高质量Fortran、C和Java程序，但是它的支持较少.程序中的注释足以让用户来操作程序.  
数值算法组（NAG）将一个包含1400个用户可调用通用应用数学问题的程序投向市场.其中包含Fortran和C的程序，并且可以从Java程序中调用.NAG包含共享内存和分布内存计算的库.  
国际数学与统计库（IMSL）是RogueWave软件的产品，覆盖的领域和NAG库覆盖的领域类似.还包含Fortran、C和Java程序.它还提供PV-WAVE，这是一种功能强大，具有数据分析和可视化能力的编程语言.  
包括Mathematica、Maple和MATLAB的计算环境已经发展为包含大量前面描述的计算方法，并具有内嵌的编辑和图形界面.Mathematica和Maple由于独特的符号计算引擎变得引人注目.MATLAB通过“工具箱”服务于许多科学与工程计算应用，工具箱使基础高质量软件得以应用在不同领域.  
在这本书中，我们常常会展示基本算法的MATLAB实现.给出的MATLAB代码被用于教学目的.通常牺牲速度和可靠性使得代码结构清晰且具有较好的可读性.不熟悉MATLAB的读者应该从附录B开始;然后就可以很快写出自己的程序实现.23