逆序数问题使用归并排序

忘是亡心i 2022-04-17 05:39 191阅读 0赞

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。  
比如3 4 1 2这个数组有4对逆序：分别是\[3,1\] \[4,1\] \[3,2\] \[4,2\]。  
本文使用归并排序来求逆序数。  
![在这里插入图片描述][20181113183418954.png]  
假设归并排序已经进行到了如上这个状态，正要把两个长度为2的有序子序列，合并成一个长度4的有序序列。  
`i`指向前子序列。`j`指向后子序列。很明显，当`j`指向元素小于`i`指向元素时，就肯定是产生了逆序对了。而逆序对的个数则与`i`指向元素在前子序列中的位置有关，是从`i`开始到前子序列的最后元素的个数（包括`i`和最后元素来统计），通俗地讲，就是如果`j`比`i`小，那么`j`肯定也比`i`之后的元素还小（当然这里是指在前子序列中的范围）。  
如上图，1比3小，那么1必然也比3后面的元素4小。

def merge(start,former,latter,end,src,des):
        gap = end -start +1
        i = start
        j = latter
        count = 0
        for step in range(gap):
            if (i<=former) and (j<=end):
                if src[i] <= src[j]:
                    des[start+step] = src[i]
                    i += 1
                else:#只有进入else才代表有逆序对
                	#j元素比i元素小，那么j肯定也比前子序列中的i后面的元素小
                    des[start+step] = src[j]
                    j += 1
                    count += latter - i#记录下来前子序列i之后元素个数，包括i
            elif (i<=former):
                des[start+step] = src[i]
                i += 1
            elif (j<=end):
                des[start+step] = src[j]
                j += 1
        for step in range(gap):
            src[start+step] = des[start+step]
        return count
    
    def merge_sort(start,end,src,des):
    
        if start < end:
            count = 0
            mid = (start+end)//2
            count += merge_sort(start,mid,src,des)#加上左子序列的逆序对数
            count += merge_sort(mid+1,end,src,des)#加上右子序列的逆序对数
            count += merge(start,mid,mid+1,end,src,des)#再加上左右子序列合并时，发现的逆序对数
            return count
        return 0#递归终点返回0
    
    def copy_array(arr):
        return [None for i in range(len(arr))]
    
    arr = [9,8,4,5,7,1,3,6,2]
    temp = copy_array(arr)
    n = len(arr)
    
    num = merge_sort(0,n-1,arr,temp)
    #print(arr)
    print(num)

代码改自本人另一篇博客[归并排序 改进归并][Link 1]，其中的基本归并排序的代码。

[20181113183418954.png]: /images/20220417/36461e994711432f93722d956a8f94c7.png
[Link 1]: https://blog.csdn.net/anlian523/article/details/84030030