数据结构(6) 串 [二] ( KMP模式匹配算法 )

逃离我推掉我的手 2022-02-03 06:55 311阅读 0赞

# KMP模式匹配算法 （朴素算法的升级版本） #

原理：

主串 S： “abcdefgab”找到 子串T “abcdex” 的位置

如果采用朴素算法，前5个字母，两个串完全相等，直到第6个字母，"f"与“x”不等，如图

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如图，按照朴素模式匹配算法，应该是如图②③④⑤⑥。即主串S中当i = 2，3，4，5，6时，首字符与子串T的首字符俊不等。

仔细观察，子串T “abcdex” 首字母“a”与后面串“bcdex”中任意一个字符都不相等。②③④⑤是多余的。

理解KMP关键：

子串T “abcdex” 中的首字符“a”，与T中后面的字符均不相等。而T串的第二位“b”与S串的第二位"b“，在①中已经判断相等了，那么T串中首字符串”a“，与S串的第二位”b“，是不需要判断也知道他们是不可能相等。②可以忽略

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同理，T串中首字符”a“ 与T中后面的字符均不相等的前提下，T串中的”a“ 与S后面的”c“，”d“，”e“也都可以在①之后就可以确定是不相等的，所以这个算法中②③④⑤没有必要，只保留①⑥即可

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之所以保留⑥中的判断是因为在①中，T\[6\] ≠S\[6\],尽管我们已经知道T\[1\]≠T\[6\],但也不能断定T\[1\]一定不等于S\[6\].所以保留。

另一种情况，如果T串后面也含有受字符”a“怎么办呢。

主串 S： “abcabcabc”找到 子串T “abcabx” 的位置

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**数学不好，中间的Max部分怎么理解，需要以后进行划分，有知道的同学，望指教。**

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### 推导方式一 （易于理解版本）： ###

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首先，字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一个字符与搜索词"ABCDABD"的第一个字符，进行比较。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位。

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因为B与A不匹配，搜索词再往后移。

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就这样，直到字符串有一个字符，与搜索词的第一个字符相同为止。

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接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是相同。

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直到字符串有一个字符，与搜索词对应的字符不相同为止。

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这时，最自然的反应是，将搜索词整个后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效率很差，因为你要把"搜索位置"移到已经比较过的位置，重比一遍。

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一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是"ABCDAB"。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

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怎么做到这一点呢？可以针对搜索词，算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表是如何产生的，后面再介绍，这里只要会用就可以了。

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已知空格与D不匹配时，前面六个字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的"部分匹配值"为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：

> # 移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值 #

因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动4位。

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因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（“AB”），对应的"部分匹配值"为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移2位。

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因为空格与A不匹配，继续后移一位。

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逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动4位。

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逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动7位，这里就不再重复了。

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下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。

首先，要了解两个概念：“前缀"和"后缀”。 "前缀"指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；"后缀"指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

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"部分匹配值"就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度。以"ABCDABD"为例，

> －　"A"的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；
> 
> －　"AB"的前缀为\[A\]，后缀为\[B\]，共有元素的长度为0；
> 
> －　"ABC"的前缀为\[A, AB\]，后缀为\[BC, C\]，共有元素的长度0；
> 
> －　"ABCD"的前缀为\[A, AB, ABC\]，后缀为\[BCD, CD, D\]，共有元素的长度为0；
> 
> －　“ABCDA"的前缀为\[A, AB, ABC, ABCD\]，后缀为\[BCDA, CDA, DA, A\]，共有元素为"A”，长度为1；
> 
> －　“ABCDAB"的前缀为\[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA\]，后缀为\[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B\]，共有元素为"AB”，长度为2；
> 
> －　"ABCDABD"的前缀为\[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB\]，后缀为\[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D\]，共有元素的长度为0。

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"部分匹配"的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，“ABCDAB"之中有两个"AB”，那么它的"部分匹配值"就是2（"AB"的长度）。搜索词移动的时候，第一个"AB"向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个"AB"的位置。

\--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

# 推导方式二（难以理解）： #

# next 数组推导： #

实例一： T = ”abcdex“

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实例二： T = ”abcabx“

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实例三： T = ”ababaaaba“

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实例四： T = ”aaaaaaaab“

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算法实现：

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算法改进

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nextval推导

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