数据结构- 串的模式匹配算法：BF和 KMP算法

喜欢ヅ旅行 2022-06-10 00:27 205阅读 0赞

Brute-Force算法的思想

## 1．BF(Brute-Force)算法   ##

Brute-Force算法的基本思想是：

1) 从目标串s 的第一个字符起和模式串t的第一个字符进行比较，若相等，则继续逐个比较后续字符，否则从串s 的第二个字符起再重新和串t进行比较。

2) 依此类推，直至串t 中的每个字符依次和串s的一个连续的字符序列相等，则称模式匹配成功，此时串t的第一个字符在串s 中的位置就是t 在s中的位置，否则模式匹配不成功。

Brute-Force算法的实现

![1340093208_2836.jpg][]

**c语言实现：**

## 2．KMP算法 ##

**2.1 算法思想：**

每当一趟匹配过程中出现字符比较不等时，不需要回溯I指针，而是利用已经的带的“部分匹配”的结果将模式向右滑动尽可能远的一段距离后，继续进行比较。

即尽量利用已经部分匹配的结果信息，尽量让i不要回溯，加快模式串的滑动速度。

![1340096175_5980.jpg][]

需要讨论两个问题：  
①如何由当前部分匹配结果确定模式向右滑动的新比较起点k？  
② 模式应该向右滑多远才是高效率的?

**现在讨论一般情况:**

假设 主串：s: ‘s(1)  s(2) s(3) ……s(n)’ ;  模式串 ：p: ‘p(1)  p(2) p(3)…..p(m)’

现在我们假设 主串第i个字符与模式串的第j(j<=m)个字符‘失配’后，主串第i个字符与模式串的第k(k<j)个字符继续比较。

此时，s(i)≠p(j)：

![1340100465_1763.jpg][]

由此，我们得到关系式：即得到到1 到 ** j -1 **的**"部分匹配"**结果:

** ‘P(1)  P(2) P(3)…..P(j-1)’   =    ’ S(i-j+1)……S(i-1)’**

从而推导出k 到 j- 1位的“部分匹配”：即P**的j-1～j-k＝S前i-1～i- (k -1))位 ****           **** **

**  ‘P(j - k + 1) …..P(j-1)’  =  ’S(i-k+1)S(i-k+2)……S(i-1)’**

由于s(i)≠p(j)，接下来s(i)将与p(k)继续比较，则模式串中的前(k-1)个字符的子串必须满足下列关系式，并且不可能存在  k’>k  满足下列关系式：(k<j)

![1340100519_2337.jpg][]

有关系式： 即(P的前k- 1 ~ 1位＝ S前i-1～i-(k-1) )位 ) ,：

**‘P(1) P(2)  P(3)…..P(k-1)’ = ’S(i-k+1)S(i-k+2)……S(i-1)’**

现在我们把前面总结的关系综合一下,有：

![1340100924_4357.jpg][]

由上，我们得到关系：

**‘p(1)  p(2)  p(3)…..p(k-1)’  =   ‘p(j - k + 1) …..p(j-1)’ **

反之，若模式串中满足该等式的两个子串，则当匹配过程中，主串中的第i 个字符与模式中的第j个字符等时，仅需要将模式向右滑动至模式中的第k个字符和主串中的第i个字符对齐。此时，模式中头k-1个字符的子串 ‘p(1)  p(2)  p(3)…..p(k-1)’  必定与主串中的第i 个字符之前长度为k-1 的子串   ’s(j-k+1)s(j-k+2)……s(j-1)’相等，由此，匹配仅需要从模式中的第 k 个字符与主串中的第 i 个字符比较起 继续进行。      若令 next\[j\] = k ,则next\[j\] 表明当模式中第j个字符与主串中相应字符“失配”时，在模式中需要重新和主串中该字符进行的比较的位置。由此可引出模式串的next函数：

根据模式串P的规律： ** ‘p(1)  p(2)  p(3)…..p(k-1)’  =   ‘p(j - k + 1) …..p(j-1)’ **

由当前失配位置j(已知) ，可以归纳计算新起点k的表达式。

![1340102254_5769.jpg][]  
  
