红黑树 Myth丶恋晨 2022-02-24 07:30 368阅读 0赞 ## 红黑树 ## R-B Tree,全称是Red-Black Tree,又称为“红黑树”,它一种特殊的二叉查找树。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色,可以是红(Red)或黑(Black)。 红黑树的特性: (1)每个节点或者是黑色,或者是红色。 (2)根节点是黑色。 (3)每个叶子节点(NIL)是黑色。 \[注意:这里叶子节点,是指为空(NIL或NULL)的叶子节点!\] (4)如果一个节点是红色的,则它的子节点必须是黑色的。 (5)从一个节点到该节点的后代叶子节点的所有路径上包含相同数目的黑节点。 注意: (01) 特性(3)中的叶子节点,是只为空(NIL或null)的节点。 (02) 特性(5),确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍。因而,红黑树是相对是接近平衡的二叉树。 (04)知,黑色父节点的子节点可以是黑色或红色,没限制。还知道,红色子节点的父节点一定是黑色。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70] 红黑树是一种弱平衡二叉树(由于是弱平衡,可以看到,在相同的节点情况下,AVL树的高度低于红黑树),相对于要求严格的AVL树来说,它的旋转次数少,所以对于搜索,插入,删除操作较多的情况下,我们就用红黑树。 ## 应用 ## 红黑树的应用比较广泛,主要是用它来存储有序的数据,它的时间复杂度是O(lgn),效率非常之高。 1,广泛用于C ++的STL中,地图和集都是用红黑树实现的; 2,着名的Linux的的进程调度完全公平调度程序,用红黑树管理进程控制块,进程的虚拟内存区域都存储在一颗红黑树上,每个虚拟地址区域都对应红黑树的一个节点,左指针指向相邻的地址虚拟存储区域,右指针指向相邻的高地址虚拟地址空间; 3,IO多路复用的epoll的的的实现采用红黑树组织管理的的的sockfd,以支持快速的增删改查; 4,Nginx的的的中用红黑树管理定时器,因为红黑树是有序的,可以很快的得到距离当前最小的定时器; 5,Java的的的TreeSet和TreeMap中的中的实现; 红黑树的时间复杂度为: O(lgn) 定理:一棵含有n个节点的红黑树的高度至多为2log(n+1). 我们用抽象数据类型表示红黑树的节点,使用指针保存节点之间的相互关系。 作为红黑树节点,其基本属性有:节点的颜色、左子节点指针、右子节点指针、父节点指针、节点的值。 ## 插入 ## 将一个节点插入到红黑树中,需要执行哪些步骤呢? 首先,将红黑树当作一颗二叉查找树,将节点插入; 然后,将节点着色为红色; 最后,通过旋转和重新着色等方法来修正该树,使之重新成为一颗红黑树 添加算法 RB-INSERT(T, z) y ← nil[T] // 新建节点“y”,将y设为空节点。 x ← root[T] // 设“红黑树T”的根节点为“x” while x ≠ nil[T] // 找出要插入的节点“z”在二叉树T中的位置“y” do y ← x if key[z] < key[x] then x ← left[x] else x ← right[x] p[z] ← y // 设置 “z的父亲” 为 “y” if y = nil[T] then root[T] ← z // 情况1:若y是空节点,则将z设为根 else if key[z] < key[y] then left[y] ← z // 情况2:若“z所包含的值” < “y所包含的值”,则将z设为“y的左孩子” else right[y] ← z // 情况3:(“z所包含的值” >= “y所包含的值”)将z设为“y的右孩子” left[z] ← nil[T] // z的左孩子设为空 right[z] ← nil[T] // z的右孩子设为空。至此,已经完成将“节点z插入到二叉树”中了。 color[z] ← RED // 将z着色为“红色” RB-INSERT-FIXUP(T, z) // 通过RB-INSERT-FIXUP对红黑树的节点进行颜色修改以及旋转,让树T仍然是一颗红黑树 如果父节点是红色,需要修正 1.(Case 1)叔叔是红色 处理策略 (01) 将“父节点”设为黑色。 (02) 将“叔叔节点”设为黑色。 (03) 将“祖父节点”设为“红色”。 (04) 将“祖父节点”设为“当前节点”(红色节点);即,之后继续对“当前节点”进行操作。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 1] 2. (Case 2)叔叔是黑色或者没有叔叔,且当前节点是右孩子 处理策略 (01) 将“父节点”作为“新的当前节点”。 (02) 以“新的当前节点”为支点进行左旋。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 2] 3.(Case 3)叔叔是黑色或者没有叔叔,且当前节点是左孩子 处理策略 (01) 将“父节点”设为“黑色”。 (02) 将“祖父节点”设为“红色”。 (03) 以“祖父节点”为支点进行右旋。