题目

转眼到了收获的季节，由于有TT的专业指导，Lele获得了大丰收。特别是水果，Lele一共种了N种水果，有苹果，梨子，香蕉，西瓜……不但味道好吃，样子更是好看。

于是，很多人们慕名而来，找Lele买水果。

甚至连大名鼎鼎的HDU ACM总教头 lcy 也来了。lcy抛出一打百元大钞，“我要买由M个水果组成的水果拼盘，不过我有个小小的要求，对于每种水果，个数上我有限制，既不能少于某个特定值，也不能大于某个特定值。而且我不要两份一样的拼盘。你随意搭配，你能组出多少种不同的方案，我就买多少份！”

现在就请你帮帮Lele，帮他算一算到底能够卖出多少份水果拼盘给lcy了。

注意，水果是以个为基本单位，不能够再分。对于两种方案，如果各种水果的数目都相同，则认为这两种方案是相同的。

最终Lele拿了这笔钱，又可以继续他的学业了～

输入输出

输入

本题目包含多组测试，请处理到文件结束(EOF)。
每组测试第一行包括两个正整数N和M(含义见题目描述，0<N,M<=100)
接下来有N行水果的信息，每行两个整数A,B(0<=A<=B<=100)，表示至少要买该水果A个，至多只能买该水果B个。

输出

对于每组测试，在一行里输出总共能够卖的方案数。
题目数据保证这个答案小于10^9

思路

母函数的应用
对于每种水果 f r u i t i fruit_i fruiti 的上下界设为 a i , b i a_i, b_i ai,bi 并设 c i = b i − a i + 1 c_i = b_i-a_i+1 ci=bi−ai+1
则母函数可以写为
∏ i = 1 n ( x a i + x a i + 1 + . . . + a b i ) \prod_{i=1}^n(x^{a_i}+x^{a_i+1}+…+a^{b_i}) ∏i=1n(xai+xai+1+…+abi)
化简 (等比数列求和) 为
∏ i = 1 n ( x a i 1 − x c i 1 − x ) \prod_{i=1}^n(x^{a_i}\frac{1-x^{c_i}}{1-x}) ∏i=1n(xai1−x1−xci)
进一步化简为
x ∑ i = 1 n a i × ∏ i = 1 n ( 1 − x c i ) × ∑ i = 1 n ( C n − 1 + i i x i ) x^{\sum_{i=1}^n a^i}\times \prod_{i=1}^n (1-x^{c_i}) \times \sum_{i=1}^n(C_{n-1+i}^ix^i) x∑i=1nai×∏i=1n(1−xci)×∑i=1n(Cn−1+iixi)
问题要求上式中 x m x^m xm 的系数
上式可以分为三部分, 左边部分直接累加得到, 即
设 t o t a l = ∑ i = 1 n a i total=\sum_{i=1}^na^i total=∑i=1nai
那么原问题等价于求
f ( x ) = ∏ i = 1 n ( 1 − x c i ) × ∑ i = 1 n ( C n − 1 + i i x i ) f(x)= \prod_{i=1}^n (1-x^{c_i}) \times \sum_{i=1}^n(C_{n-1+i}^ix^i) f(x)=∏i=1n(1−xci)×∑i=1n(Cn−1+iixi) 中
x m − t o t a l x^{m-total} xm−total的系数
对于累乘项 ∏ i = 1 n ( 1 − x c i ) \prod_{i=1}^n (1-x^{c_i}) ∏i=1n(1−xci), 直接暴力展开 (因为 m − t o t a l ≤ 100 m-total \le 100 m−total≤100, 所以最多循环 m × 100 m\times100 m×100 次, 可以接受)
对于累加项 ∑ i = 1 n ( C n − 1 + i i x i ) \sum_{i=1}^n(C_{n-1+i}^ix^i) ∑i=1n(Cn−1+iixi), 由于问题没有要求取模, 所以没法用阶乘来算 (因为最高需要 200 的阶乘), 所以我使用杨辉三角来建表计算.

代码 (C 语言)

#include <stdio.h>
#include <string.h>
long long coeff[101];
long long temp[101];
long long c[100][100];
int m, n;
long long mom(int i) { 
    return c[n+i-1][i];
}
int main() { 
    // 杨辉三角建表
    for (int i = 0; i <= 100; i++) { 
        c[i][0] = c[i][i] = 1;
        if (i < 2) continue;
        for (int j = 1; j < i; j++) c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
    }
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) { 
        int total = 0;
        memset(coeff, 0, sizeof(coeff));
        coeff[0] = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) { 
            int from, to;
            scanf("%d%d", &from, &to);
            total += from;    
            int count = to - from + 1;
            // 暴力展开累乘项中每一个项的系数
            for (int k = 0; k <= 100; k++) temp[k] = coeff[k];
            for (int k = 0; k + count <= 100; k++) temp[k+count] += -1 * coeff[k];
            for (int k = 0; k <= 100; k++) coeff[k] = temp[k];
        }
        int need = m - total;
        long long ans = 0;
        for (int j = 0; j <= need; j++) { 
            ans += coeff[j] * mom(need-j);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
}