MIT 线性代数导论第九讲：线性相关性、基、维数

我不是女神ヾ 2022-05-08 00:44 196阅读 0赞

本讲的主要内容：

*  向量的线性相关性
 *  向量组生成空间
 *  向量空间的基、维数

### 向量线性相关性(dependence) ###

概念：  
对于一组向量  x 1 , x 2 , x 3 . . . x n x\_\{1\},x\_\{2\},x\_\{3\}...x\_\{n\} x1,x2,x3...xn ，如果存在一种组合使得  c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 , . . . c n x n = 0 c\_\{1\}x\_\{1\}+c\_\{2\}x\_\{2\}+c\_\{3\}x\_\{3\},...c\_\{n\}x\_\{n\} = 0 c1x1\+c2x2\+c3x3,...cnxn=0（其中 c 1 c\_\{1\} c1… c n c\_\{n\} cn不全为0）则称这些向量是线性相关的。  
那么，反之，如果上面的等式只有全零的解，则这些向量是线性无关的。  
从上面的定义中，我们可以推导出几个结论：

*  如果向量组中有零向量，则向量组一定是线性相关的。（零向量前面系数是几都不会影响结果）
 *  二维平面中任意的三个向量一定是线性相关的，同样，我们可以把这个结论推广到其他维的空间，例如，三维空间中任意的四个向量一定是线性相关的，这个结论使用方程组很好解释，以二维空间为例：三个向量写成矩阵形式也就是 $A(2\*3) x = 0 $ 是否存在非零解，显然，之前的结论告诉我们一定是存在非零解的

### 生成空间（span a space）的概念 ###

概念：  
向量组  x 1 , x 2 , x 3 . . . x n x\_\{1\},x\_\{2\},x\_\{3\}...x\_\{n\} x1,x2,x3...xn 生成空间指：所有向量的线性组合构成的空间，这里与列空间的概念是一致的。

### 向量空间的基 ###

基的概念是一组向量，只是对生成空间的这些向量有要求：

*  这些向量线性无关
 *  能生成整个空间

那么如何**检验一组向量是否是它们生成空间的一组基**？  
只要吧这些向量构成矩阵，看看是否矩阵可逆就可以了，也就是检查这个矩阵的秩是否等于n就可以了， 其实是检查是否存在自由变量，解释如下：  
如果这些向量可以成为生成空间的一组基，则它们构成的矩阵有下式成立：  
 A x = 0 Ax = 0 Ax=0  
也就是  x x x 只能是零解，才满足线性无关的条件，根据之前几讲的内容，这个齐次方程组只有零解的条件就是没有自由变量，也就是  r = n r=n r=n 也就是可逆了。

除此之外还有一个结论：  
**对于一个向量空间，它的基有很多组，这些基有一个规律，就是所含的向量数目是一样的。**

### 空间的维数（dimension） ###

最后的这一部分结合一个例子说：  
对于这个矩阵：  
 A = ( 1 2 3 1 1 1 2 1 1 2 3 1 ) A=\\begin\{pmatrix\} 1 & 2 & 3 &1 \\\\ 1& 1 & 2 & 1\\\\ 1& 2& 3 &1 \\end\{pmatrix\} A=⎝⎛111212323111⎠⎞  
结合之前的消元法，我们可以求得矩阵  A A A 的秩为2，那么矩阵  A A A 的列空间的**维数**（dimension）就是2，  
接下来考虑对于  A x = 0 Ax=0 Ax=0 方程的零空间的维数是多少？，答案是自由变量的个数，即： n − r n-r n−r  
简记为：  
 \{ d i m C ( A ) = r d i m N ( A ) = n − r \\left\\\{\\begin\{matrix\} dim \\enspace C(A) = r\\\\ dim \\enspace N(A) = n-r \\end\{matrix\}\\right. \{ dimC(A)=rdimN(A)=n−r

以上~