MIT_单变量微积分_05

水深无声 2022-03-17 06:58 289阅读 0赞

### 1. 隐函数微分法和逆函数求导 ###

`Ex:` y = x m n . 求 y 的 导 数 。 y=x^\{\\frac\{m\}\{n\}\}.求y的导数。 y=xnm.求y的导数。  
等式两边同时乘以 n n n，可得：  
 y n = x m d d x y n = d d x x m n y n − 1 d d x = m x m − 1 d y d x = m x m − 1 n y n − 1 = m n ⋅ x m − 1 y n − 1 = m n ⋅ x m − 1 − m n ( n − 1 ) = a x a − 1 y^n=x^m\\\\ \\frac\{d\}\{dx\}y^n=\\frac\{d\}\{dx\}x^m\\\\ny^\{n-1\}\\frac\{d\}\{dx\}=mx^\{m-1\}\\\\\\frac\{dy\}\{dx\}=\\frac\{mx^\{m-1\}\}\{ny^\{n-1\}\}\\\\=\\frac\{m\}\{n\}\\cdot\\frac\{x^\{m-1\}\}\{y^\{n-1\}\}\\\\=\\frac\{m\}\{n\}\\cdot x^\{m-1-\\frac\{m\}\{n\}(n-1)\}\\\\=ax^\{a-1\} yn=xmdxdyn=dxdxmnyn−1dxd=mxm−1dxdy=nyn−1mxm−1=nm⋅yn−1xm−1=nm⋅xm−1−nm(n−1)=axa−1  
`Ex:`  x 2 + y 2 = 1 ， 求 y 的 导 数 。 x^2+y^2= 1，求y的导数。 x2\+y2=1，求y的导数。.

*  正常求导：  
    由上式可知：  y 2 = 1 − x 2 ; y = + 1 − x 2 = ( 1 − x 2 ) 1 2 ， 这 里 只 考 虑 了 y 为 正 的 情 况 。 y^2=1-x^2;y=+\\sqrt\{1-x^2\}=(1-x^2)^\{\\frac\{1\}\{2\}\} ，这里只考虑了y为正的情况。 y2=1−x2;y=\+1−x2=(1−x2)21，这里只考虑了y为正的情况。  
    得： y ′ = 1 2 ( 1 − x 2 ) ( − 2 x ) = − x 1 − x 2 y&\#x27;=\\frac\{1\}\{2\}(1-x^2)(-2x)=\\frac\{-x\}\{\\sqrt\{1-x^2\}\} y′=21(1−x2)(−2x)=1−x2−x
 *  隐式求导： d d   x ( x 2 + y 2 ) = d d x 1 2 x + 2 y y ′ = 0 y ′ = − 2 x 2 y = − x y \\frac\{d\}\{d\\space x\}(x^2+y^2)=\\frac\{d\}\{dx\}1\\\\2x+2yy&\#x27;=0\\\\y&\#x27;=-\\frac\{2x\}\{2y\}=-\\frac\{x\}\{y\} d xd(x2\+y2)=dxd12x\+2yy′=0y′=−2y2x=−yx

`Ex:` y 4 + x y 2 − 2 = 0 , 求 y 的 导 数 。 y^4+xy^2-2=0,求y的导数。 y4\+xy2−2=0,求y的导数。

*  正常求导：  
    由求根公式可知：  y 2 = − x ± x 2 − 4 ⋅ ( − 2 ) 2 , y = ± − x ± x 2 − 4 ⋅ ( − 2 ) 2 y^2=\\frac\{-x\\pm\\sqrt\{x^2-4\\cdot(-2)\}\}\{2\},y=\\pm\\sqrt\{\\frac\{-x\\pm\\sqrt\{x^2-4\\cdot(-2)\}\}\{2\}\} y2=2−x±x2−4⋅(−2),y=±2−x±x2−4⋅(−2)  
    从上式子可以看出，y是一个非常复杂的式子，求导是非常困难的。
 *  隐式求导：  
     4 y 3 y ′ + y 2 + 2 x y y ′ = 0 y ′ = − y 2 4 y 3 + 2 x y 4y^3y&\#x27; + y^2+2xyy&\#x27;=0\\\\ y&\#x27;=-\\frac\{y^2\}\{4y^3+2xy\} 4y3y′\+y2\+2xyy′=0y′=−4y3\+2xyy2  
    当x=1,y=1时，求上式子的斜率, y ′ = − 1 4 + 2 = − 1 6 y&\#x27;=\\frac\{-1\}\{4+2\}=-\\frac\{1\}\{6\} y′=4\+2−1=−61

