MIT_单变量微积分_17

古城微笑少年丶 2022-03-06 04:10 169阅读 0赞

### 1.微积分第一基本定理 ###

`注释：`  
如果 F ′ ( x ) = f ( x ) F&\#x27;(x)=f(x) F′(x)=f(x),则 ∫ a b f ( x ) d x = F ( a ) − F ( b ) = F ( x ) ∣ a b \\int\_a^bf(x)dx=F(a)-F(b)=F(x)|\_a^b ∫abf(x)dx=F(a)−F(b)=F(x)∣ab

`Ex:` F ( x ) = x 3 3 F(x)=\\frac\{x^3\}\{3\} F(x)=3x3

F ′ ( x ) = x 2 = f ( x ) , ∫ a b f ( x ) d x = F ( a ) − F ( b ) = b 3 3 − a 3 3 F&\#x27;(x)=x^2=f(x),\\int\_a^bf(x)dx=F(a)-F(b)=\\frac\{b^3\}\{3\}-\\frac\{a^3\}\{3\} F′(x)=x2=f(x),∫abf(x)dx=F(a)−F(b)=3b3−3a3

当 a = 0 时 , ∫ a b x 2 d x = x 3 3 ∣ 0 b = b 3 3 当a= 0时,\\int\_a^bx^2dx=\\frac\{x^3\}\{3\}|\_0^b=\\frac\{b^3\}\{3\} 当a=0时,∫abx2dx=3x3∣0b=3b3

`Ex:`求 s i n x 函 数 与 x 轴 的 阴 影 面 积 。 （ 0 − > π ） sinx函数与x轴的阴影面积。（0->\\pi） sinx函数与x轴的阴影面积。（0−>π）  
 ∫ 0 π s i n x d x = ( − c o s π ) ∣ 0 π = 1 + 1 = 2 \\int\_0^\\pi sinxdx=(-cos \\pi)|\_0^\\pi = 1+1=2 ∫0πsinxdx=(−cosπ)∣0π=1\+1=2

### 2.定积分的几何意义： ###

x轴上方面积 − - −x轴下方面积。

### 3.性质 ###

*   ∫ a b ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x \\int\_a^b(f(x) +g(x))dx=\\int\_a^bf(x)dx+\\int\_a^bg(x)dx ∫ab(f(x)\+g(x))dx=∫abf(x)dx\+∫abg(x)dx
 *   ∫ a b C f ( x ) d x = C ∫ a b f ( x ) d x \\int\_a^bCf(x)dx=C\\int\_a^bf(x)dx ∫abCf(x)dx=C∫abf(x)dx
 *   ∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x \\int\_a^bf(x)dx+\\int\_b^cf(x)dx=\\int\_a^cf(x)dx ∫abf(x)dx\+∫bcf(x)dx=∫acf(x)dx
 *   ∫ a a f ( x ) d x = 0 \\int\_a^af(x)dx=0 ∫aaf(x)dx=0
 *   ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x \\int\_a^bf(x)dx=-\\int\_b^af(x)dx ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
 *  积分估计：

如果 f ( x ) > g ( x ) f(x)>g(x) f(x)>g(x),则 ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x ( a < b ) \\int\_a^bf(x)dx\\leq\\int\_a^bg(x)dx(a<b) ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx(a<b)

`Ex:` e x ≥ 1 ， x ≥ 0 e^x\\geq 1，x \\geq 0 ex≥1，x≥0.  
 ∫ a b e x d x ≥ ∫ a b 1 d x \\int\_a^be^xdx \\geq \\int\_a^b1dx ∫abexdx≥∫ab1dx  
 e b − 1 ≥ b e^b-1 \\geq b eb−1≥b  
 e b ≥ 1 + b e^b \\geq 1+b eb≥1\+b

`Ex:` e x ≥ 1 + x , x ≥ 0 e^x \\geq1+x,x \\geq0 ex≥1\+x,x≥0  
 ∫ 0 b e x d x ≥ ∫ 0 b ( 1 + x ) d x \\int\_0^be^xdx \\geq \\int\_0^b(1+x)dx ∫0bexdx≥∫0b(1\+x)dx  
 e b − 1 ≥ b + b 2 2 e^b-1 \\geq b+\\frac\{b^2\}\{2\} eb−1≥b\+2b2  
 e b ≥ b + 1 + b 2 2 e^b\\geq b+1+\\frac\{b^2\}\{2\} eb≥b\+1\+2b2

*  变量替换：

∫ u 1 u 2 g ( u ) = ∫ x 1 x 2 g ( u ( x ) ) u ′ ( x ) d x \\int\_\{u\_1\}^\{u\_2\}g(u)=\\int\_\{x\_1\}^\{x\_2\}g(u(x))u&\#x27;(x)dx ∫u1u2g(u)=∫x1x2g(u(x))u′(x)dx

`Ex:` ∫ 1 2 ( x 3 + 2 ) 5 x 2 d x \\int\_1^2(x^3+2)^5x^2dx ∫12(x3\+2)5x2dx

令 u = x 2 + 2 , d u = 3 x 2 u=x^2+2,du=3x^2 u=x2\+2,du=3x2  
原式 = ∫ 3 10 u 5 1 3 d u =\\int\_3^\{10\}u^5\\frac\{1\}\{3\}du =∫310u531du  
 = 1 18 u 6 ∣ 3 10 = 1 0 6 18 − 3 6 18 =\\frac\{1\}\{18\}u^6|\_3^\{10\}=\\frac\{10^6\}\{18\}-\\frac\{3^6\}\{18\} =181u6∣310=18106−1836

Wanning:  
 ∫ − 1 1 x 2 d x = ≠ ∫ 1 1 u 1 2 u d u = 0 u = x 2 , d u = 2 x d x . d x = d u 2 x \\int\_\{-1\}^\{1\}x^2 dx =\\neq \\int\_1^1u\\frac\{1\}\{2\\sqrt\{u\}\}du=0\\\\ u=x^2,du=2xdx.\\\\ dx=\\frac\{du\}\{2x\} ∫−11x2dx≠=∫11u2u1du=0u=x2,du=2xdx.dx=2xdu

u = x 2 , u ′ ( x ) = 2 x \{ > 0 , ( x > 0 ) < 0 , ( x < 0 ) u=x^2,u&\#x27;(x)=2x \\left\\\{\\begin\{matrix\} & >0, &(x>0) \\\\ & <0, &(x<0) \\end\{matrix\}\\right. u=x2,u′(x)=2x\{ >0,<0,(x>0)(x<0)