关于八皇后问题以及回溯递归思想

约定不等于承诺〃 2022-03-01 05:39 239阅读 0赞

作者：Stephen\_Xie  
链接：https://www.jianshu.com/p/65c8c60b83b8  
来源：简书

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**国际象棋中的皇后比中国象棋里的大车还厉害，皇后能横向，纵向和斜向移动，在这三条线上的其他棋子都可以被吃掉。所谓八皇后问题就是：将八位皇后放在一张8x8的棋盘上，使得每位皇后都无法吃掉别的皇后，（即任意两个皇后都不在同一条横线，竖线和斜线上），问一共有多少种摆法。此问题是在1848年由棋手马克思·贝瑟尔提出的，后面陆续有包括高斯等大数学家们给出自己的思考和解法，所以此问题不只是有年头了，简直比82年的拉菲还有年头，我们今天不妨尝尝这老酒。**

**我们先举例来理解一下这个问题的场景到底是什么样子的，下面的绿色格子是一个皇后在棋盘上的“封锁范围”，其他的皇后不能放置在这些绿格子中：**

![format_png][] 一个皇后的封锁范围

**我们再放入一个皇后，看一下两个皇后的“封锁范围”（绿格子不能放）：**

![format_png 1][] 两个皇后的封锁范围

**如此继续下去，能安放下一位皇后的位置越来越少，那么我们最终如何能安放完这8位皇后呢？**

**首先我们看一下特别暴力的方法：从8x8的格子里选8个格子，放皇后，然后测试是否满足条件，若满足则结果加1，否则换8个格子继续试。很显然，64选8，并不是个小数字，十亿级别的次数，够暴力。如果换成围棋的棋盘，画面就会太美而不敢算。**

**稍加分析，我们可以得到另一个不那么暴力的方法：显然，每行每列最多只能有一位皇后，如果基于这个事实再进行暴力破解，那结果会好很多。安排皇后时，第一行有8种选法，一旦第一行选定，假设选为（1，i），那么第二行只能选（2，j），其中，j不等于i，所以有7种选法。以此类推，需要穷举的情况有8！=40320种，比十亿级别的小很多了。**

**这看起来已经不错了，但尝试的次数还是随着问题规模按阶乘水平提高的，我们仍然不满意，所以，“递归回溯”的思想就被提出了，专治这种问题。**

**为了理解“递归回溯”的思想，我们不妨先将4位皇后打入冷宫，留下剩下的4位安排进4x4的格子中且不能互相打架，有多少种安排方法呢？如果按照上面方式穷举，需要4！=24次尝试吗？**

**现在我们把第一个皇后放在第一个格子，被涂黑的地方是不能放皇后的：**

![format_png 2][] 放第1个皇后

**第二行的皇后只能放在第三格或第四格，比如我们放在第三格：**

![format_png 3][] 放第2个皇后

**这样一来前面两位皇后已经把第三行全部锁死了，第三位皇后无论放在第三行的哪里都难逃被吃掉的厄运。于是在第一个皇后位于第一格，第二个皇后位于第三格的情况下此问题无解。所以我们只能返回上一步，来给2号皇后换个位置：**

![format_png 4][] 给2号皇后换个位置

**此时，第三个皇后只有一个位置可选。当第三个皇后占据第三行蓝色空位时，第四行皇后无路可走，于是发生错误，则返回上层调整3号皇后，而3号皇后也别无可去，继续返回上层调整2号皇后，而2号皇后已然无路可去，则再继续返回上层调整1号皇后，于是1号皇后往后移一格位置如下，再继续往下安排：**

![format_png 5][] 回溯重新安排1号皇后

**上面的图例正是回溯递归思想的展现，然而知易行难，在代码中我们怎样来实现这种算法呢？实现的代码有很多种，我们找一个最简单的来举例吧：**

![format_png 6][]

**我们来重点看一下这段代码（这段代码虽短，但真的非常非常重要，是整个算法的核心和灵魂）：**

**第一次进来，row=0，意思是要在第一行摆皇后，只要传进来的row参数不是8，表明还没出结果，就都不会走if里面的return，那么就进入到for循环里面，column从0开始，即第一列。此时第一行第一列肯定合乎要求（即check方法肯定通过），能放下皇后，因为还没有任何其他皇后来干扰。**

**关键是check方法通过了之后，在if里面又会调用一下自己（即递归），row加了1，表示摆第二行的皇后了。第二行的皇后在走for循环的时候，分两种情况:**

**第一种情况：for循环没走到头时就有通过check方法的了，那么这样就顺理成章地往下走再调用一下自己（即再往下递归），row再加1（即摆第三行的皇后了，以此类推）。**

**第二种情况：for循环走到头了都没有通过check方法的，说明第二行根本一个皇后都摆不了，也触发不了递归，下面的第三行等等后面的就更不用提了，此时控制第一行皇后位置的for循环column加1，即第一行的皇后往后移一格，即摆在第一行第二列的位置上，然后再往下走，重复上述逻辑。**

