概率论第8记：随机变量的数字特征之协方差

向右看齐 2022-03-30 10:26 344阅读 0赞

前面讲了方差，是基于单个随机变量的。现在学习二维随机变量的方差，称为协方差。  
比较一下方差和协方差的定义表达式：  
为了清晰显示，不妨设cx=X-E(X)，cy=Y-E(Y)  
方差：D(X)=E(cx2)  
协方差：COV(X,Y)=E(cx\*cy)  
上面公式继续推导，con(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)  
同时定义一个系数 ρ x y = c o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) \\rho\_\{xy\}=\\frac\{cov\\left(X,Y\\right)\} \{\\sqrt\{D\\left(X\\right)\}\\sqrt\{D\\left(Y\\right)\}\} ρxy=D(X)D(Y)cov(X,Y)，称为X和Y的相关系数。  
怎么理解这个系数呢？  
1我们先假设X=Y，那么他们绝对相关，而且是百分之一百的相关。此时，cov(X,Y)= E ( X 2 ) − E 2 ( X ) E ( X 2 ) − E 2 ( X ) E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = 1 \\frac\{E(X^2)-E^2(X)\}\{\\sqrt\{E(X^2)-E^2(X)\}\\sqrt\{E(X^2)-E^2(X)\}\}=\\frac\{E(X^2)-E^2(X)\}\{E(X^2)-E^2(X)\}=1 E(X2)−E2(X)E(X2)−E2(X)E(X2)−E2(X)=E(X2)−E2(X)E(X2)−E2(X)=1  
2.假设X,Y互不影响，相互独立，那么con(X,Y)=E(XY)-E(Y)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0。也验证了他们相互独立，互不影响  
3.我们假设X，Y存在简单的线性相关：Y=aX+b，推算可得 ρ x y \\rho\_\{xy\} ρxy=1  
证明过程 如下：  
 ρ x y = c o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) \\rho\_\{xy\}=\\frac\{cov\\left(X,Y\\right)\} \{\\sqrt\{D\\left(X\\right)\}\\sqrt\{D\\left(Y\\right)\}\} ρxy=D(X)D(Y)cov(X,Y)= c o v ( X , a X + B ) D ( X ) D ( a X + B ) \\frac\{cov\\left(X,aX+B\\right)\} \{\\sqrt\{D\\left(X\\right)\}\\sqrt\{D\\left(aX+B\\right)\}\} D(X)D(aX\+B)cov(X,aX\+B)  
= E ( X ∗ a X + b ) − E ( X ) ∗ E ( a X + B ) D ( X ) D ( a X + b ) = a E ( X 2 ) + b E ( X ) − a E 2 ( X ) − b E ( X ) D ( X ) a D ( X ) = a D ( X ) a D ( X ) = 1 \\frac\{E(X\\ast aX+b)-E(X)\\ast E(aX+B)\}\{\\sqrt\{D\\left(X\\right)\}\\sqrt\{D\\left(aX+b\\right)\}\}=\\frac\{aE(X^2)+bE(X)-aE^2(X)-bE(X)\}\{\\sqrt\{D\\left(X\\right)\}a\\sqrt\{D\\left(X\\right)\}\}=\\frac\{aD(X)\}\{aD(X)\}=1 D(X)D(aX\+b)E(X∗aX\+b)−E(X)∗E(aX\+B)=D(X)aD(X)aE(X2)\+bE(X)−aE2(X)−bE(X)=aD(X)aD(X)=1  
反过来也说明，如果X和Y线性相关，那么相关系数一定为1  
当系数=0时候，X，Y可能相关也可能不相关，但是至少不存在线性关系。.  
以下内容来自于网友三山音的博文，原文地址：[点击][Link 1]  
4当协方差Cov(X,Y)>0时，称X与Y正相关  
当协方差Cov(X,Y)<0时，称X与Y负相关  
当协方差Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关  
详细内容请点击上面的连接  
从2可以推导出：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)

[Link 1]: https://www.cnblogs.com/sanshanyin/p/5397091.html