浅谈浮点数的比较

柔情只为你懂 2022-05-03 13:58 350阅读 0赞

由于计算机中采用的是有限位的二进制编码，所以浮点数在计算机中的存储不总是精确的。例如，在经过大量计算后，一个浮点型的数3.14在计算机中可能就存储成3.140000000001，也有可能存储成3.1499999999999，这种情况下会对比较操作带来极大的干扰，所以我们需要引入一个极小数 eps 来对这种误差进行修正。

#### 1. 等于运算符（==） ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MTMxNjk5_size_27_color_FFFFFF_t_70]  
  如果一个数 a 在 \[b-eps, b+eps\] 的区间中时，就应当判断为 a==b 成立。经验表明， eps 取 10\-8是一个合适的数字——对大多数的情况既不会漏判，也不会误判。因此，我们可以将 eps 定义为常量 1e-8：

const double eps = 1e-8;

为了使比较更加方便，我们可以将比较操作写成宏定义的形式：

#define Equ(a, b) ((fabs((a) - (b))) < (eps))

如果想要使用不等于，只需要在使用时的 Equ 前面加一个非运算符 “ ! ” 即可( ! Equ(a, b))。于是在程序中就可以使用 Equ 函数来对浮点数进行比较了：

#include <stdio.h>
    #include <math.h>
    const double eps = 1e-8;
    #define Equ(a, b) ((fabs((a)-(b))) < (eps))
    int main() { 
    	double db = 1.23;
    	if(Equ(db, 1.23)) { 
    		printf("true");
    	} else { 
    		printf("false");
    	}
    	return 0;
    }

对于这个程序，如果写成 db == 1.23 ，会发现同样输出 true。其实像这种比较简单的比较情况下是可以忽视误差的（事实上，如果没有经过容易损失精度的计算，就不需要考虑误差，可以直接比较），但是当一个变量进行了误差较大的运算后，精度的损失就不可忽视了。例如下面的代码中，db1 和 db2 的精确值都应该是 π ，但是却输出了 false ；而使用了 Equ 函数就会输出 true。

#include <stdio.h>
    #include <math.h>
    int main() { 
    	double db1 = 4 * asin(sqrt(2.0) / 2);
    	double db2 = 4 * asin(sqrt(3.0) / 2);
    	if(db1 == db2) { 
    		printf("true");
    	} else { 
    		printf("false");
    	}
    	return 0;
    }

显然，由于这种误差影响，其他比较运算符也会出现差错，因此必须进行修正。

#### 2. 大于运算符（>） ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MTMxNjk5_size_27_color_FFFFFF_t_70 1]  
  如果一个数 a 要大于 b，那么就必须在误差 eps 的扰动范围之外大于 b ，因此只有大于 b+eps 的数才能判定为大于 b （也即 a 减 b 大于 eps）。

#define More(a, b) (((a) - (b)) > (eps))

#### 3. 小于运算符（<） ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MTMxNjk5_size_27_color_FFFFFF_t_70 2]  
  与大于运算符类似，如果一个数 a 要小于 b ，那么就必须在误差 eps 的扰动范围之外小于 b ，因此只有小于 b-eps 的数才能判定为小于 b （也即 a 减 b 小于 -eps）。

#define Less(a, b) (((a) - (b)) < (-eps))

#### 4. 大于等于运算符（>=） ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MTMxNjk5_size_27_color_FFFFFF_t_70 3]  
  由于大于等于运算符可以理解为大雨运算符和等于运算符的结合，于是需要让一个数 a 在误差扰动范围内能够判定其为大于或等于 b ，因此大于 b-eps 的数都应当判定为大于等于 b （也即 a 减 b 大于 -eps）。

#define MoreEqu(a, b) (((a) - (b)) > (-eps))

#### 5. 小于等于运算符（<=） ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MTMxNjk5_size_27_color_FFFFFF_t_70 4]  
  与大于等于运算符类似，小于等于运算符可以理解为小雨运算符和等于运算符的结合，于是需要让一个数 a 在误差扰动范围内能够判定其为小于或者等于 b ，因此小于 b+eps 的数都应当判定为小于等于 b （也即 a 减 b 小于 eps ）。

#define LessEqu(a, b) (((a) - (b)) < (eps))

#### 6. 圆周率π ####

圆周率 π 不需要死记，因为由 cos(π) = -1 可知 π = arccos(-1)。因此只需要把 π 写成常量 acos(-1.0) 即可。

const double Pi = acos(-1.0)

最后几点：  
① 由于精度问题，在经过大量运算后，可能一个变量中存储的0是个很小的负数，这时，如果对其开根号 sqrt ，就会因不在定义域内而出错。同样的问题还出现在 asin(x) 当 x 存放+1、acos(x) 当 x 存放-1 时。这种情况需要用 eps 使变量保证在定义域内。  
② 在某些由编译环境产生的原因下，本应为 0.00 的变量在输出时会变成 -0.00 。这个问题是编译环境本身的 bug ，只能把结果存放到字符串中，然后与-0.00进行比较，如果比对成功，则加上 eps 来修正为0.00。

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