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 3] ## 删除 ## 这和"删除常规二叉查找树中删除节点的方法是一样的"。分3种情况: ① 被删除节点没有儿子,即为叶节点。那么,直接将该节点删除就OK了。 ② 被删除节点只有一个儿子。那么,直接删除该节点,并用该节点的唯一子节点顶替它的位置。 ③ 被删除节点有两个儿子。那么,先找出它的后继节点;然后把“它的后继节点的内容”复制给“该节点的内容”;之后,删除“它的后继节点”。在这里,后继节点相当于替身,在将后继节点的内容复制给"被删除节点"之后,再将后继节点删除。这样就巧妙的将问题转换为"删除后继节点"的情况了,下面就考虑后继节点。 在"被删除节点"有两个非空子节点的情况下,它的后继节点不可能是双子非空。既然"的后继节点"不可能双子都非空,就意味着"该节点的后继节点"要么没有儿子,要么只有一个儿子。若没有儿子,则按"情况① "进行处理;若只有一个儿子,则按"情况② "进行处理。 如果删除节点是黑色的,需要修正: ① 情况说明:x是“红+黑”节点。 处理方法:直接把x设为黑色,结束。此时红黑树性质全部恢复。 ② 情况说明:x是“黑+黑”节点,且x是根。 处理方法:什么都不做,结束。此时红黑树性质全部恢复。 ③ 情况说明:x是“黑+黑”节点,且x不是根。 处理方法:这种情况又可以划分为4种子情况。这4种子情况如下表所示: 1.(Case 1)x是"黑+黑"节点,x的兄弟节点是红色 处理策略 (01) 将x的兄弟节点设为“黑色”。 (02) 将x的父节点设为“红色”。 (03) 对x的父节点进行左旋。 (04) 左旋后,重新设置x的兄弟节点。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 4] 2. (Case 2) x是"黑+黑"节点,x的兄弟节点是黑色,x的兄弟节点的两个孩子都是黑色 处理策略 (01) 将x的兄弟节点设为“红色”。 (02) 设置“x的父节点”为“新的x节点”。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 5] 3.(Case 3)x是“黑+黑”节点,x的兄弟节点是黑色;x的兄弟节点的左孩子是红色,右孩子是黑色的 处理策略 (01) 将x兄弟节点的左孩子设为“黑色”。 (02) 将x兄弟节点设为“红色”。 (03) 对x的兄弟节点进行右旋。 (04) 右旋后,重新设置x的兄弟节点。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 6] 4. (Case 4)x是“黑+黑”节点,x的兄弟节点是黑色;x的兄弟节点的右孩子是红色的,x的兄弟节点的左孩子任意颜色 处理策略 (01) 将x父节点颜色 赋值给 x的兄弟节点。 (02) 将x父节点设为“黑色”。 (03) 将x兄弟节点的右子节设为“黑色”。 (04) 对x的父节点进行左旋。 (05) 设置“x”为“根节点”。 ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 7] [watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220224/bdd32f41f8154c389ff840abacf30731.png [watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20220224/9675d0ee3b2b4b9c84cae6559783cb69.png [watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20220224/c487c71e2ef248b6b85b72035f98b209.png [watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20220224/df95db9efebe49de9d28acf9b2b06478.png [watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20220224/6c2c52c9a7644385a276291e97f20250.png [watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20220224/48f63c583c1a461d83caa4f1d9822848.png [watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: /images/20220224/a9560a34b97a4c95a17b861193a092d3.png [watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L21pbmd3dWxpcG8_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]: /images/20220224/d25a235d6bca4feea605dc5e1bdc5dba.png
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