[家里蹲大学数学杂志]第409期与正弦对数有关的一个积分不等式

红太狼 2022-04-10 10:05 40阅读 0赞

试证: $$\\bex 0<\\int\_0^\\infty \\frac\{\\sin t\}\{\\ln(1+x+t)\}\\rd t<\\frac\{2\}\{\\ln(1+x)\}. \\eex$$

证明: $$\\beex \\bea \\int\_0^\\infty \\frac\{\\sin t\}\{\\ln(1+x+t)\}\\rd t &=\\sum\_\{k=0\}^\\infty\\sez\{ \\int\_\{2k\\pi\}^\{2k\\pi+\\pi\} \\frac\{\\sin t\}\{\\ln(1+x+t)\}\\rd t +\\int\_\{2k\\pi+\\pi\}^\{2k\\pi+2\\pi\} \\frac\{\\sin t\}\{\\ln(1+x+t)\}\\rd t\}\\\\ &=\\sum\_\{k=0\}^\\infty \\sez\{\\int\_0^\\pi \\frac\{\\sin s\}\{\\ln(1+x+2k\\pi +s)\}\\rd s -\\int\_0^\\pi\\frac\{\\sin s\}\{\\ln(1+x+2k\\pi+\\pi+s)\}\\rd s\}\\\\ &=\\sum\_\{k=0\}^\\infty \\int\_0^\\pi \\sin s\\sez\{ \\frac\{1\}\{\\ln(1+x+2k\\pi+s)\}-\\frac\{1\}\{\\ln(1+x+2k\\pi+\\pi+s)\}\}\\rd s\\\\ &>0. \\eea \\eeex$$ 另一方面, $$\\beex \\bea \\int\_0^\\infty \\frac\{\\sin s\}\{\\ln(1+x+s)\}\\rd s&=\\int\_0^\\pi \\sin s\\sez\{ \\frac\{1\}\{\\ln(1+x+2k\\pi+s)\} -\\frac\{1\}\{\\ln (1+x+2k\\pi+\\pi+s)\}\}\\rd s\\\\ &<\\int\_0^\\pi \\sin s\\sez\{ \\frac\{1\}\{\\ln(1+x+2k\\pi)\} -\\frac\{1\}\{\\ln (1+x+2k\\pi+\\pi)\}\}\\rd s\\\\ &\\quad\\sex\{f(s)\\equiv\\frac\{1\}\{\\ln(1+x+2k\\pi+s)\} -\\frac\{1\}\{\\ln (1+x+2k\\pi+\\pi+s)\}\\ \\searrow\}\\\\ &<\\int\_0^\\pi \\frac\{\\sin s\}\{\\ln(1+x)\}\\rd s\\\\ &=\\frac\{2\}\{\\ln(1+x)\}. \\eea \\eeex$$

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