**注意，一定要添加清零的代码，它只有在皇后摆不下去的时候会执行 清0 的动作（避免脏数据干扰），如果皇后摆放很顺利的话从头到尾是不会走这个清0 的动作的，因为已经提前走if里面的return方法结束了。**

**总之，这段核心代码很绕，原理一定要想通，想个十几二十遍差不多就能理解其中的原理了，递归回溯的思想也就不言而喻了。八皇后问题一共有92种情况，下面是用Java实现的完整代码：**

package com.csu.test;
    
    public class Test {
    	public static int[][] arry = new int[8][8];// 棋盘，放皇后
    	public static int map = 0;// 存储方案结果数量
    
    	public static void main(String[] args) {
    		System.out.println("八皇后问题");
    		findQueen(0);
    		System.out.println("八皇后问题共有：" + map + "种可能");
    	}
    
    	public static void findQueen(int i) {// 寻找皇后节点
    		// 因为i从0开始，所以当i=8时，说明棋盘的8行都已经找到位置放皇后，即得到了一个八皇后问题的解
    		if (i > 7) { // 八皇后的解
    			map++; // 解的个数+1
    			print();// 打印八皇后的解
    			return;
    		}
    
    		for (int m = 0; m < 8; m++) {// 深度回溯,递归算法
    			if (check(i, m)) {// 检查皇后摆放是否合适
    				arry[i][m] = 1; //在(i,m)处，摆放一个皇后。
    				findQueen(i + 1);// 基于当前的摆放，往下一行查找解。
    				// 执行到这个位置，说明基于(i,m)处摆放了皇后的查找，已经完成了
    				// 因为一行只能摆放一个皇后，所以尝试在当前行的下一列处摆放皇后时，我们要把当前摆放的皇后给取消
    				arry[i][m] = 0;// 清零，以免回溯的时候出现脏数据!!!
    			}
    			// 这一轮for循环执行到这里，说明当第i行的这一列已经不能递归下去找到最终解了。
    			// 所以要往后移一列，看下一个皇后摆放位置能找出多少个最终解出来。
    		}
    	}
    
    	// 检查纵向和斜向是否冲突。水平方向不需要检查，因为这些棋子在不同的行
    	public static boolean check(int k, int j) {// 判断节点是否合适
    		for (int i = 0; i < 8; i++) {// 检查纵向这一列是否冲突。
    
    			if (arry[i][j] == 1) {
    				// 若j这一列已经摆放了一颗皇后，说明这个位子不能放新的皇后。
    				return false;
    			}
    		}
    		for (int i = k - 1, m = j - 1; i >= 0 && m >= 0; i--, m--) {// 检查左斜向对角线
    			// 检查该点左斜上方的线。该点下面的行还没有放棋子，所以不用检查了。
    			if (arry[i][m] == 1) {
    				return false;
    			}
    		}
    		for (int i = k - 1, m = j + 1; i >= 0 && m <= 7; i--, m++) {// 检查右斜向对角线
    			// 检查该点右斜上方的线。该点下面的行还没有放棋子，所以不用检查了。
    			if (arry[i][m] == 1) {
    				return false;
    			}
    		}
    		return true;
    	}
    
    	public static void print() {// 打印结果
    		System.out.print("方案" + map + ":" + "\n");
    		for (int i = 0; i < 8; i++) {
    			for (int m = 0; m < 8; m++) {
    				if (arry[i][m] == 1) {
    					// System.out.print("皇后"+(i+1)+"在第"+i+"行，第"+m+"列\t");
    					System.out.print("o ");
    				} else {
    					System.out.print("+ ");
    				}
    			}
    			System.out.println();
    		}
    		System.out.println();
    	}
    }

执行结果如下：

八皇后问题
    方案1:
    o + + + + + + + 
    + + + + o + + + 
    + + + + + + + o 
    + + + + + o + + 
    + + o + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + o + + + + + + 
    + + + o + + + + 
    
    方案2:
    o + + + + + + + 
    + + + + + o + + 
    + + + + + + + o 
    + + o + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + + o + + + + 
    + o + + + + + + 
    + + + + o + + + 
    
    方案3:
    o + + + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + + o + + + + 
    + + + + + o + + 
    + + + + + + + o 
    + o + + + + + + 
    + + + + o + + + 
    + + o + + + + + 
    
    方案4:
    o + + + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + + + o + + + 
    + + + + + + + o 
    + o + + + + + + 
    + + + o + + + + 
    + + + + + o + + 
    + + o + + + + + 
    
    方案5:
    + o + + + + + + 
    + + + o + + + + 
    + + + + + o + + 
    + + + + + + + o 
    + + o + + + + + 
    o + + + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + + + o + + + 
    
    方案6:
    + o + + + + + + 
    + + + + o + + + 
    + + + + + + o + 
    o + + + + + + + 
    + + o + + + + + 
    + + + + + + + o 
    + + + + + o + + 
    + + + o + + + + 
    
    方案7:
    + o + + + + + + 
    + + + + o + + + 
    + + + + + + o + 
    + + + o + + + + 
    o + + + + + + + 
    + + + + + + + o 
    + + + + + o + + 
    + + o + + + + + 
    