  
由此定义可推出下列模式串next函数值：

![1340102285_4929.jpg][]

模式匹配过程:

![1340102461_3214.jpg][]

**KMP算法的实现:**

第一步，先把模式T所有可能的失配点j所对应的next\[j\]计算出来；

第二步：执行定位函数Index\_kmp（与BF算法模块非常相似）

int KMPindex(SString S, SString T, int pos)
    {
    	if (pos <1 ||  pos > S[0] ) exit(ERROR);
    	int i = pos, j =1;
    	while (i<= S[0] && j <= T[0])
    	{
    		if (S[i] == T[j]) {
    			++i; ++j;
    		} else {
    			j = next[j+1];
    		}
    	}
    	if(j > T[0]) return i - T[0];
    	return ERROR;
    }

完整实现代码：

// Test.cpp : Defines the entry point for the console application.  
    //  
    #include "stdafx.h"  
    #include <stdio.h>  
    #include "stdlib.h"
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    //宏定义    
    #define TRUE   1    
    #define FALSE   0    
    #define OK    1    
    #define ERROR   0  
    
    #define  MAXSTRLEN 100
    
    typedef char	SString[MAXSTRLEN + 1];
    
    void GetNext(SString T, int next[]);
    int KMPindex(SString S, SString T, int pos);
    /************************************************************************/
    /* 
     返回子串T在主串S中第pos位置之后的位置，若不存在，返回0
    */
    /************************************************************************/
    int KMPindex(SString S, SString T, int pos)
    {
    	if (pos <1 ||  pos > S[0] ) exit(ERROR);
    	int i = pos, j =1;
    	int next[MAXSTRLEN];
    	GetNext( T, next);
    	while (i<= S[0] && j <= T[0])
    	{
    		if (S[i] == T[j]) {
    			++i; ++j;
    		} else {
    			j = next[j];
    		}
    	}
    	if(j > T[0]) return i - T[0];
    	return ERROR;
    }
    
    /************************************************************************/
    /*      求子串next[i]值的算法
    */
    /************************************************************************/
    void GetNext(SString T, int next[])
    {  	int j = 1, k = 0;
    	next[1] = 0;
    	while(j < T[0]){
    		if(k == 0 || T[j]==T[k]) {   
    			++j;  ++k;	 next[j] = k;  
    		} else {
    			k = next[k]; 
    		}
    	}
    }
    
    void main(){
    	SString S = {13,'a','b','a','b','c','a','b','c','a','c','b','a','b'};
    	SString T = {5,'a','b','c','a','c'};
    	int pos;
    	pos = KMPindex( S,  T, 1);
    	cout<<"Pos:"<<pos;
    }

**2.2  求串的模式值next\[n\]**

k值仅取决于模式串本身而与相匹配的主串无关。

我们使用递推到方式求next函数：  
1）由定义可知：  
     next\[1\] = 0;  
2)  设 next\[j\] = k ,这个表面在模式串中存在下列关系：  
    **‘P(1)  ….. P(k-1)’  =   ****‘P(j - k + 1) ….. P(j-1)’ **  
    其中k为满足1< k <j的某个值，并且不可能存在k\` > 满足:  
    **‘P(1)  ….. P(k\`-1)’  =   ****‘P(j - k\` + 1) ….. P(j-1)’ **  
    此时next\[j+1\] = ?可能有两种情况：  
   （1） 若Pk = Pj，则表明在模式串中：

**‘P(1) ….. P(k)’  =   ****‘P(j - k + 1) ….. P(j)’ **  
          并且不可能存在k\` > 满足：  **‘P(1) ….. P(k\`)’  =   ****‘P(j - k\` + 1) ….. P(j)’ **  
          即next\[j+1\] = k + 1 推到=》：

next\[j+1\] = next\[j\] + 1;

