MIT_单变量微积分_13

朱雀 2022-03-12 06:16 29阅读 0赞

### 1.中值定理 ###

**公式：**  
 f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( c ) \\frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}=f&\#x27;(c) b−af(b)−f(a)=f′(c)  
**条件：** f f f在 ( b , a ) (b,a) (b,a)内可微，在 \[ a , b \] \[a,b\] \[a,b\]上连续。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70]

**主要推论：(和图像的应用有关。)**

*  当 f ′ > 0 , f 递 增 f&\#x27;>0,f递增 f′>0,f递增。
 *  当 f ′ < 0 , f 递 减 f&\#x27;<0,f递减 f′<0,f递减。
 *  当 f ′ = 0 , f = 常 数 f&\#x27;=0,f=常数 f′=0,f=常数。
 *   f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( c ) f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( c ) ( b − a ) f ( b ) = f ( a ) + f ′ ( c ) ( b − a ) \\frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}=f&\#x27;(c)\\\\ f(b)-f(a)=f&\#x27;(c)(b-a)\\\\ f(b)=f(a)+f&\#x27;(c)(b-a) b−af(b)−f(a)=f′(c)f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b)=f(a)\+f′(c)(b−a)
 *   f ′ ( c ) > 0 ⇒ f ( b ) > f ( a ) f&\#x27;(c)>0 \\Rightarrow f(b)>f(a) f′(c)>0⇒f(b)>f(a)
 *   f ′ ( c ) < 0 ⇒ f ( b ) < f ( a ) f&\#x27;(c)<0 \\Rightarrow f(b)<f(a) f′(c)<0⇒f(b)<f(a)
 *   f ′ ( c ) = 0 ⇒ f ( b ) = f ( a ) f&\#x27;(c)=0 \\Rightarrow f(b)=f(a) f′(c)=0⇒f(b)=f(a)

**和线性近似比较：**

Δ f Δ x ≈ f ′ ( a ) \\frac\{\\Delta f\}\{\\Delta x\} \\approx f&\#x27;(a) ΔxΔf≈f′(a),相当于：平均速度等于初始速度或者最终速度.

Δ f Δ x = f ′ ( c ) \\frac\{\\Delta f\}\{\\Delta x\} = f&\#x27;(c) ΔxΔf=f′(c),相当于：平均速度的范围. m i n ( f ′ ) ⩽ f ( b ) − f ( a ) b − a ⩽ m a x ( f ′ ) min(f&\#x27;)\\leqslant \\frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\} \\leqslant max(f&\#x27;) min(f′)⩽b−af(b)−f(a)⩽max(f′).

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`Ex1:`证明：  e x > 1 + x e^x>1+x ex>1\+x

f ( x ) = e x − ( 1 + x ) f(x) = e^x-(1+x) f(x)=ex−(1\+x)  
 f ( 0 ) = 0 , f ′ ( x ) = e x − 1 > 0 , ( x > 0 ) f(0) = 0,f&\#x27;(x)=e^x-1>0,(x>0) f(0)=0,f′(x)=ex−1>0,(x>0)  
所以： f ( x ) > f ( 0 ) f(x)>f(0) f(x)>f(0)  
所以： e x > ( 1 + x ) e^x>(1+x) ex>(1\+x)  
`Ex2:`证明： e x > 1 + x + x 2 2 e^x>1+x+\\frac\{x^2\}\{2\} ex>1\+x\+2x2

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g ( x ) = e x − ( 1 + x + x 2 2 ) . g(x)=e^x-(1+x+\\frac\{x^2\}\{2\}). g(x)=ex−(1\+x\+2x2).  
 g ( 0 ) = 1 − 1 = 0 , g ′ ( x ) = e x − ( 1 + x ) > 0. g(0)=1-1=0,g&\#x27;(x)=e^x-(1+x)>0. g(0)=1−1=0,g′(x)=ex−(1\+x)>0.  
 g ( x ) > g ( 0 ) g(x)>g(0) g(x)>g(0)  
 e x > 1 + x + x 2 2 e^x>1+x+\\frac\{x^2\}\{2\} ex>1\+x\+2x2

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