    方案8:
    + o + + + + + + 
    + + + + + o + + 
    o + + + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + + o + + + + 
    + + + + + + + o 
    + + o + + + + + 
    + + + + o + + + 
    
    方案9:
    + o + + + + + + 
    + + + + + o + + 
    + + + + + + + o 
    + + o + + + + + 
    o + + + + + + + 
    + + + o + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + + + o + + + 
    
    方案10:
    + o + + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + o + + + + + 
    + + + + + o + + 
    + + + + + + + o 
    + + + + o + + + 
    o + + + + + + + 
    + + + o + + + + 
    
    方案11:
    + o + + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + + + o + + + 
    + + + + + + + o 
    o + + + + + + + 
    + + + o + + + + 
    + + + + + o + + 
    + + o + + + + + 
    
    方案12:
    + o + + + + + + 
    + + + + + + + o 
    + + + + + o + + 
    o + + + + + + + 
    + + o + + + + + 
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    + + + + + + o + 
    + + + o + + + + 
    
    方案13:
    + + o + + + + + 
    o + + + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + + + o + + + 
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    方案14:
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    + o + + + + + + 
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    o + + + + + + + 
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    + + + o + + + + 
    + + + + + o + + 
    
    方案15:
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    + + + + o + + + 
    + o + + + + + + 
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    o + + + + + + + 
    
    方案16:
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    方案17:
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    o + + + + + + + 
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    方案18:
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    方案19:
    + + o + + + + + 
    + + + + + o + + 
    + o + + + + + + 
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    o + + + + + + + 
    + + + o + + + + 
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    方案20:
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    + o + + + + + + 
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    + + + + o + + + 
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    + + + + + + + o 
    + + + o + + + + 
    
    方案21:
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    o + + + + + + + 
    + + + + + + + o 
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    + o + + + + + + 
    
    方案22:
    + + o + + + + + 
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    + + + o + + + + 
    + o + + + + + + 
    + + + + + + + o 
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    o + + + + + + + 
    
    方案23:
    + + o + + + + + 
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    + + + + + + + o 
    o + + + + + + + 
    + + + o + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + + + o + + + 
    + o + + + + + + 
    
    方案24:
    + + o + + + + + 
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    + + + + + + + o 
    o + + + + + + + 
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    + o + + + + + + 
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    方案25:
    + + o + + + + + 
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    + + + + + + + o 
    + o + + + + + + 
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    o + + + + + + + 
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    + + + + o + + + 
    
    方案26:
    + + o + + + + + 
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    + o + + + + + + 
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    o + + + + + + + 
    + + + o + + + + 
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    方案27:
    + + o + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + o + + + + + + 
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    + + + o + + + + 
    o + + + + + + + 
    + + + + o + + + 
    
    方案28:
    + + o + + + + + 
    + + + + + + + o 
    + + + o + + + + 
    + + + + + + o + 
    o + + + + + + + 
    + + + + + o + + 
    + o + + + + + + 
    + + + + o + + + 
    
    方案29:
    + + + o + + + + 
    o + + + + + + + 
    + + + + o + + + 
    + + + + + + + o 
    + o + + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + o + + + + + 
    + + + + + o + + 
    
    方案30:
    + + + o + + + + 
    o + + + + + + + 
    + + + + o + + + 
    + + + + + + + o 
    + + + + + o + + 
    + + o + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + o + + + + + + 
    
    方案31:
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    + o + + + + + + 
    + + + + o + + + 
    + + + + + + + o 
    + + + + + o + + 
    o + + + + + + + 
    + + o + + + + + 
    + + + + + + o + 
    
    方案32:
    + + + o + + + + 
    + o + + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + o + + + + + 
    + + + + + o + + 
    + + + + + + + o 
    o + + + + + + + 
    + + + + o + + + 
    
    方案33:
    + + + o + + + + 
    + o + + + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + o + + + + + 
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    + + + + + + + o 
    + + + + o + + + 
    o + + + + + + + 
    
    方案34:
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    + o + + + + + + 
    + + + + + + o + 
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    o + + + + + + + 
    + + + + + + + o 
    + + + + + o + + 
    + + o + + + + + 
    
    方案35:
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    + o + + + + + + 
    + + + + + + + o 
    + + + + o + + + 
    + + + + + + o + 
    o + + + + + + + 
    + + o + + + + + 
    + + + + + o + + 
    
    方案36:
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    o + + + + + + + 
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    方案37:
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    o + + + + + + + 
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    方案38:
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    方案39:
    + + + o + + + + 
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    + o + + + + + + 
    
    方案40:
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    o + + + + + + + 
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    方案41:
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    o + + + + + + + 
    + + + + + o + + 
    
    方案42:
    + + + o + + + + 
    + + + + + + o + 
    + + + + o + + + 
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    o + + + + + + + 
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    + + + + + + + o 
    
    方案43:
    + + + o + + + + 
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    o + + + + + + + 
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    + + + + + + + o 
    + o + + + + + + 
    
    方案44:
    + + + o + + + + 
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    方案45:
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    方案46:
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    方案47:
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    方案48:
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    方案49:
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    方案52:
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    八皇后问题共有：92种可能

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