### 2. 反函数 ###

`Ex:`  y = x , ( x > = 0 ) , y 2 = x . y=\\sqrt\{x\},(x>=0),y^2=x. y=x,(x>=0),y2=x.  
 f ( x ) = x , g ( y ) = x , g ( y ) = y 2 . f(x)=\\sqrt\{x\},g(y)=x,g(y)=y^2. f(x)=x,g(y)=x,g(y)=y2.

Define： y = f ( x ) , g ( y ) = x y=f(x),g(y)=x y=f(x),g(y)=x  
 g ( f ( x ) ) = x , g = f − 1 , f = g − 1 g(f(x))=x,g=f^\{-1\},f=g^\{-1\} g(f(x))=x,g=f−1,f=g−1

几何解释：关于函数 y = x y=x y=x对称。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70]

#### 2.1 隐函数求导任意反函数，只需知道原函数的导数 ####

`Ex:`  y = t a n − 1 x = a r c t a n   x y = tan^\{-1\}x=arctan\\space x y=tan−1x=arctan x  
反函数表示为; t a n   y = x tan\\space y = x tan y=x.  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
由图可知： lim ⁡ x → ∞ t a n − 1 x = π 2 \\lim\_\{x \\to \\infty\}tan^\{-1\}x=\\frac\{\\pi\}\{2\} limx→∞tan−1x=2π

d   t a n   y d y = d d   y s i n   y c o s   y \\frac\{d \\space tan \\space y\}\{dy\}=\\frac\{d\}\{d\\space y\}\\frac\{sin\\space y\}\{cos\\space y\} dyd tan y=d ydcos ysin y

由除数法则，可得， d   t a n   y d y = 1 c o s 2 y \\frac\{d \\space tan \\space y\}\{dy\}=\\frac\{1\}\{cos^2y\} dyd tan y=cos2y1.  
 d d x ( t a n y = x ) ( d d x t a n y ) d y d x = 1 1 c o s 2 y y ′ = 1 y ′ = c o s 2 y d d x t a n − 1 x = c o s 2 ( t a n − 1 x ) 1 1 + x 2 \\frac\{d\}\{dx\}(tany=x)\\\\ (\\frac\{d\}\{dx\}tany)\\frac\{dy\}\{dx\}=1\\\\ \\frac\{1\}\{cos^2y\}y&\#x27;=1\\\\ y&\#x27;=cos^2y\\\\ \\frac\{d\}\{dx\}tan^\{-1\}x=cos^2(tan^\{-1\}x)\\frac\{1\}\{1+x^2\} dxd(tany=x)(dxdtany)dxdy=1cos2y1y′=1y′=cos2ydxdtan−1x=cos2(tan−1x)1\+x21

--------------------

![在这里插入图片描述][20190222210402816.png_pic_center]  
由上图可知： c o s   y = 1 1 + x 2 , c o s 2   y = 1 1 + x 2 cos\\space y=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{1+x^2\}\},cos^2\\space y=\\frac\{1\}\{1+x^2\} cos y=1\+x21,cos2 y=1\+x21

所以： d d x t a n − 1 x = 1 1 + x 2 \\frac\{d\}\{dx\}tan^\{-1\}x=\\frac\{1\}\{1+x^2\} dxdtan−1x=1\+x21

`Ex:`  求 y = s i n − 1 x 的 导 数 。 求y=sin^\{-1\}x的导数。 求y=sin−1x的导数。  
原式可转化为 s i n   y = x sin\\space y=x sin y=x.  
等式两边同时进行微分处理可得：  
 c o s y y ′ = 1 y ′ = 1 c o s y y ′ = 1 1 − s i n 2 y y ′ = 1 1 − x 2 cosyy&\#x27;=1\\\\ y&\#x27;=\\frac\{1\}\{cosy\}\\\\ y&\#x27;=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{1-sin^2y\}\}\\\\ y&\#x27;=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{1-x^2\}\} cosyy′=1y′=cosy1y′=1−sin2y1y′=1−x21

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