(2)  若Pk![1340160548_3929.jpg][]Pj 则表明在模式串中：

**‘P(1) ….. P(k)’  ![1340160548_3929.jpg][]   ****‘P(j - k + 1) ….. P(j)’ **  
     此时可把next函数值的问题看成是一个模式匹配的问题，整个模式串即是主串又是模式串，  
     而当前匹配的过程中，已有：

Pj-k+1 = P1， Pj-k+2 = P2，... Pj-1 = Pk-1.  
     则当Pk![1340160548_3929.jpg][]Pj时应将模式向右滑动至以模式中的第next\[k\]个字符和主串中的第 j 个字符相比较。  
     若next\[k\] = k\`,且Pj= Pk\`, 则说明在主串中的第j+1 个字符之前存在一个长度为k\` (即next\[k\])的最长子串，和模式串  
     从首字符其长度为看k\`的子串箱等。即  
       **‘P(1) ….. P(k\`)’  =  ****‘P(j - k\` + 1) ….. P(j)’ **  
     也就是说next\[j+1\] = k\` +1 即  
     next\[j+1\] = next\[k\] + 1  
     同理，若Pj ![1340160548_3929.jpg][]Pk\` ,则将模式继续向右滑动直至将模式串中的第next\[k\`\]个字符和Pj对齐，  
     ... ,一次类推，直至Pj和模式中某个字符匹配成功或者不存在k\`(1< k\` < j)满足，则:  
     next\[j+1\] =1;

![1340160974_2560.jpg][]

/************************************************************************/
    /*      求子串next[i]值的算法
    */
    /************************************************************************/
    void GetNext(SString T, int next[])
    {  	int j = 1, k = 0;
    	next[1] = 0;
    	while(j < T[0]){
    		if(k == 0 || T[j]==T[k]) {   
    			++j;  ++k;	 next[j] = k;  
    		} else {
    			k = next[k]; 
    		}
    	}
    }

next  函数值究竟是什么含义，前面说过一些，这里总结。

设在字符串 S 中查找模式串 T ，若 S\[m\]!=T\[n\], 那么，取 T\[n\] 的模式函数值 next\[n\],

1.         next\[n\] = 0  表示 S\[m\] 和 T\[1\] 间接比较过了，不相等，下一次比较  S\[m+1\]  和 T\[1\]

2.         next\[n\] =1  表示比较过程中产生了不相等，下一次比较  S\[m\]  和 T\[1\] 。

3.         next\[n\] = k >1  但 k<n,  表示 ,S\[m\] 的前 k 个字符与 T 中的开始 k 个字符已经间接比较相等了，下一次比较 S\[m\] 和 T\[k\] 相等吗？

4.         其他值，不可能。

注意：

（1）k值仅取决于模式串本身而与相匹配的主串无关。

（2）k值为模式串从头向后及从j向前的两部分的最大相同子串的长度。

（3）这里的两部分子串可以有部分重叠的字符，但不可以全部重叠。

next\[j\]函数表征着模式P中最大相同前缀子串和后缀子串（真子串）的长度。

可见，模式中相似部分越多，则next\[j\]函数越大，它既表示模式T字符之间的相关度越高，也表示j位置以前与主串部分匹配的字符数越多。

即：next\[j\]越大，模式串向右滑动得越远，与主串进行比较的次数越少，时间复杂度就越低（时间效率）。

[1340093208_2836.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201206/19/1340093208_2836.jpg
[1340096175_5980.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201206/19/1340096175_5980.jpg
[1340100465_1763.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201206/19/1340100465_1763.jpg
[1340100519_2337.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201206/19/1340100519_2337.jpg
[1340100924_4357.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201206/19/1340100924_4357.jpg
[1340102254_5769.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201206/19/1340102254_5769.jpg
[1340102285_4929.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201206/19/1340102285_4929.jpg
[1340102461_3214.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201206/19/1340102461_3214.jpg
[1340160548_3929.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201206/20/1340160548_3929.jpg
[1340160974_2560.jpg]: https://img-my.csdn.net/uploads/201206/20/1340160974_2560.jpg